집합과 실수

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이 포스트에서는 미적분학을 공부하기 위해 필요한 기초 개념인 수학의 논리, 집합의 성질, 실수계의 성질을 간략하게 살펴본다.

수학의 논리

먼저 논리를 나타내는 기호를 살펴보자. \(p\)와 \(q\)가 수학적 문장일 때 다음과 같이 정의한다.

• 논리곱 :  ‘\(p\) 그리고 \(q\)’를 \((p \,\wedge\, q)\)로 나타낸다. \((p \,\wedge\, q)\)가 참이라는 것은 \(p\)와 \(q\)가 모두 참이라는 것을 의미한다.
• 논리합:  ‘\(p\) 또는 \(q\)’를 \((p\,\vee\,q)\)로 나타낸다. \((p\,\vee\,q)\)가 참이라는 것은 \(p\)와 \(q\) 중 하나 이상이 참이라는 것을 의미한다.
• 조건문:  ‘\(p\)이면 \(q\)이다’를 \((p\,\rightarrow \,q)\)로 나타낸다. \((p\,\rightarrow \,q)\)가 참이라는 것은 ‘\(p\)가 참일 때마다 \(q\)가 참이다’를 의미한다. 특히 \(p\)가 항상 거짓인 경우에는 \(q\)의 진리 여부에 상관 없이 \((p\,\rightarrow \,q)\)는 참이다.
• 부정:  ‘\(p\)가 아니다’를 \((\neg p)\) 또는 \((\sim p)\)로 나타낸다. \((\neg p)\)가 참이라는 것은 \(p\)가 거짓이라는 것을 의미한다.
• 전칭기호:  ‘\(A\)에 속하는 모든 \(x\)가 \(p\)를 만족시킨다’를 \((\forall x \in A) p\)로 나타낸다. 만약 \(p\)가 \(x\)의 함수라는 것을 강조하여 \(p(x)\)로 나타낸다면, \((\forall x \in A) p\)를 \((\forall x \in A) p(x)\)로 나타낸다.
• 존재기호:  ‘\(A\)에 속하는 \(x\) 중에서 \(p\)를 만족시키는 것이 존재한다’를 \((\exists x \in A) p\)로 나타낸다. 만약 \(p\)가 \(x\)의 함수라는 것을 강조하여 \(p(x)\)로 나타낸다면, \((\exists x \in A) p\)를 \((\exists x \in A) p(x)\)로 나타낸다.

전칭기호와 존재기호를 통틀어 한정기호라고 부른다.

\(p\)와 \(q\)가 수학적 문장일 때 \((p\,\rightarrow\,q)\)와 \((q\,\rightarrow\,p)\)가 모두 성립하는 것을 \((p\,\leftrightarrow\,q)\)로 나타낸다. 한편 \((p\,\rightarrow\,q)\)가 참인 것을 \((p\,\Rightarrow\,q)\)로 나타내고, \((p\,\leftrightarrow\,q)\)가 참인 것을 \((p\,\Leftrightarrow\,q)\)로 나타낸다.

함의 \((p\,\rightarrow\,q)\)와 관련하여 다음과 같이 정의한다.

• \((p\,\rightarrow\,q)\)의 역:  \((q\,\rightarrow\,p)\)
• \((p\,\rightarrow\,q)\)의 이:  \(((\neg p)\,\rightarrow\,(\neg q))\)
• \((p\,\rightarrow\,q)\)의 대우:  \(((\neg q)\,\rightarrow\,(\neg p))\)

\(x\)를 공통 변수로 갖는 두 문장 \(p(x)\)와 \(q(x)\)가 모든 \(x\)에 대하여 서로 같은 진릿값(참, 거짓)을 가질 때 ‘\(p\)와 \(q\)는 서로 동등하다’ 또는 ‘\(p\)와 \(q\)는 서로 동치이다’라고 말하고, 기호로는 ‘\( p \,\equiv\, q \)’로 나타낸다. 그런데 \((p\,\Leftrightarrow\,q)\)일 때에도 \(p(x)\)와 \(q(x)\)는 서로 같은 진릿값을 가지므로 ‘\( p \,\equiv\, q \)’를 ‘\( p \,\Leftrightarrow\, q \)’로 나타내기도 한다. 논리식에서 \(\equiv\) 기호와 \(\Leftrightarrow\)는 등식의 등호와 같은 역할을 한다.

예컨대 \(p\)와 \(q\) 각각이 어떠한 진릿값을 갖든 \((p \,\rightarrow\,q)\)와 \(((\neg p)\,\vee\,q)\)는 같은 진릿값을 가지므로 \[(p\,\rightarrow\,q) \,\,\Longleftrightarrow \,\, ((\neg p)\,\vee\,q)\] 이다.

이 밖에 수학의 논리에서는 자주 사용되는 법칙은 다음과 같은 것들이 있다.

• 이중부정 법칙 :  \((\neg (\neg p)) \,\, \Longleftrightarrow \,\, p \)
• 합의 법칙 :  \( p \,\, \Longrightarrow \,\, (p \vee q) \)
• 단순화 법칙 :  \((p \wedge q) \,\, \Longrightarrow \,\, p \)
• 논리합의 멱등 법칙 :  \((p \vee p) \,\,\Longleftrightarrow \,\, p\)
• 논리곱의 멱등 법칙 :  \((p \wedge p) \,\,\Longleftrightarrow \,\, p\)
• 논리합의 교환 법칙 :  \((p \vee q) \,\, \Longleftrightarrow \,\, (q \vee p) \)
• 논리곱의 교환 법칙 :  \((p \wedge q) \,\, \Longleftrightarrow \,\, (q \wedge p) \)
• 논리합의 결합 법칙 :  \((p \vee (q \vee r )) \,\, \Longleftrightarrow \,\, ((p \vee q) \vee r) \)
• 논리곱의 결합 법칙 :  \((p \wedge (q \wedge r )) \,\, \Longleftrightarrow \,\, ((p \wedge q) \wedge r) \)
• 분배 법칙 :  \((p \vee (q \wedge r)) \,\, \Longleftrightarrow \,\, ((p \vee q) \wedge (p \vee r)) \)
• 분배 법칙 :  \((p \wedge (q \vee r)) \,\, \Longleftrightarrow \,\, ((p \wedge q) \vee (p \wedge r)) \)
• 추이법칙 :  \(((p \,\rightarrow\,q) \,\wedge\, (q\,\rightarrow\,r)) \,\, \Longrightarrow \,\, (p\,\rightarrow\,q) \)
• 대우법칙 :  \((p\,\rightarrow\,q) \,\,\Longleftrightarrow \,\, ((\neg q)\,\rightarrow\,(\neg p))\)
• 드모르간의 법칙 :  \((\neg(p\,\wedge\,q)) \,\,\Longleftrightarrow\,\,((\neg p) \,\vee\, (\neg q))\)
• 드모르간의 법칙 :  \((\neg(p\,\vee\,q)) \,\,\Longleftrightarrow\,\,((\neg p) \,\wedge\, (\neg q))\)
• 전칭명제의 부정 :  \((\neg (\forall x \in A) p(x)) \,\, \Longleftrightarrow \,\, ((\exists x\in A)(\neg p(x)))\)
• 존재명제의 부정 :  \((\neg (\exists x \in A) p(x)) \,\, \Longleftrightarrow \,\, ((\forall x\in A)(\neg p(x)))\)

한정기호가 두 개 이상 연달아 사용되는 경우도 있다. 예컨대 자연수 전체의 집합을 \(\mathbb{N}\)이라고 하면 ‘임의의 자연수에 대하여 그보다 더 큰 자연수가 존재한다’라는 문장은 \[(\forall n \in \mathbb{N})(\exists m \in \mathbb{N}) (n < m)\tag{3}\] 으로 나타낼 수 있다. 여기서 두 한정기호의 순서를 바꾸어 쓰면 의미가 달라진다. 즉 \[(\exists m \in \mathbb{N})(\forall n \in \mathbb{N}) (n < m)\tag{4}\] 은 (3)과는 다른 의미이다. 즉 (4)는 ‘어떠한 자연수가 존재하여 그 자연수가 모든 자연수보다 더 크다’라는 뜻이다. (3)은 참이지만 (4)는 거짓이다.

한정기호가 두 개 이상 사용된 식을 자연언어로 표현하면 의미가 모호해지는 경우가 있다. 예컨대 “임의의 자연수 \(n\)에 대하여 \(n < m\)인 자연수 \(m\)이 존재한다”라는 문장은 관점에 따라서 (3)을 나타낼 수도 있고 (4)를 나타낼 수도 있다.

이러한 모호함을 해결하는 방법은 몇 가지가 있는데, 그 중 하나는 괄호를 이용하는 것이다. 즉 (3)을 나타내기 위해서는 “임의의 자연수 \(n\)에 대하여 [\(n < m\)인 자연수 \(m\)이 존재]한다”라고 쓰면 되고, (4)를 나타내기 위해서는 “[임의의 자연수 \(n\)에 대하여 \(n < m\)]인 자연수 \(m\)이 존재한다”라고 쓰면 된다.

괄호를 사용하는 방법은 구어에서는 사용할 수 없다. 이때에는 한정기호를 쓰는 순서대로 말로 표현하는 방법이 있다. 즉 (3)을 나타내기 위해서는 “임의의 자연수 \(n\)에 대하여, 자연수 \(m\)이 존재하여, \(n\)이 \(m\)보다 작다”라고 하면 되고, (4)를 나타내기 위해서는 “자연수 \(m\)이 존재하여, 임의의 자연수 \(n\)에 대하여, \(n\)이 \(m\)보다 작다”라고 하면 된다. 구어가 오히려 더 구어 같지 않게 느껴지는 아이러니는 덤이다.

집합의 연산

명확한 기준에 따라 수학적 대상을 모아놓은 것을 집합이라고 부른다. 예컨대 ‘짝수인 모든 자연수의 모임’, ‘정의역과 공역이 실수 전체 집합이고 유계인 함수의 모임’, ‘\(\pi\)의 십진 전개에서 소수점 아래 숫자 배열로 나타나는 자연수의 모임’은 모두 집합이다. (물론 어떠한 자연수가 \(\pi\)의 십진 전개에서 소수점 아래 숫자 배열로 나타나는지 알아내는 공식은 알려져 있지 않지만.) 반면 ‘매우 큰 수의 모임’(큰 수의 기준이 없음), ‘연속함수의 모임’(정의역과 공역이 명확하게 정해지지 않음), ‘내가 좋아하는 사람들의 모임’(때에 따라 바뀔 수 있음)은 집합이 아니다.

집합을 구성하고 있는 대상 각각을 그 집합의 원소라고 부른다. \(a\)가 집합 \(A\)의 원소인 것을 \(a\in A\)로 나타내고 ‘\(a\)가 \(A\)에 속한다’라고 읽는다. 예컨대 짝수인 모든 자연수의 모임을 \(E\)라고 하면 \(8\in E\)이지만 \(5 \notin E\)이다. 모순을 피하기 위하여 집합은 자기 자신의 원소가 아닌 것으로 약속한다. 이와 같은 관점에서 ‘모든 집합의 모임’은 집합이 아니다. 왜냐하면, 만약 모든 집합의 모임 \(S\)가 집합이라면 \(S \in S\)가 되기 때문이다.

원소가 하나도 없는 모임도 집합으로 간주하여 공집합이라고 부른다. 공집합은 기호로 \(\varnothing\)으로 나타낸다.

집합을 표현하는 방법은 여러 가지가 있다. 먼저 ‘…인 …의 모임을 \(E\)라고 하자’와 같은 꼴로 집합을 정의할 수도 있다. 원소의 개수가 적어서 다 나열할 수 있거나, 원소의 개수가 많아도 문맥상 명확하게 인지할 수 있는 규칙을 가지고 있다면 \[A = \left\{ 2,\,4,\,6,\,\cdots,\,20 \right \}\] 또는 \[B = \left\{ 3,\,6,\,9,\,12,\,15,\, \cdots \right\}\] 와 같이 원소를 나열하여 집합을 나타낼 수 있다. 이러한 방법을 원소나열법이라고 부른다. 한편 위 두 집합은 \[\begin{align} A &= \left\{ x \in \mathbb{N} \,\vert\, x \text{ is an even number less than or equal to 20} \right\}, \\[8pt] B &= \left\{ x \in \mathbb{N} \,\vert\, x \text{ is divisible by 3} \right\} \end{align}\] 과 같이 \[E = \left\{ x \in U \,\vert\, p(x) \right\}\] 의 꼴로 나타낼 수 있는데, 이와 같은 방법을 조건제시법이라고 부른다.

집합 \(A\)의 모든 원소가 집합 \(B\)에 속할 때 ‘\(A\)는 \(B\)의 부분집합이다’라고 말하고 \(A \subseteq B\)로 나타낸다. \(A\subseteq B\)이면서 동시에 \(B\subseteq A\)일 때, 즉 두 집합 \(A\)와 \(B\)를 구성하는 원소가 서로 동일할 때, ‘\(A\)와 \(B\)는 서로 같다’라고 하고 \(A=B\)로 나타낸다. \(A \subseteq B\)이지만 \(A \ne B\)일 때 ‘\(A\)는 \(B\)의 진부분집합이다’라고 말하고 \(A\subsetneq B\)로 나타낸다.

두 집합 \(A\)와 \(B\) 모두에 속한 원소들의 모임을 \(A\)와 \(B\)의 교집합이라고 부르고 \(A \cap B \)로 나타낸다. 두 집합 \(A\)와 \(B\) 중 하나 이상에 속한 원소들의 모임을 \(A\)와 \(B\)의 합집합이라고 부르고 \(A\cup B\)로 나타낸다. 집합 \(A\)에 속하지만 집합 \(B\)에는 속하지 않는 원소들의 모임을 \(A\)로부터 \(B\)의 차집합이라고 부르고 \(A\setminus B\)로 나타낸다. 즉 \[\begin{align} A\cap B &= \left\{ x \,\vert\, x \in A \,\,\wedge\,\, x\in B \right \}, \\[8pt] A\cup B &= \left\{ x \,\vert\, x \in A \,\,\vee\,\, x\in B \right \}, \\[8pt] A \setminus B &= \left\{ x \,\vert\, x \in A \,\,\wedge\,\, x\notin B \right \} \end{align}\] 이다.

집합 \(\mathcal{U}\)를 기준이 되는 집합으로 두었을 때, \(\mathcal{U}\)의 원소 중 집합 \(A\)에 속하지 않는 것들의 모임을 \(A\)의 여집합이라고 부르고 \(A^C\)로 나타낸다. 즉 \[A^C = \left\{ x\in \mathcal{U} \,\vert\, x \notin A \right\}\] 이다. 이때 \(\mathcal{U}\)를 전체집합이라고 부른다. 여집합은 전체집합이 정해져 있을 때에만 의미를 가진다.

자주 사용되는 집합의 연산 법칙은 다음과 같은 것들이 있다.

• 이중부정 법칙 :  \( \left( A ^C \right) ^C = A \)
• 합의 법칙 :  \(A \subseteq A \cup B \)
• 단순화 법칙 :  \(A \cap B \subseteq A\)
• 합집합의 멱등 법칙 :  \(A \cup A = A\)
• 교집합의 멱등 법칙 :  \(A \cap A = A\)
• 합집합의 교환 법칙 :  \(A \cup B = B \cup A\)
• 교집합의 교환 법칙 :  \(A \cap B = B \cap A\)
• 합집합의 결합 법칙 :  \(A \cup (B \cup C ) = (A \cup B ) \cup C \)
• 교집합의 결합 법칙 :  \(A \cap (B \cap C ) = (A \cap B ) \cap C \)
• 분배 법칙 :  \(A \cup (B \cap C ) = (A \cup B) \cap (A \cup C) \)
• 분배 법칙 :  \(A \cap (B \cup C ) = (A \cap B) \cup (A \cap C) \)
• 추이 법칙 :  \( (A \subseteq B \,\, \wedge \,\, B \subseteq C) \,\, \Longrightarrow \,\, A \subseteq C \)
• 드모르간의 법칙 :  \((A\cap B)^C = A^C \cup B^C\)
• 드모르간의 법칙 :  \((A\cup B)^C = A^C \cap B^C\)

교집합과 합집합은 여러 개의 집합에 대해서도 정의된다. 즉 \(A_1 ,\) \(A_2 ,\) \(\cdots ,\) \(A_n\)이 집합일 때 \[\begin{align} \bigcap_{i=1}^{n} A_i &= A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n , \\[6pt] \bigcup_{i=1}^{n} A_i &= A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n \end{align}\] 으로 정의한다. 만약 \(I = \left\{ 1,\,2,\, \cdots ,\, n \right\}\)이라면 위 두 집합은 \[\bigcap_{i=1}^{n} A_i = \bigcap_{i\in I} A_i ,\,\,\, \bigcup_{i=1}^{n} A_i = \bigcup_{i\in I} A_i\] 로 나타낼 수 있다. 일반적으로 \(I\)가 집합이고 임의의 \(i \in I\)에 대하여 \(A_i\)가 집합일 때 다음과 같이 정의한다. \[\begin{align} \bigcap_{i\in I} A_i &= \left\{ x \,\vert\, (\forall i \in I) (x\in A_i) \right\} ,\\[6pt] \bigcup_{i\in I} A_i &= \left\{ x \,\vert\, (\exists i \in I) (x\in A_i) \right\} . \end{align}\] 이와 같이 정의된 교집합과 합집합에 대해서도 다음과 같은 드모르간의 법칙이 성립한다. \[\begin{align} \left( \bigcap_{i\in I} A_i \right)^C &= \bigcup_{i\in I} \left( A_i \right)^C ,\\[6pt] \left( \bigcup_{i\in I} A_i \right)^C &= \bigcap_{i\in I} \left( A_i \right)^C . \end{align}\]

유한집합과 무한집합

집합의 원소의 개수의 개념을 정의하려면 먼저 집합의 대등 관계를 정의해야 한다. \(A\)와 \(B\)가 집합이라고 하자. 만약 일대일 대응 \(\phi : A \,\to\, B\)가 존재하면 ‘\(A\)와 \(B\)는 대등하다’라고 말하고 \(A\,\approx\,B\) 또는 \(A\,\sim\,B\)로 나타낸다. 만약 \(B\)의 부분집합 중에서 \(A\)와 대등한 것이 존재하면 \(A\preccurlyeq B\)로 나타낸다. 만약 \(A\preccurlyeq B\)이지만 \(A \not\approx B\)이면 \(A\precnsim B\)로 나타낸다.

집합의 크기와 관련하여 다음과 같은 중요한 정리가 있다.

• 칸토어의 정리 :  \(A\)가 집합이고 \(\mathcal{P} (A)\)가 \(A\)의 멱집합이면 \(A \precnsim \mathcal{P} (A)\)이다.
• 슈뢰더-베른슈타인 정리 :  \(A\)와 \(B\)가 집합이고 \(A\preccurlyeq B\)이면서 \(B\preccurlyeq A\)이면 \(A \approx B\)이다.

원소의 개수를 \(0\) 또는 자연수로 나타낼 수 있는 집합을 유한집합이라고 부른다. 즉 \[\omega = \left\{ 0 \right\} \cup \mathbb{N} ,\,\,\, \omega_m = \left\{ k \in \omega \,\vert\, k < m \right\}\] 이라고 하자. \(A\)가 집합이고 \[(\exists m \in \omega )(A \approx \omega_m)\] 이면 \(A\)를 유한집합이라고 부른다. \(A\)가 유한집합이고 \(A \approx \omega_m ,\) \(m \in \omega\)일 때, \(A\)의 원소의 개수를 \(\lvert A \rvert = m\)으로 정의한다. 유한집합이 아닌 집합을 무한집합이라고 부른다.

무한집합 중에서 \(\mathbb{N}\)과 대등한 집합을 가부번집합이라고 부르며, 가부번집합과 유한집합을 통틀어 가산집합이라고 부른다. 즉 \(A\)가 가산집합이라는 것은 \(A \preccurlyeq \mathbb{N}\)인 것을 뜻한다. 가산집합이 아닌 집합을 비가산집합이라고 부른다.

무한집합과 가산집합의 성질 중 자주 사용되는 것들은 다음과 같다.

• \(A\)와 \(B\)가 모두 유한집합이면 \(A\cup B\)도 유한집합이다.
• \(A\)와 \(B\)가 모두 가산집합이면 \(A\cup B\)도 가산집합이다.
• \(A\)가 무한집합이고 \(B\)가 유한집합이면 \((A \setminus B) \approx A\)이다.
• 임의의 무한집합은 가부번인 부분집합을 가진다.
• \(A\)가 무한집합이고 \(A\subseteq B\)이면 \(B\)도 무한집합이다.
• \(B\)가 가부번집합이고 \(A\subseteq B\)이면 \(A\)는 가산집합이다.
• \(I\)가 유한집합이고 임의의 \(i\in I\)에 대하여 \(A_i \)가 유한집합이면 \(\bigcup_{i\in I} A_i\)도 유한집합이다.
• \(I\)가 가산집합이고 임의의 \(i\in I\)에 대하여 \(A_i \)가 가산집합이면 \(\bigcup_{i\in I} A_i\)도 가산집합이다.

수학에서 일상적으로 사용하는 집합 중에서 \(\mathbb{N} ,\) \(\mathbb{Z},\) \(\mathbb{Q}\)는 가산집합이다. 그러나 \(\mathbb{R},\) \(\mathbb{C}\)는 비가산집합이다.

실수계

집합에 구조가 주어져 있을 때, 그 집합과 구조를 통틀어 계(system)라고 부른다. 여기서 구조란 집합의 포함 관계, 덧셈이나 곱셈 같은 연산에 의해 만들어지는 관계, 원소의 대소 관계, 부분집합을 수에 대응시키는 관계 등을 뜻한다.

실수계는 사칙계산을 자유롭게 할 수 있는 성질, 수의 크기를 비교할 수 있는 성질, 극한을 다루기에 충분한 성질을 가지고 있다. 이 세 가지 성질을 하나씩 살펴보자.

실수의 덧셈, 곱셈과 관련하여 다음과 같이 정의한다.

• 두 수의 곱 \(x\cdot y\)는 보통 곱셈 기호를 생략하여 \(xy\)로 나타낸다.
• \(0\)을 덧셈에 대한 항등원, \(1\)을 곱셈에 대한 항등원이라고 부른다.
• \(x+y =0\)일 때 \(y\)를 \(x\)의 덧셈에 대한 역원이라고 부르며 \(-x\)로 나타낸다. 즉 임의의 실수 \(x\)에 대하여 \(x+(-x)=0\)이다.
• \(xy=1\)일 때 \(y\)를 \(x\)의 곱셈에 대한 역원 또는 역수라고 부르며 \(\frac{1}{x}\) 또는 \(x^{-1}\)으로 나타낸다. 즉 임의의 실수 \(x\)에 대하여 \(x\cdot \frac{1}{x} = 1\)이다.

실수의 뺄셈, 나눗셈은 다음과 같이 정의한다.

• \(x\)와 \(y\)가 실수일 때 \(x-y = x + (-y)\)로 정의한다.
• \(x\)와 \(y\)가 실수이고 \(y \neq 0\)일 때 \(\frac{x}{y} = x \cdot \frac{1}{y}\)로 정의한다.

다음으로 부등호와 관련된 성질을 살펴보자.

실수계의 순서관계와 관련하여 다음과 같이 정의한다.

• \(x > 0\)일 때 \(x\)를 양수, \(x < 0\)일 때 \(x\)를 음수라고 부른다.
• [\(x > y\) 또는 \(x = y\)]일 때 \(x \ge y\)로 나타낸다.
• \(x > y\)와 \(y < x\)는 같은 뜻이며, \(x \ge y\)와 \(y \le x\)는 같은 뜻이다.

\(E\)가 \(\mathbb{R}\)의 부분집합이라고 하자. 만약 \(u\)가 실수이고 임의의 \(x\in E\)에 대하여 \(x \le u\)이면 \(u\)를 \(E\)의 상계라고 부른다. 만약 \(\ell\)이 실수이고 임의의 \(x\in E\)에 대하여 \(\ell \le x\)이면 \(\ell\)을 \(E\)의 하계라고 부른다.

\(E\)가 \(\mathbb{R}\)의 부분집합이라고 하자. 만약 \(E\)의 상계가 실수로서 존재하면 ‘\(E\)는 위로 유계이다’라고 말한다. 만약 \(E\)의 하계가 실수로서 존재하면 ‘\(E\)는 아래로 유계이다’라고 말한다. \(E\)가 위로 유계이면서 아래로 유계이면 ‘\(E\)는 유계이다’라고 말한다.

\(E\)가 \(\mathbb{R}\)의 부분집합이고 \(M\)과 \(m\)이 실수라고 하자. 만약 \(M \in E\)이고, 임의의 \(x\in E\)에 대하여 \(x \le M\)이면 \(M\)을 \(E\)의 최댓값이라고 부른다. 만약 \(m \in E\)이고, 임의의 \(x\in E\)에 대하여 \(m \le x\)이면 \(m\)을 \(E\)의 최솟값이라고 부른다.

집합의 상한과 하한은 그 집합에 속할 수도 있고 그렇지 않을 수도 있다. 예컨대 닫힌 구간 \(I = [2,\, \pi ]\)의 상한 \(\pi\)와 하한 \(2\)는 \(I\)에 속한다. 그러나 열린 구간 \(J = (\gamma ,\, e)\)의 상한 \(e\)와 하한 \(\gamma\)는 \(J\)에 속하지 않는다. (\(\gamma\)는 오일러-마스케로니 상수이며, 그 값은 약 \(0.577\)이다.)

사칙계산 성질과 순서관계 성질은 \(\mathbb{R}\)와 \(\mathbb{Q}\)가 공통으로 가진 성질이다. 즉 이 두 종류의 성질만으로는 \(\mathbb{R}\)와 \(\mathbb{Q}\)를 구분할 수 없다. 그러나 상한 존재 성질은 \(\mathbb{Q}\)가 가지고 있지 않은 \(\mathbb{R}\)만의 고유한 성질이다. 예컨대 \[E = \left\{ x \in \mathbb{Q} \,\vert\, x^2 < 2 \right\}\] 라고 하면 \(E\)는 \(\mathbb{Q}\)의 부분집합이고 공집합이 아니며 유계이지만, \(E\)의 상한과 하한은 \(\mathbb{Q}\)에서 존재하지 않는다.

지금까지 살펴본 세 개의 공리는 다음 정의에서와 같이 실수계를 결정하는 조건으로 사용될 수 있다.

다음 정리는 상한과 하한의 관계를 설명한다.

위 정리에 의하여, 상한의 성질만 밝히면 하한의 성질은 자연스럽게 따라오게 된다.

상한은 ‘상계의 최솟값’으로 정의할 수도 있지만 다음과 같이 \(\epsilon\) 논법을 이용하여 정의할 수도 있다.

미적분의 정리를 증명할 때 자주 사용되는 상한의 성질 몇 가지를 살펴보자.

\(f\)가 함수이고 \(E\)가 \(f\)의 정의역의 부분집합이라고 하자. 만약 집합 \(\left\{ f(x) \,\vert\, x\in E\right\}\)가 위로 유계이면 ‘\(f\)는 \(E\)에서 위로 유계이다’라고 말하며, 만약 \(\left\{ f(x) \,\vert\, x\in E\right\}\)가 아래로 유계이면 ‘\(f\)는 \(E\)에서 아래로 유계이다’라고 말한다. 만약 \(\left\{ f(x) \,\vert\, x\in E\right\}\)가 유게이면 ‘\(f\)는 \(E\)에서 유계이다’라고 말한다.

\(f\)가 함수이고 \(E\)가 \(f\)의 정의역의 부분집합일 때 \[\sup_{x\in E}f(x) = \sup \left\{ f(x) \,\vert\, x\in E \right\}\] 로 정의한다.

자연수, 정수, 유리수

자연수, 정수, 유리수 집합을 명확하게 정의하고 그 성질을 간단히 살펴보자.

자연수 집합은 덧셈과 곱셈에 대하여 닫혀 있으며, 정수 집합은 덧셈, 뺄셈, 곱셈에 대하여 닫혀 있다. 유리수 집합은 덧셈, 뺄셈, 곱셈에 대하여 닫혀 있으며, \(0\)으로 나누는 경우를 제외하면 유리수 집합 내에서 나눗셈도 자유롭게 할 수 있다. 이들 집합은 실수 집합의 부분집합이므로 실수계에서 성립하는 부등호와 관련된 법칙은 이들 집합에서도 그대로 성립한다. 이와 같이 덧셈, 곱셈, 부등호와 관련된 구조를 가지고 있기 때문에 이들 집합을 각각 자연수계, 정수계, 유리수계라고 부른다.