이 포스트에서는 일차함수를 이용하여 미분 가능한 함수의 근사함수를 만드는 방법을 살펴본다. 또한 미분소의 개념을 도입하고 변화량의 근삿값을 구하는 방법을 살펴본다.
할선, 접선, 법선
함수 \(y=f(x)\)가 서로 다른 두 점 \(a,\) \(b\)를 원소로 갖는 한 구간에서 연속이라고 하자. 이때 두 점 \((a,\,f(a)),\) \((b,\,f(b))\)를 모두 지나는 직선을 함수 \(f\)의 그래프의 할선이라고 부른다. 만약 \(f\)의 그래프 위에서 점 \((b,\,f(b))\)가 점 \((a,\,f(a))\)에 가까이 다가감에 따라 이 두 점을 지나는 할선이 하나의 직선 \(L\)에 가까이 다가가면, 이 직선 \(L\)을 \((a,\,f(a))\)에서 함수 \(f\)의 그래프의 접선이라고 부른다.
미분을 이용하여 그래프의 접선을 정확하게 정의할 수 있다. 함수 \(f\)가 \(a\)에서 미분 가능하다고 하자. 이때 방정식 \[y= f ' (a) (x-a) + f(a)\tag{1}\] 으로 표현되는 직선을 점 \((a,\,f(a))\)에서 \(f\)의 그래프의 접선이라고 부른다. 또한 점 \((a,\,f(a))\)를 지나고 직선 (1)과 수직인 직선을 점 \((a,\,f(a))\)에서 \(f\)의 그래프의 법선이라고 부른다. \(f ' (a) \ne 0\)일 때 점 \((a,\,f(a))\)에서 \(f\)의 그래프의 법선의 방정식은 \[y= -\frac{1}{f ' (a)} (x-a) + f(a)\] 이며, \(f ' (a)=0\)일 때 점 \((a,\,f(a))\)에서 \(f\)의 그래프의 법선의 방정식은 \(x=a\)이다.
일차근사
함수 \(f\)가 \(a\)를 원소로 갖는 한 열린 구간에서 연속이고 \(a\)에서 미분 가능하다고 하자. 이때 점 \((a,\,f(a))\)의 근처에서 \(y=f(x)\)의 그래프는 이 점에서 그래프의 접선에 가깝다. 그러므로 접선의 방정식으로 표현되는 함수 \[L (x) = f(a) + f ' (a)(x-a)\tag{2}\] 는 \(a\) 근처에서 \(f(x)\)의 값에 가까운 값을 갖는 함수, 즉 근사함수(approximation)가 된다. 특히 (2)는 일차함수이기 때문에, (2)와 같은 근사함수를 \(a\)에서 \(f\)의 표준일차근사함수(standard linear approximation)라고 부르며, 점 \(a\)를 이 근사함수의 중심(center)이라고 부른다. 책에 따라서는 일차근사를 선형근사라고 부르기도 한다.
예제 1. 점 \(x=2\)에서 함수 \(y=\sqrt{2+x}\)의 일차근사함수를 구하시오.
풀이. \[y ' = \frac{1}{2\sqrt{2+x}}\] 이므로 \(2\)에서 이 함수의 미분계수는 \(\frac{1}{4}\)이며, 일차근사함수는 \[L(x) = 2+ \frac{1}{4} (x-2) = \frac{1}{4} x + \frac{3}{2}\] 이다.
예제 2. 함수 \(f(x)=\sqrt{2+x}\)의 일차근사함수를 이용하여 \(\sqrt{4.1}\)의 근삿값을 구하시오.
풀이. \(\sqrt{4.1} = f(2.1)\)이다. 여기서 \(f(2)\)의 값은 쉽게 구할 수 있으므로 \(2\)를 중심으로 하는 \(f(x)\)의 일차근사함수 \(L(x)\)를 구한 뒤 이 함수에 \(x=2.1\)을 대입하면 된다. 그런데 예제 1에서 \[L(x) = \frac{1}{4}x+ \frac{3}{2}\] 이므로 \[\sqrt{4.1} = f(2.1) \approx L(2.1) = 2.025\] 이다. 참고로 \(\sqrt{4.1}\)의 참값은 \[\sqrt{4.1} = 2.024845673131659\cdots \] 이다.
일차근사는 물리학이나 공학에서 실제로 자주 사용된다. 그 중 가장 많이 사용되는 일차근사식은 다음과 같다.
\(k\)가 실수일 때 \(0\)에 가까운 \(x\)에 대하여 \[(1+x)^k \,\approx\, 1+kx.\tag{3}\]
예컨대 \(x\)가 \(0\)에 가까울 때 다음과 같은 근사식을 사용할 수 있다. \[\begin{align} \sqrt{1+x} \,&\approx\, 1+\frac{1}{2}x ,\\[6pt] \frac{1}{1-x} \,&\approx\, 1+x ,\\[6pt] \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \,&\approx\, 1+ \frac{1}{2} x^2 . \end{align}\]
보기 3. 아인슈타인의 상대성 이론에 의하면, 정지상태에서 질량이 \(m_0\)인 물체가 \(v\)의 속력으로 움직일 때, 이 물체의 질량 \(m\)은 \[m = \frac{m_0}{\sqrt{1-v^2 / c^2}}\tag{4}\] 이다. 여기서 \(c\)는 빛의 속력으로서 약 299792458 m/s이다. 일차근사식 (3)에 \(x= -v^2/c^2 ,\) \(k=-1/2\)을 대입하면 \[\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}} \,\approx\, 1+ \frac{1}{2} \cdot \frac{v^2}{c^2}\] 을 얻는다. 그러므로 물체의 속력 \(v\)가 \(0\)에 가까울 때(일상적인 상황에서 눈으로 관찰할 수 있는 정도의 빠르기일 때) 질량 (4)의 근삿값은 \[m = \frac{m_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}} \,\approx\, m_0 + \frac{1}{2}m_0 \frac{v^2}{c^2}\] 이 된다. 이 식을 변형하면 \[(m-m_0 )c^2 \,\approx\, \frac{1}{2}m_0 v^2\tag{5}\] 인데, 이 식의 우변은 \[\frac{1}{2}m_0 v^2 = \frac{1}{2}m_0 v^2 - \frac{1}{2} m_0 (0)^2 = \Delta (\text{KE})\] 이므로 (5)는 다음과 같은 식이 된다. \[(\Delta m)c^2 \,\approx\, \Delta (\text{KE}).\] 여기서 \((\text{KE})\)는 운동에너지(kinetic energy)를 의미한다. 즉 물체가 정지상태에서 속력이 \(v\)로 변하는 동안 운동에너지의 변화량 \(\Delta (\text{KE})\)의 근삿값은 \((\Delta m )c^2\)이다. \(c \approx \)\(3.0 \times 10^8 \text{ m/s}\)임을 생각하면 작은 질량의 변화는 엄청난 운동에너지의 변화에 맞먹는다는 사실을 알 수 있다.
(Thomas' Calculus International Edition 13판 3.11절에서 발췌함.)
미분소
함수 \(y=f(x)\)가 열린 구간 \(I\)에서 미분 가능하다고 하자. 각 점 \(x\in I\)에서 \(f\)의 그래프 위의 점 \(\mathrm{P}(x,\,f(x))\)를 생각할 수 있으며, 점 \(\mathrm{P}\)에서 \(f\)의 그래프에 접하는 직선 \(L\)을 생각할 수 있다. 이 직선 \(L\) 위의 점 \(\mathrm{v}\)를, 시점이 \(\mathrm{P}\)이고 종점이 \(\mathrm{v}\)인 벡터 \(\vec{v}\)와 동일시하자. 이러한 벡터들을 모은 집합은 1차원 벡터공간이 된다. 이 벡터공간을 \(\mathrm{P}\)에서의 접공간(tangent space)이라고 부르고 \(T_{\mathrm{P}}\)로 나타낸다.
접공간 \(T_{\mathrm{P}}\)의 벡터 \(\vec{v}\)에 대하여, \(\vec{v}\)의 \(x\)축 방향의 변화량을 \(dx(\vec{v})\)로 나타내고 \(\vec{v}\)의 \(y\)축 방향의 변화량을 \(dy(\vec{v})\)로 나타낸다. \(\mathrm{v}\)는 직선 \(L\) 위에 놓여 있고, \(\vec{v}\)는 시점이 접점 \(\mathrm{P}\)이고 종점이 \(\mathrm{v}\)인 벡터이므로, \(T_{\mathrm{P}}\)의 임의의 벡터 \(\vec{v}\)에 대하여 \[dy(\vec{v}) = f ' (a) dx(\vec{v})\] 가 성립한다. 즉 이 등식은 두 함수 \(dx : T_{\mathrm{P}} \to \mathbb{R}\)와 \(dy : T_{\mathrm{P}} \to \mathbb{R}\)가 정비례 관계임을 나타낸다. (박부성 교수님의 블로그를 참고함.)
이와 같은 관점에서 \(dx\)와 \(dy\)를 다음과 같이 정의한다.
정의 1. (미분소)
함수 \(y=f(x)\)가 열린 구간 \(I\)에서 미분 가능하다고 하자. 이때 미분소 \(dx\)를 독립변수로 정의하고, 미분소 \(dy\)를 \[dy = f ' (x) dx\tag{6}\] 의 관계를 만족시키는 변수로 정의한다. 즉 \(dy\)는 \(dx,\) \(f,\) \(x\)에 의하여 변하는 변수이다.
\(dy\)를 \(df\)로 나타내기도 한다. 이때 \(df\)를 \(f\)의 미분소라고 부른다.
미분소를 구할 때에는 미분 법칙을 그대로 사용할 수 있다. 다음 보기를 보자.
보기 4. (미분소를 구하는 다양한 예)
- \(y=x^4 + 7x\)일 때 \(dy = (4x^3 + 7)dx\)이다.
- \(d(\sin 2x) = 2 \cos 2x \,dx .\)
- \(f(x) = \frac{x}{x-1}\)일 때 \[df = \frac{-1}{(x-1)^2} dx\] 이다.
응용 문제에서 \(dx\)는 \(x\)값의 작은 변화량을 나타내며, \(dy\)는 \(x\)값의 변화량에 따른 \(y\)값의 작은 변화량을 나타낸다. 즉 직관적으로는 \(\Delta x\)의 값이 \(0\)에 가까울 때 \(\Delta x\)를 \(dx\)로 두고 (6)을 이용하여 \(dy\)를 구한다. 이것을 식으로 나타내면, 함수 \(f\)가 \(a\)를 원소로 갖는 열린 구간에서 연속이고 \(a\)에서 미분 가능할 때 \(dx \approx \Delta\)로 근사하면 \[f(a+dx) = f(a) + \Delta y\] 또는 \[f(a+dx) \,\approx\, f(a) + dy\tag{7}\] 이다.
예제 5. 원의 반지름 \(r\)가 \(20\,\text{m}\)에서 \(20.1\,\text{m}\)로 증가할 때, 미분소를 이용하여 이 원의 넓이의 증가량의 근삿값과 더 커진 원의 넓이의 근삿값을 구하시오.
풀이. \(a = 20 \,(\mathrm{m})\)로 두고, 반지름이 \(r\)인 원의 넓이를 \(A(r)\)라고 하자. 그러면 \(A(r) = \pi r^2\)이고 \[dA = A ' (a) dr = 2\pi a \,dr = 2\pi \times 20 \times 0.1 = 4\pi \,(\mathrm{m}^2 )\] 이다. (7)을 이용하면 \[A(r+\Delta r) \approx A(r) + dA\] 이므로 \[A(20+0.1) \approx A(20) + 4\pi = 400 \pi + 4\pi = 404 \pi \,(\mathrm{m}^2 )\] 이다. 참고로 더 커진 원의 넓이의 참값은 \[20.1 \times 20.1 \times \pi = 404.01 \pi \,(\mathrm{m}^2 )\] 이다.
함수 \(f\)가 \(a\)를 원소로 갖는 한 열린 구간에서 연속이고 \(a\)에서 미분 가능하다고 하자. \(x\)의 값이 \(a\)에서 \(a+\Delta x\)로 변하는 동안 \(f\)의 값의 증분을 다음과 같은 두 가지 방법으로 나타낼 수 있다.
- \(f\)의 변화량의 참값 : \(\Delta f = f(a+\Delta x) - f(a) ,\)
- \(f\)의 변화량의 근삿값 : \(df = f ' (a) \Delta x .\)
여기서 \(df\)와 \(\Delta f\)의 차이를 가늠해 보자. \[\begin{align} \Delta f - df &= \Delta f - f ' (a) \Delta x \\[8pt] &= f(a+ \Delta x) - f(a) - f ' (a) \Delta x \\[6pt] &= \left( \frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x} - f ' (a) \right) \cdot \Delta x.\tag{8}\\[6pt] \end{align}\] 위 식에서 \[\epsilon = \frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x} - f ' (a)\] 라고 두면 \(\epsilon\)은 \(\Delta x\)의 값에 따라 변하는 함수이며, (8)은 \[\Delta f - df = \epsilon \cdot \Delta x\] 로 쓸 수 있다. \(\Delta x \to 0\)일 때 \[\frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x} \,\to\, f ' (a)\] 이므로, (8)에서 괄호 안의 식은 \(0\)에 수렴한다. 그러므로 \(\Delta x \to 0\)일 때 \(\epsilon \to 0\)이다. 이로써 다음 공식을 얻는다.
\(\boldsymbol{x=a}\) 근처에서 함수 \(\boldsymbol{y=f(x)}\)의 증분
함수 \(f\)가 \(a\)를 원소로 갖는 한 열린 구간에서 연속이고 \(a\)에서 미분 가능하다고 하자. \(x\)의 값이 \(a\)에서 \(a+\Delta x\)로 변하는 동안 \(f\)의 함숫값의 증분 \(\Delta y\)는 다음과 같다. \[\Delta y \,=\, f ' (a) \Delta x + \epsilon \Delta x\tag{9}\] 단, 여기서 \(\epsilon\)은 \(\Delta x \to 0\)일 때 \(\epsilon \to 0\)을 만족시키는 함수이다.
예컨대 예제 5에서 \[dA = \pi \cdot 20.1^2 - \pi \cdot 20^2 = (404.01 - 400)\pi = (4\pi + 0.01 \pi ) \,(\mathrm{m}^2 )\] 이므로, 넓이의 변화량의 근삿값의 오차는 \[\Delta A - dA = \epsilon \Delta r = 0.01 \pi\,(\mathrm{m}^2)\] 이며, 반지름의 변화량에 대한 넓이의 변화량의 근삿값의 오차율은 \[\epsilon = \frac{0.01\pi}{\Delta r} = \frac{0.01 \pi}{0.1} = 0.1 \pi \,(\mathrm{m})\] 이다.