Calculus

무한대를 포함한 극한

by I Seul Bee
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함수 \(f\)가 \(c\)에서 수렴하지 않을 때 ‘\(f\)는 \(c\)에서 발산한다’라고 말한다.

함수가 수렴하지 않는 경우를 모두 발산이라고만 하기에는 아까우므로, 발산하는 경우 중에서도 특별한 몇 가지 경우에 대해서는 극한을 따로 정의하고 그 성질을 살펴볼 필요가 있다. 예컨대 \(x\)의 값이 \(c\)에 다가갈 때 \(f(x)\)의 값이 무한히 커지거나 무한히 작아지는 경우의 극한을 생각할 수 있으며, \(x\)의 값이 무한히 커지거나 무한히 작아지는 경우의 극한도 생각할 수 있다.

이 포스트에서는 무한대가 포함된 극한을 정의하고, 이들의 성질을 살펴본다.

무한대에서 점에 수렴하는 극한

\(x\)의 값이 무한히 커지거나 \(x\)의 값이 무한히 작아질 때 \(f(x)\)의 값이 한 점에 다가가는 경우의 극한을 살펴보자.

정의 1. (무한대에서 점에 수렴하는 극한)

\(f\)가 함수이고 \(L\)이 실수라고 하자.

  1. \(f\)의 정의역 \(I\)가 위로 유계가 아니라고 하자. 만약 임의의 \(\epsilon > 0\)에 대하여 실수 \(M\)이 존재하여 \(x > M\)인 모든 \(x\in I\)에 대하여 \(\lvert f(x) - L \rvert < \epsilon\)이 성립하면, 즉 \[\forall \epsilon > 0 \, \exists M\in\mathbb{R} \, \forall x\in I \,:\,\, ( x > M \,\, \rightarrow \,\, \lvert f(x) - L \rvert < \epsilon )\] 이면, ‘\(x\)가 양의 무한대로 갈 때 \(f(x)\)는 \(L\)에 수렴한다’라고 말하고, 기호로는 \[\lim_{x\to\infty} f(x) = L\] 로 나타낸다.
  2. \(f\)의 정의역 \(I\)가 아래로 유계가 아니라고 하자. 만약 임의의 \(\epsilon > 0\)에 대하여 실수 \(N\)이 존재하여 \(x < N\)인 모든 \(x\in I\)에 대하여 \(\lvert f(x) - L \rvert < \epsilon\)이 성립하면, 즉 \[\forall \epsilon > 0 \, \exists N\in\mathbb{R} \, \forall x\in I \,:\,\, ( x < N \,\, \rightarrow \,\, \lvert f(x) - L \rvert < \epsilon )\] 이면, ‘\(x\)가 음의 무한대로 갈 때 \(f(x)\)는 \(L\)에 수렴한다’라고 말하고, 기호로는 \[\lim_{x\to -\infty} f(x) = L\] 로 나타낸다.

함수 \(f\)의 정의역이 위로 유계일 때에는 \(x \to \infty\)인 극한은 정의되지 않는다. 마찬가지로 \(f\)의 정의역이 아래로 유계일 때에는 \(x \to -\infty\)인 극한은 정의되지 않는다. 예컨대 다음 극한들은 (실수 범위에서) 정의되지 않는다. \[\lim_{x\to\infty} \sin^{-1} x ,\\[8pt] \lim_{x\to -\infty} \ln x .\] 반면에 \(f(x)\)가 정의되지 않는 점 \(x\)가 무수히 많더라도, \(f\)의 정의역이 위로 유계가 아니면 \(x\to\infty\)인 극한은 정의될 수 있으며, \(f\)의 정의역이 아래로 유계가 아니면 \(x\to\infty\)인 극한은 정의될 수 있다. 예컨대 \(x = n \pi ,\, n \in \mathbb{Z}\)일 때 \[\frac{\sin x}{x^2 \sin x}\] 는 정의되지 않지만 \[\lim_{x\to\infty} \frac{\sin x}{x^2 \sin x} = 0\] 이다.

보기 1. 다음 극한을 증명해 보자. \[\lim_{x\to \infty} \frac{1}{x} = 0 ,\quad \lim_{x\to -\infty} \frac{1}{x} =0 .\] \(\epsilon > 0\)이 임의로 주어졌다고 하자. \(M = \frac{1}{\epsilon}\)이라고 하면 \(x > M\)일 때 \[\left\lvert \frac{1}{x} -0 \right\rvert = \frac{1}{x} < \frac{1}{M} = \epsilon\] 이므로 첫 번째 극한이 증명된다. 마찬가지로 임의의 \(\epsilon > 0\)에 대하여 \(N = - \frac{1}{\epsilon}\)이라고 하면 \(x < N\)일 때 \[\left\lvert \frac{1}{x} -0 \right\rvert = - \frac{1}{x} < -\frac{1}{N} = \epsilon\] 이므도 두 번째 극한이 증명된다.

보기 2. 다음 극한을 증명해 보자. \[\lim_{x\to\infty} \frac{2x+4}{x-3} = 2.\] \(\epsilon > 0\)이 임의로 주어졌다고 하고 \[M = \frac{10}{\epsilon} +3\] 이라고 하자. 그러면 \(x > M\)인 모든 실수 \(x\)에 대하여 \[x > \frac{10}{\epsilon} +3\tag{1}\] 이고 \(x > 3\)이므로 위 부등식 (1)은 \[\frac{10}{x-3} < \epsilon\] 과 동치이다. 그러므로 \(x > M\)일 때 \[\left\lvert \frac{2x+3}{x-3} -2 \right\rvert = \frac{10}{x-3} < \epsilon\] 이 성립한다.

보기 3. 다음 극한을 증명해 보자. \[\lim_{x\to\infty} \frac{\sin x}{x^2 \sin x} = 0.\] 함수 \[f : \, x \,\mapsto\, \frac{\sin x}{x^2 \sin x}\] 는 \(x \ne n \pi ,\, n \in \mathbb{Z}\)일 때 정의되므로, 이 함수의 정의역은 위로 유계가 아니다.

이제 \(\epsilon > 0\)이 임의로 주어졌다고 하자. 그리고 \[M= \max\left\{ 1,\, \frac{1}{\epsilon} \right\}\] 이라고 하자. 그러면 \(f\)의 정의역에 속하는 \(x\) 중에서 \(x > M\)인 것은 모두 \[\begin{align} \lvert f(x) - 0 \rvert &= \frac{\sin x}{x^2 \sin x} = \frac{1}{x^2} \\[6pt] & \le \frac{1}{x} < \frac{1}{M} \le \epsilon \end{align}\] 을 만족시킨다. 그러므로 \(x\to\infty\)일 때 \(f(x) \to 0\)이다.

보기 4. 다음 극한을 증명해 보자. \[\lim_{x\to -\infty} e^x = 0.\] \(\epsilon > 0\)이 임의로 주어졌다고 하고 \(N = \ln \epsilon\)이라고 하자. 그러면 \(x < N\)일 때 \(x < \ln \epsilon\)이므로 \[\left\lvert e^x -0 \right\rvert = e^x < e^{\ln \epsilon} = \epsilon\] 이 성립한다.

점에서 수렴하는 함수의 극한의 성질은 \(x\)가 양의 무한대로 가거나 음의 무한대로 갈 때 수렴하는 함수의 극한에도 그대로 사용할 수 있다.

예컨대 두 함수 \(f\)와 \(g\)의 정의역이 위로 유계가 아니고 \(x \to \infty\)일 때 \(f(x)\)와 \(g(x)\)가 각각 \(A,\) \(B\)에 수렴하면 다음이 성립한다. \[\begin{align} \lim_{x\to\infty} (f(x)+g(x)) &= A+B, \\[6pt] \lim_{x\to\infty} (f(x)-g(x)) &= A-B, \\[6pt] \lim_{x\to\infty} (f(x)g(x)) &= AB, \\[4pt] \lim_{x\to\infty} \frac{f(x)}{g(x)} &= \frac{A}{B} \,\,\,\,(\text{if }B \ne 0). \end{align}\] 또한 세 함수 \(f,\) \(g,\) \(h\)의 정의역이 위로 유계가 아니고, 실수 \(X\)가 존재하여, \(x > X\)인 임의의 \(x\)에 대하여 \[f(x) \le g(x) \le h(x)\] 이며 \(x \to \infty\)일 때 \(f(x)\)와 \(h(x)\)가 같은 값 \(L\)에 수렴하면 \(x \to \infty\)일 때 \(g(x)\)도 \(L\)에 수렴한다. 이 정리를 샌드위치 정리 또는 조임 정리라고 부른다.

보기 5. 극한의 대수적 성질을 이용하면 \[\lim_{x\to\infty} \frac{2x+4}{x-3}\] 의 값을 쉽게 구할 수 있다. \[\begin{align} \lim_{x\to\infty} \frac{2x+4}{x-3} &= \lim_{x\to\infty} \frac{2+(4/x)}{1-(3/x)}\\[6pt] &= \frac{\lim_{x\to\infty} 2 + \lim_{x\to\infty} (4/x)}{\lim_{x\to\infty} 1 - \lim_{x\to\infty}(3/x)} \\[6pt] &= \frac{\lim_{x\to\infty} 2 + 4 \lim_{x\to\infty} (1/x)}{\lim_{x\to\infty} 1 - 3 \lim_{x\to\infty}(1/x)} \\[6pt] & = \frac{2 + 4 \times 0}{1 - 3\times 0} = 2. \tag*{\(\square\)} \end{align}\]

보기 6. 다음 극한값을 구해 보자. \[\lim_{x\to\infty} \frac{\sin x}{x^2 \sin x} \] 함수 \(f,\) \(g\)를 다음과 같이 정의하자. \[f(x) = \frac{1}{x^2} ,\,\, g(x) = \frac{\sin x}{x^2 \sin x}.\] 그러면 \(f\)와 \(g\)의 공통정의역에 있는 양수 \(x\)에 대하여 \[-f(x) \le g(x) \le f(x)\] 이며 \[\lim_{x\to\infty} f(x) =0\] 이므로 샌드위치 정리에 의하여 \[\lim_{x\to\infty} g(x) =0\] 이다.

점에서 무한대로 발산하는 극한

\(x\)의 값이 한 점에 다가갈 때 \(f(x)\)의 값이 무한히 커지거나, 무한히 작아지는 경우의 극한을 정의할 수 있다.

정의 2. (점에서 무한대로 발산하는 극한)

함수 \(f\)가 점 \(c\)를 원소로 갖는 한 열린 구간 \(I\)에서 정의되었다고 하자.

  1. 임의의 \(B > 0\)에 대하여 \(\delta > 0\)가 존재하여 \(0 < \lvert x-c \rvert < \delta\)인 모든 \(x \in I\)에 대하여 \(f(x) > B\)가 성립하면, 즉 \[\forall B > 0 \, \exists \delta > 0 \, \forall x \in I \,:\,\, ( 0 < \lvert x-c \rvert < \delta \,\rightarrow \, f(x) > B )\] 이면, ‘\(x\)가 \(c\)에 접근할 때 \(f(x)\)는 양의 무한대로 발산한다’라고 말하고, 기호로는 \[\lim_{x\to c} f(x) = \infty\] 로 나타낸다.
  2. 임의의 \(B > 0\)에 대하여 \(\delta > 0\)가 존재하여 \(0 < \lvert x-c \rvert < \delta\)인 모든 \(x \in I\)에 대하여 \(f(x) < -B\)가 성립하면, 즉 \[\forall B > 0 \, \exists \delta > 0 \, \forall x \in I \,:\,\, ( 0 < \lvert x-c \rvert < \delta \,\rightarrow \, f(x) < -B )\] 이면, ‘\(x\)가 \(c\)에 접근할 때 \(f(x)\)는 음의 무한대로 발산한다’라고 말하고, 기호로는 \[\lim_{x\to c} f(x) = - \infty\] 로 나타낸다.

보기 7. 다음 극한을 증명해 보자. \[\lim_{x\to 0} \frac{1}{\lvert x \rvert} = \infty .\] \(B > 0\)가 임의로 주어졌다고 하자. \(\delta = \frac{1}{B}\)이라고 하면 \(0 < \lvert x-0 \rvert < \delta\)일 때 \[ \frac{1}{\lvert x \rvert} > \frac{1}{\delta} = B\] 이다.

보기 8. 다음 극한을 증명해 보자. \[\lim_{x\to 1} \frac{1-x}{(x-1)^3} = - \infty .\] \(B > 0\)가 임의로 주어졌다고 하자. \(\delta = \sqrt{1/B}\)이라고 하면 \(0 < \lvert x-1 \rvert < \delta\)일 때 \[\begin{align} \lvert x-1 \rvert & < \sqrt{\frac{1}{B}} \\[6pt] (x-1)^2 & < \frac{1}{B} \\[6pt] \frac{1}{(x-1)^2} & > B \end{align}\] 이므로 \[\frac{1-x}{(x-1)^3} = \frac{-1}{(x-1)^2} < -B \] 이다.

점에서 무한대로 발산하는 극한은 좌극한과 우극한도 정의할 수 있다.

정의 3. (점에서 무한대로 발산하는 한 방향 극한)

함수 \(f\)가 길이가 양수인 한 반닫힌 구간 \(I=[c,\,d)\)에서 정의되었다고 하자.

  1. 임의의 \(B > 0\)에 대하여 \(\delta > 0\)가 존재하여 \(0 < x-c < \delta\)인 모든 \(x \in I\)에 대하여 \(f(x) > B\)가 성립하면, 즉 \[\forall B > 0 \, \exists \delta > 0 \, \forall x \in I \,:\,\, ( 0 < x-c < \delta \,\rightarrow \, f(x) > B )\] 이면, ‘\(c\)에서 \(f\)의 우극한은 양의 무한대로 발산한다’라고 말하고, 기호로는 \[\lim_{x\to c^+} f(x) = \infty\] 로 나타낸다.
  2. 임의의 \(B > 0\)에 대하여 \(\delta > 0\)가 존재하여 \(0 < x-c < \delta\)인 모든 \(x \in I\)에 대하여 \(f(x) < -B\)가 성립하면, 즉 \[\forall B > 0 \, \exists \delta > 0 \, \forall x \in I \,:\,\, ( 0 < x-c < \delta \,\rightarrow \, f(x) < -B )\] 이면, ‘\(c\)에서 \(f\)의 우극한은 음의 무한대로 발산한다’라고 말하고, 기호로는 \[\lim_{x\to c^+} f(x) = -\infty\] 로 나타낸다.

    3. 다음으로, 함수 \(g\)가 길이가 양수인 한 반열린 구간 \(J=(b,\,c]\)에서 정의되었다고 하자.

  3. 임의의 \(B > 0\)에 대하여 \(\delta > 0\)가 존재하여 \(0 < c-x < \delta\)인 모든 \(x \in J\)에 대하여 \(g(x) > B\)가 성립하면, 즉 \[\forall B > 0 \, \exists \delta > 0 \, \forall x \in J \,:\,\, ( 0 < c-x < \delta \,\rightarrow \, g(x) > B )\] 이면, ‘\(c\)에서 \(g\)의 좌극한은 양의 무한대로 발산한다’라고 말하고, 기호로는 \[\lim_{x\to c^-} g(x) = \infty\] 로 나타낸다.
  4. 임의의 \(B > 0\)에 대하여 \(\delta > 0\)가 존재하여 \(0 < c-x < \delta\)인 모든 \(x \in J\)에 대하여 \(g(x) < -B\)가 성립하면, 즉 \[\forall B > 0 \, \exists \delta > 0 \, \forall x \in J \,:\,\, ( 0 < c-x < \delta \,\rightarrow \, g(x) < -B )\] 이면, ‘\(c\)에서 \(g\)의 좌극한은 음의 무한대로 발산한다’라고 말하고, 기호로는 \[\lim_{x\to c^-} g(x) = -\infty\] 로 나타낸다.

보기 9. 다음 극한을 증명해 보자. \[\lim_{t\to 0^+} \ln t = -\infty.\] \(B > 0\)가 임의로 주어졌다고 하자. \(\delta = e^{-B}\)라고 하면 \(\delta > 0\)이다. 이제 \(0 < t-0 < \delta\)일 때 \[\begin{align} t < \delta &= e^{-B} ,\\[8pt] e^{\ln t} &< e^{-B} ,\\[8pt] \ln t &< -B \end{align}\] 이므로 \(t\to 0^+\)일 때 \(\ln t \to -\infty\)이다.

보기 10. 다음 극한을 증명해 보자. \[\lim_{x\to \pi^-} \frac{1}{\sin x} = \infty.\] 다음 등식을 이용하자. \[\sin(\pi -x) = \sin x .\] \(B > 0\)가 임의로 주어졌다고 하자. 그리고 \(\delta = \min\left\{\frac{1}{B},\,\frac{\pi}{2}\right\}\)라고 하자. 그러면 \(0 < \pi -x < \delta\)일 때 \[0 < \sin(\pi -x) < \pi -x < \delta\] 이므로 \[ \frac{1}{\sin x} = \frac{1}{\sin (\pi -x)} > \frac{1}{\delta} \ge B \] 이다. 그러므로 \(x\to \pi^-\)일 때 \(\frac{1}{\sin x} \to \infty\)이다.

무한대에서 무한대로 발산하는 극한

\(x\)의 값이 무한히 커지거나 무한히 작아질 때 \(f(x)\)의 값이 무한히 커지거나 무한히 작아지는 경우의 극한을 살펴보자.

정의 4. (무한대에서 무한대로 발산하는 극한)

\(f\)가 함수이고 \(f\)의 정의역 \(I\)가 위로 유계가 아니라고 하자.

  1. 임의의 \(B > 0\)에 대하여 실수 \(M\)이 존재하여 \(x > M\)인 모든 \(x\in I\)에 대하여 \(f(x) > B\)가 성립하면, 즉 \[\forall B > 0 \, \exists M \in \mathbb{R} \, \forall x \in I \,:\,\, ( x > M \,\rightarrow\, f(x) > B )\] 이면, ‘\(x\)가 양의 무한대로 갈 때 \(f(x)\)는 양의 무한대로 발산한다’라고 말하고, 기호로는 \[\lim_{x\to\infty} f(x) = \infty\] 로 나타낸다.
  2. 임의의 \(B > 0\)에 대하여 실수 \(M\)이 존재하여 \(x > M\)인 모든 \(x\in I\)에 대하여 \(f(x) < -B\)가 성립하면, 즉 \[\forall B > 0 \, \exists M \in \mathbb{R} \, \forall x \in I \,:\,\, ( x > M \,\rightarrow\, f(x) < -B )\] 이면, ‘\(x\)가 양의 무한대로 갈 때 \(f(x)\)는 음의 무한대로 발산한다’라고 말하고, 기호로는 \[\lim_{x\to\infty} f(x) = -\infty\] 로 나타낸다.

    3. 다음으로 \(g\)가 함수이고 \(g\)의 정의역 \(J\)가 아래로 유계가 아니라고 하자.

  3. 임의의 \(B > 0\)에 대하여 실수 \(N\)이 존재하여 \(x < N\)인 모든 \(x\in J\)에 대하여 \(g(x) > B\)가 성립하면, 즉 \[\forall B > 0 \, \exists N \in \mathbb{R} \, \forall x \in J \,:\,\, ( x < N \,\rightarrow\, g(x) > B )\] 이면, ‘\(x\)가 음의 무한대로 갈 때 \(g(x)\)는 양의 무한대로 발산한다’라고 말하고, 기호로는 \[\lim_{x\to -\infty} g(x) = \infty\] 로 나타낸다.
  4. 임의의 \(B > 0\)에 대하여 실수 \(N\)이 존재하여 \(x < N\)인 모든 \(x\in J\)에 대하여 \(g(x) < -B\)가 성립하면, 즉 \[\forall B > 0 \, \exists N \in \mathbb{R} \, \forall x \in J \,:\,\, ( x < N \,\rightarrow\, g(x) < -B )\] 이면, ‘\(x\)가 음의 무한대로 갈 때 \(g(x)\)는 음의 무한대로 발산한다’라고 말하고, 기호로는 \[\lim_{x\to -\infty} g(x) = -\infty\] 로 나타낸다.

보기 11. 다음 극한을 증명해 보자. \[\lim_{x\to\infty} e^x = \infty .\] \(B > 0\)가 임의로 주어졌다고 하자. \(M = \ln B\)라고 하면 \(x > M\)일 때 \(x > \ln B\)이므로 \[e^x > e^{\ln B} = B\] 이다.

보기 12. 다음 극한을 증명해 보자. \[\lim_{x\to -\infty} \frac{x^2 +1}{x+1} = -\infty .\] \(B > 0\)가 임의로 주어졌다고 하자. 그리고 \(N = \min \left\{ -1 ,\, -B+1 \right\}\)이라고 하자. 그러면 \(x < N\)일 때 \[\frac{2}{x+1} <0\] 이고 \[x < -B+1\] 이므로 \[\frac{x^2 +1}{x+1} = (x+1)+\frac{2}{x+1} < x+1 < -B\] 이다.

함수의 극한의 진동

\(x \to c\)인 함수 \(f\)의 극한이 수렴하지 않고, 양의 무한대로 발산하지 않고, 음의 무한대로 발산하지도 않을 때 ‘\(f\)의 극한이 진동한다(oscillate)’ 또는 ‘\(x \to c\)일 때 \(f\)는 진동한다’라고 말한다.

함수의 그래프의 점근선

직관적으로 함수의 그래프가 특정한 직선에 한 없이 가까워질 때 그 직선을 함수의 그래프의 점근선이라고 부른다. 여기서는 극한을 이용하여 그래프의 점근선을 정확하게 정의해 보자.

함수의 그래프의 점근선은 수평점근선, 수직점근선, 사선점근선으로 나눌 수 있다. 먼저 수평점근선을 살펴보자.

정의 5. (수평점근선)

직선 \(y = b\)가 함수 \(f\)의 그래프의 수평점근선이라 함은 다음 둘 중 하나 이상이 성립하는 것을 의미한다. \[\lim_{x\to\infty} f(x) = b \quad\text{or}\quad \lim_{x\to -\infty} f(x) = b.\]

점근선은 함수의 그래프와 만나지 않으면서 가까워지기도 하지만, 함수의 그래프와 교차하기도 한다. 예컨대 함수 \[f(x) = \frac{1}{x}\] 의 그래프는 점근선 \(y=0\)과 만나지 않으며, 함수 \[g(x) = \frac{\sin x}{x}\] 의 그래프는 점근선 \(y=0\)과 무수히 많은 점에서 만난다.

함수의 그래프의 수평점근선을 구할 때에는 \(x\to\infty\)일 때의 극한과 \(x\to -\infty\)일 때의 극한을 구해보면 된다.

보기 13. 함수 \(f\)가 \[f(x) = \frac{x-3}{\lvert x \rvert +1}\] 으로 주어졌을 때 \(f\)의 그래프의 수평점근선을 구해보자.

먼저 \(x > 0\)일 때 \[\lim_{x\to\infty}\frac{x-3}{\lvert x \rvert +1} = \lim_{x\to\infty}\frac{x-3}{x+1} = 1\] 이므로 직선 \(y=1\)이 수평점근선 중 하나이다. 또한 \(x < 0\)일 때 \[\lim_{x\to -\infty}\frac{x-3}{\lvert x \rvert +1} = \lim_{x\to -\infty}\frac{x-3}{-x+1} = -1\] 이므로 직선 \(y=-1\)은 또다른 수평점근선이다.

그러므로 \(f\)의 그래프의 수평점근선은 \(y=1\)과 \(y=-1\)이다.

다음으로 그래프의 수직점근선을 살펴보자.

정의 6. (수직점근선)

직선 \(x = a\)가 함수 \(f\)의 그래프의 수직점근선이라 함은 다음 넷 중 하나 이상이 성립하는 것을 의미한다. \[\begin{align} \lim _ { x\to a^+} f(x) = \infty &, \quad \lim _ { x\to a^+} f(x) = -\infty , \\[6pt] \lim _ { x\to a^-} f(x) = \infty &\quad \text{or}\quad \lim _ { x\to a^-} f(x) = -\infty . \end{align}\]

분수식으로 주어진 함수의 그래프의 수직점근선을 구할 때에는 분수식의 분모가 \(0\)이 되는 점을 찾고, 그 점에서 좌극한과 우극한을 구해보면 된다.

보기 14. 함수 \(f\)가 \[f(x) = \frac{x-3}{x^3 +2x^2 -5x -6}\] 으로 주어졌을 때 \(f\)의 그래프의 수직점근선을 구해보자.

우변의 분수식의 분모를 인수분해하면 \[f(x) = \frac{x-3}{(x-1)(x-2)(x-3)}\] 이므로 \(x=1,\) \(x=2,\) \(x=3\)일 때 분수식의 분모가 \(0\)이 된다.

\(x \to 1^{\pm}\)일 때 \(f(x) \to \mp \infty\)이므로(복부호동순), 직선 \(x=1\)은 \(f\)의 그래프의 수직점근선 중 하나이다. 다음으로 \(x \to 2^{\pm}\)일 때 \(f(x) \to \pm \infty\)이므로(복부호동순), 직선 \(x=2\)도 \(f\)의 그래프의 수직점근선이다. 한편 \(x\to 3\)일 때에는 \(f(x) \to \frac{1}{2}\)로서 \(f\)가 수렴하므로 \(x=3\)은 \(f\)의 그래프의 점근선이 아니다.

그러므로 \(f\)의 그래프의 수직점근선은 \(x=1,\) \(x=2\)이다.

마지막으로 그래프의 사선점근선을 살펴보자.

정의 7. (사선점근선)

직선 \(y = ax+b\)가 함수 \(f\)의 그래프의 사선점근선이라 함은 다음 둘 중 하나 이상이 성립하는 것을 의미한다. \[\lim_{x\to\infty} [f(x) - (ax+b)] = 0 \quad\text{or}\quad \lim_{x\to -\infty} [f(x)-(ax+b)] = 0.\]

사선점근선의 정의에서 보다시피 사선점근선의 방정식 \(y=ax+b\)를 구하려면 기울기 \(a\)와 \(y\)절편 \(b\)를 구해야 한다. 그러므로 극한값을 한 번만 구해서는 사선점근선의 방정식을 구할 수 없다. 대신 극한값을 두 번 구하여 사선점근선의 기울기와 \(y\)절편을 구할 수 있다.

즉 함수 \(f\)의 그래프의 사선점근선의 방정식을 구하는 과정은 다음과 같다.

  • 먼저 다음 극한을 구한다.\[\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}\]이 극한이 \(0\)이 아닌 값 \(a\)에 수렴하면 \(a\)는 사선점근선의 기울기가 될 수 있는 후보값이다. 만약 이 극한이 양의 무한대 또는 음의 무한대로 발산하거나 \(0\)에 수렴하면 \(x\to\infty\)일 때 \(f\)의 그래프의 사선점근선은 존재하지 않는다.
  • 이제 다음 극한을 구한다.\[\lim_{x\to\infty}(f(x) - ax)\]이 극한이 \(b\)에 수렴하면 사선점근선의 방정식은 \(y=ax+b\)가 된다. 만약 이 극한이 수렴하지 않는다면 \(x\to\infty\)일 때 \(f\)의 그래프의 사선점근선은 존재하지 않는다.
  • \(x\to -\infty\)일 때 \(f\)의 그래프의 사선점근선을 구하는 과정도 위와 동일하다.

보기 15. 함수 \(f\)가 \[f(x) = \frac{x^2-3}{\lvert x \rvert +1}\] 으로 주어졌을 때 \(f\)의 그래프의 사선점근선을 구해보자.

먼저 \[\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x} = 1\] 이고 \[\lim_{x\to\infty}(f(x)-x) = -1\] 이므로 \(y=x-1\)은 \(f\)의 그래프의 사선점근선 중 하나이다.

다음으로 \[\lim_{x\to -\infty}\frac{f(x)}{x} = -1\] 이고 \[\lim_{x\to -\infty}(f(x)-(-x)) = -1\] 이므로 \(y=-x-1\)은 \(f\)의 그래프의 또다른 사선점근선이다.

그러므로 \(f\)의 그래프의 사선점근선은 \(y=x-1,\) \(y=-x-1\)이다.