미적분학 II 자기주도적 학습 과제 (후반부)

‘자기주도적 학습 과제’는 스스로 공부하는 학생들에게 학습의 방향을 안내해주기 위한 문제입니다. 매주 5문제가 제공됩니다. Thomas Calculus 관련 단원을 공부한 후 충분히 생각하면서 문제를 풀어보세요. 여러분의 실력 향상에 도움이 될 것입니다.

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9주차

41. \(D\)가 닫힌집합이라고 합시다. 또한 수열 \(\left\{ \textbf{x}_n \right\}\)의 모든 점이 \(D\)에 속한다고 합시다. 만약 \(\left\{ \textbf{x}_n \right\}\)이 \(\textbf{L}\)에 수렴하면 \(\textbf{L} \in D\)임을 증명하세요.  [도움말: \(\textbf{L}\notin D\)라고 가정하면 \(\textbf{L}\)은 \(\mathbb{R}^2 \setminus D\)의 내부점이 됩니다. 그 뒤 극한의 정의를 이용하여 \(\left\{ \textbf{x}_n \right\}\)의 항 중에서 \(D\)에 속하지 않는 것이 존재하게 됨을 보입니다.]
42. \(D\)가 유계인 집합이고 수열 \(\left\{ \textbf{x}_n \right\}\)의 모든 점이 \(D\)에 속한다고 합시다. 그러면 \(\left\{ \textbf{x}_n \right\}\)의 부분수열 중에서 수렴하는 것이 존재함을 증명하세요.  [도움말: \(D\)가 유계이므로 \(D\)를 포함하는 유계인 직사각형 집합 \(E\)가 존재합니다. \(E\)를 합동인 네 개의 닫힌 직사각형으로 쪼개면(이들은 경계를 공유할 수 있습니다), 네 개의 직사각형 중 하나 이상은 \(\left\{ \textbf{x}_n \right\}\)의 항을 무한히 많이 가집니다. 그러한 직사각형을 골라서 \(E_1\)이라고 합시다. 이와 같은 과정을 반복하여 \(\left\{ \textbf{x}_n \right\}\)의 항을 무한히 많이 갖는 직사각형열 \(E_k\)를 만들 수 있습니다. 각 \(E_k\)에서 항 \(\textbf{x}_{n_k} \)를 하나씩 택하여 수렴하는 부분수열을 구성할 수 있습니다. 이 명제를 수열에 대한 Bolzano-Weierstrass 정리라고 부릅니다.]
43. \(D\)가 공집합이 아니고 유계인 닫힌집합이고, \(f\)가 \(D\)에서 정의된 실숫값 함수라고 합시다. 이때 \(f\)가 \(D\)에서 유계임을 증명하세요.  [도움말: \(f\)가 \(D\)에서 유계가 아니라고 가정합시다. 그러면 \(D\)의 한 점 \(\textbf{p}\)에 수렴하는 수열 \(\left\{ \textbf{x}_n \right\}\)이 존재하여 \(n \to \infty\)일 때 \(\lvert f\left(\textbf{x}_n \right) \rvert \to \infty\)를 만족시킴을 보입니다. 그리고 연속함수의 성질을 이용하여 이것이 모순임을 보입니다.]
44. 함수 \(f : D \to \mathbb{R}^m\)이 다음 조건을 만족시킬 때 ‘\(f\)는 \(D\)에서 균등연속이다’라고 말합니다. \[\forall \epsilon > 0 \, \exists \delta > 0 \, \forall s \in D \, \forall t \in D \, : \,\, ( \lvert s-t \rvert < \delta \,\, \rightarrow \,\, \lvert f(s) - f(t) \rvert < \epsilon ) \] \(f(x,\,y) = \sin x + \cos y\)일 때 \(f\)가 \(\mathbb{R}^2\)에서 균등연속임을 증명하세요.
45. \(D\)가 공집합이 아니고 유계인 닫힌 집합이며 \(f\)가 \(D\)에서 정의된 실숫값 함수라고 합시다. 만약 \(f\)가 \(D\)에서 연속이면, \(f\)는 \(D\)에서 균등연속임을 증명하세요.  [도움말: \(f\)가 \(D\)에서 균등연속이 아니라고 가정하고, \(\epsilon > 0\)과 두 수열 \(\left\{ \textbf{s} _k \right\} ,\) \(\left\{ \textbf{t} _k \right\} \)가 존재하여 \(\lvert \textbf{s}_k - \textbf{t}_k \rvert \rightarrow 0\)이면서 모든 \(k\)에 대하여 \(\lvert f(\textbf{s}_k ) -f(\textbf{t}_k) \rvert \ge \epsilon\)을 만족시킴을 보입니다. 그리고 이 사실로부터 \(f\)가 연속이라는 가정에 모순이 되는 명제를 유도합니다.]

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10주차

46. \(I\)가 닫힌 집합임을 증명하세요.
47. 적분을 정의할 때 사용한 개념인 ‘분할’을 떠올려 봅시다. \(P\)가 \(I\)의 분할이고 \[P = \left\{ x_0 ,\, x_1 ,\, x_2 ,\, \cdots ,\, x_n \right\}\] 이라고 합시다. 분할을 위와 같이 나타낼 때는 \[a = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_n = b\] 가 성립하는 것으로 약속합니다. 이때 \(i = 1,\,2,\,\cdots,\,n\)에 대하여 \[\begin{align} M_i &= \sup \left\{ f(c_i ) \,\vert\, x_{i-1} \le c_i \le x_i \right\} , \\[6pt] m_i &= \inf \left\{ f(c_i ) \,\vert\, x_{i-1} \le c_i \le x_i \right\} \end{align}\] 로 정의합니다. 즉 직관적으로 생각했을 때, 소구간 \([x_{i-1} ,\, x_i ]\)에서 \(f\)의 함숫값 중 가장 큰 값을 \(M_i\)으로 나타내고, 가장 작은 값을 \(m_i\)로 나타냅니다. (물론 \(f\)는 각 소구간에서 최댓값과 최솟값을 갖지 않을 수도 있습니다. 그래서 상한과 하한을 사용하여 \(M_i\)와 \(m_i\)를 정의합니다.) 그리고 \(I\)에서 \(P\)에 의한 \(f\)의 상합(upper sum) \(U(f,\,P)\)와 하합(lower sum) \(L(f,\,P)\)을 다음과 같이 정의합니다. \[\begin{align} U(f,\,P) &= \sum_{i=1}^n M_i \Delta x_i , \\[6pt] L(f,\,P) &= \sum_{i=1}^n m_i \Delta x_i . \end{align}\] \(P\)가 \(I\)의 분할일 때 항상 \(L(f,\,P) \le U(F,\,P)\)가 성립함을 증명하세요.
48. \(P\)와 \(Q\)가 \(I\)의 분할이고 \(P\subseteq Q\)일 때 \(Q\)를 \(P\)의 세련분할(refinement)이라고 부릅니다. 즉 분할이 구간을 자른 것으로 본다면 세련분할이란 원래의 분할에서 몇 번 더 자른 분할이라고 생각하면 됩니다. 이때 \[\begin{gather} L(f,\,P) \le L(f,\,Q) ,\\[6pt] U(f,\,P) \ge U(f,\,Q) \end{gather}\] 가 성립함을 증명하세요.
49. 만약 \(f\)가 \(I\)에서 연속이면, 임의의 양수 \(\epsilon\)에 대하여 분할 \(P\)가 존재하여 \[U(f,\,P) - L(f,\,P) < \epsilon\] 을 만족시킴을 보이세요.
50. 구간 \(I\)에서 함수 \(f\)의 상합들의 모임은 아래로 유계이므로 하한을 가집니다. 그 값을 \(I\)에서 \(f\)의 상적분(upper integral)이라 부르고 \[U_f = \inf \left\{ U(f,\,P) \,\vert\, P \text{ is a partition of }I \right\}\] 로 정의합니다. 마찬가지로 \(I\)에서 \(f\)의 하합들의 모임의 상한을 \(I\)에서 \(f\)의 하적분(lower integral)이라 부르고 \[L_f = \sup \left\{ L(f,\,P) \,\vert\, P \text{ is a partition of }I \right\}\] 로 정의합니다. \(f\)가 \(I\)에서 연속인 함수이면 \(I\)에서 \(f\)의 상적분의 값과 하적분의 값이 일치함을 증명하세요.

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11주차

51. \(f\)가 \(I\)에서 연속이면, 임의의 양수 \(\epsilon\)에 대하여 양수 \(\delta\)가 존재하여 \(\lVert P \rVert < \delta\)인 \(I\)의 임의의 분할 \(P\)에 대하여 \(U(f,\,P) - L(f,\,P) < \epsilon\)을 만족시킴을 보이세요. [도움말: 문제 49번을 참고하세요.]
52. \(f\)가 \(I\)에서 연속이면, \(I\)에서 \(f\)의 상적분값을 \(J\)라고 합시다(문제 50번을 참고하세요). 이때 \(I\)에서 \(f\)가 리만 적분 가능하고, 적분값이 \(J\)와 같음을 증명하세요. 즉 \(f\)가 \(I\)에서 연속일 때, 임의의 양수 \(\epsilon\)에 대하여 양수 \(\delta\)가 존재하여 \(\lVert P \rVert < \delta\)인 \(I\)의 임의의 분할 \(P\)와, \(P\)의 각 소구간에서 원소를 하나씩 택하여 만든 수열 \(\left\{ c_i \right\},\) \(c_i \in \left[ x_{i-1},\,x_o \right]\)에 대하여, \[\left\lvert \sum_{P} f( c_i ) \Delta x_i - J \right\rvert < \epsilon\] 이 성립함을 보이세요. [도움말: 문제 45, 49, 50, 51번을 사용하세요.]
53. \(f\)가 \(I\)에서 리만 적분 가능하면, \(I\)에서 \(f\)의 리만 적분은 다음과 같이 계산할 수 있음을 보이세요. \[\int_a^b f(x) dx = \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} f \left( a+ \frac{b-a}{n} k \right) \frac{b-a}{n}. \] [도움말: \(I\)를 \(n\)개의 소구간으로 균등하게 자른 분할을 생각하고, 각 소구간에서 오른쪽 끝점을 택하여 리만 합을 구하면 위 식의 우변의 합이 됩니다. 여기에 \(n \to \infty\)인 극한을 취하면 분할의 노름이 \(0\)에 수렴합니다.] 또한, 이 명제의 역이 성립하지 않음을 증명하세요. 즉 위 등식의 우변의 극한이 수렴할지라도 \(f\)가 \(I\)에서 리만 적분 가능하지 않은 함수 \(f\)와 구간 \(I\)의 예를 만들어 보세요.
54. \(f\)가 \(I\)에서 증가하는 함수이면, \(I\)에서 \(f\)의 상적분의 값과 하적분의 값이 일치함을 증명하세요. [도움말: 문제 49, 50번을 푸는 방법과 비슷합니다.]
55. \(f\)가 \(I\)에서 증가하는 함수이고, \(I\)에서 \(f\)의 상적분값을 \(J\)라고 합시다. 이때 \(I\)에서 \(f\)가 리만 적분 가능하고, 적분값이 \(J\)와 같음을 증명하세요. [도움말: 문제 52번을 푸는 방법과 비슷합니다.]

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12주차

56. \(R\)에서 \(f\)의 상합, 하합, 상적분, 하적분을 적절하게 정의해 보세요. [문제 47-50번을 참고하세요.]
57. \(R\)에서 \(f\)가 연속이면, \(R\)에서 \(f\)의 상적분의 값과 하적분의 값이 일치함을 증명하세요. [문제 50번을 참고하세요.]
58. \(R\)에서 \(f\)가 연속이면, \(R\)에서 \(f\)가 리만 적분 가능함을 증명하세요. [문제 52번을 참고하세요.]
59. \(R\)에서 \(f\)가 연속일 때, 문제 53과 같이 합과 극한을 이용하여 \(R\)에서 \(f\)의 리만 적분의 값을 구하는 공식을 만들어 보세요.
60. 임의의 \(x_0 \in [a,\,b]\)에 대하여 \(f(x_0 ,\,y )\)가 \(y\)에 대한 증가함수이며, 임의의 \(y_0 \in [c,\,d]\)에 대하여 \(f(x,\,y_0 )\)가 \(x\)에 대한 증가함수라고 합시다. 이때 \(f\)가 \(R\)에서 리만 적분 가능함을 보이세요. [문제 55번을 참고하세요.]

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13주차

61. 함수 \(f\)를 다음과 같이 정의합시다. \[ f(x,\,y) = \begin{cases} 1 \quad & \quad \text{if } (x,\,y)\in\mathbb{Q} \times \mathbb{Q} ,\\[8pt] 0 \quad & \quad \text{otherwise.} \end{cases} \] 이때 \(f\)가 \(R\)에서 리만 적분 불가능함을 증명하세요.
62. \(R\)에서 불연속인 점의 모임이 비가산이지만 \(R\)에서 리만 적분 가능한 함수 \(f\)의 예를 만들어 보세요.
63. 함수 \(f\)가 \(R\)의 내부에서 연속이지만 \[\int_c^d \int_a^b f(x,\,y) dx\,dy \ne \int_a^b \int_c^d f(x,\,y) dy\,dx\] 인 함수 \(f\)의 예를 만들어 보세요.
64. 함수 \(f\)가 \(R\)에서 적분 가능하지만 \(R\)에서 \(f\)의 편적분(partial integral)이 불가능한 함수 \(f\)의 예를 만들어 보세요. 즉 적당한 \(y_0 \in [c,\,d]\)가 존재하여, \(x\)에 대한 함수 \(f(x,\,y_0 )\)가 \([a,\,b]\)에서 적분 불가능한 함수 \(f\)의 예를 만들어 보세요.
65. \(R\)에서 \(f\)가 연속일 때, 다음 등식이 성립함을 증명하세요. \[\int_c^d \int_a^b f(x,\,y) dx\,dy = \int_a^b \int_c^d f(x,\,y) dy\,dx\] [도움말: 문제 59번을 이용하세요.]