사면체의 겉넓이가 최소가 되도록 하는 꼭짓점의 위치

풀이. 점 $\mathrm{Q}$가 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 내부에 있는 경우를 생각하자. 그리고 점 $\mathrm{Q}$로부터 세 변 $\mathrm{BC},$ $\mathrm{CA},$ $\mathrm{AB}$까지의 거리를 각각 $x,$ $y,$ $z$라고 하자. 만약 점 $\mathrm{Q}$가 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 내부에 있지 않다면 $x,$ $y,$ $z$ 중 하나 이상의 값을 $0$ 이하가 되도록 함으로써 점 $\mathrm{Q}$의 위치를 $x,$ $y,$ $z$에 대응시킬 수 있다.

또한 세 변 $\mathrm{BC},$ $\mathrm{CA},$ $\mathrm{AB}$의 길이를 각각 $a,$ $b,$ $c$라고 하고, 사면체의 높이인 선분 $\mathrm{PQ}$의 길이를 $h$라고 하자.

삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이를 $S$라고 하면 $$\frac{1}{2}(ax+by+cz)=S$$ 이고, 사면체의 부피는 $$\frac{1}{3}Sh=\frac{1}{6}(ax+by+cz)h=\text{(constant)}$$ 이다. 사면체의 부피와 밑면의 넓이가 일정하므로 사면체의 높이 $h$ 또한 상수이다. 그러므로 점 $\mathrm{P}$의 위치는 점 $\mathrm{Q}$의 위치에 의하여 완전히 결정된다.

한편 사면체의 겉넓이는 밑면의 넓이와 옆면의 넓이를 더하면 되는데 밑면의 넓이가 상수이므로, 우리가 원하는 결과를 얻기 위해서는 옆면의 넓이가 최소가 되도록 하면 된다. $$\begin{array}{c}\overline{\mathrm{PD}}=\sqrt{x^2+h^2},\\ \overline{\mathrm{PE}}=\sqrt{y^2+h^2},\\ \overline{\mathrm{PF}}=\sqrt{z^2+h^2}\end{array}$$ 이므로, 사면체의 옆면의 넓이는 $$\frac{1}{2}(a\sqrt{x^2+h^2}+b\sqrt{y^2+h^2}+c\sqrt{z^2+h^2})$$ 이다.

함수 $f$와 $g$를 다음과 같이 정의하자. $$\begin{array}{c}f(x,y,z)=a\sqrt{x^2+h^2}+b\sqrt{y^2+h^2}+c\sqrt{z^2+h^2},\\ g(x,y,z)=ax+by+cz.\end{array}$$ 이제 우리는 제한조건 $$g(x,y,z)=\text{(constant)}$$ 아래에서 함수 $f(z,y,z)$가 최솟값을 갖도록 하는 점 $(x,y,z)$를 구해야 한다. 라그랑주의 방법을 이용하자. 그러한 점 $(x,y,z)$가 존재한다면 상수 $\lambda$가 존재하여 다음 등식을 만족시켜야 한다. $$\begin{array}{c}\mathrm{\nabla }f(x,y,z)=\lambda \mathrm{\nabla }g(x,y,z)\end{array}$$ 이 식을 풀어 쓰면 다음과 같다. $$\frac{ax}{\sqrt{x^2+h^2}}\mathbf{\text{i}}+\frac{by}{\sqrt{y^2+h^2}}\mathbf{\text{j}}+\frac{cz}{\sqrt{z^2+h^2}}\mathbf{\text{k}}=\lambda (a\mathbf{\text{i}}+b\mathbf{\text{j}}+c\mathbf{\text{k}})$$ 이 등식이 성립하려면 $$\frac{x}{\sqrt{x^2+h^2}}=\frac{y}{\sqrt{y^2+h^2}}=\frac{z}{\sqrt{z^2+h^2}}$$ 이어야 하고, 이것을 풀면 $$x=y=z$$ 이다. 즉 점 $\mathrm{Q}$가 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 내심일 때 사면체의 겉넓이는 극값을 가진다.

이제 $x=y=z$인 점 $(x,y,z)$에서 $f$가 최솟값을 가짐을 보이자. 일단 라그랑주의 방법을 통해서 발견된 점은 $x=y=z$인 점 $(x,y,z)$ 뿐이므로, 다른 점에서는 $f$가 극값을 갖지 않는다. 그러므로 $(x,y,z)$가 $(0,0,0)$으로부터 무한히 멀어지는 경우를 조사하면 된다.

점 $(x,y,z)$가 $(0,0,0)$으로부터 무한히 멀어지는 것은 점 $\mathrm{Q}$가 $(0,0)$으로부터 무한히 멀어지는 것과 같다. 그런데 점 $\mathrm{Q}$가 $(0,0)$으로부터 무한히 멀어지면 사면체의 옆면을 이루는 세 삼각형 중 하나 이상의 높이가 무한히 길어지므로, 사면체의 겉넓이 또한 무한히 커진다. 그러므로 $f$는 $x=y=z$인 점 $(x,y,z)$에서의 함숫값보다 더 작은 함숫값을 가질 수 없다.