미적분학 II 자기주도적 학습 과제 (전반부)

‘자기주도적 학습 과제’는 스스로 공부하는 학생들에게 학습의 방향을 안내해주기 위한 문제입니다. 매주 5문제가 제공됩니다. Thomas Calculus 관련 단원을 공부한 후 충분히 생각하면서 문제를 풀어보세요. 여러분의 실력 향상에 도움이 될 것입니다.

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1주차

1. ‘유클리드 공간’의 정의는 무엇인가요?
2. 수학에서 ‘공간(space)’이란 어떤 의미를 갖나요? ‘공간을 정의한다’라는 것은 무슨 뜻인가요?
3. Thomas Calculus에서는 유클리드 공간에서 벡터의 내적(inner product)을 기하학적 방법으로 정의하였습니다. 그러나 벡터의 내적은 성분별 곱의 합으로도 정의할 수 있습니다. 두 가지 정의의 장점과 단점을 각각 서술하고, 두 정의가 서로 동치임을 증명하세요.
4. Thomas Calculus에서는 3차원 유클리드 공간에서 벡터의 가위곱(외적, cross product)을 기하학적 방법으로 정의하였습니다. 내적과 마찬가지로 외적 또한 벡터의 성분을 이용하여 정의할 수 있습니다. 두 가지 정의의 장점과 단점을 각각 서술하고, 두 정의가 서로 동치임을 증명하세요.
5. 2차원 벡터(평면 벡터)의 외적을 정의할 수 있을까요? 정의할 수 있다면 어떻게 정의할까요? 정의할 수 없다면 그 이유는 무엇인가요? 자료를 검색하지 말고, Thomas Calculus의 내용만 보고 깊이 생각한 후 자신의 의견을 서술하세요.

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2주차

6. 3차원 유클리드 공간에서 서로 만나지 않는 두 직선이 주어졌을 때, 이들 두 직선 사이의 거리를 구하는 공식을 만들어 보세요. (직선이 주어졌다는 것은 직선의 방정식이 주어졌다는 것을 뜻합니다.) 이것을 \(n\)차원 공간으로 확장해 보세요. (단, \(n\)은 \(4\) 이상인 자연수.)
7. ‘곡선(curve)’의 정의는 무엇인가요? 미적분학(또는 미분기하학)의 관점에서 ‘곡선’을 정의하고, 곡선을 분류해 보세요.
8. 페아노 곡선(Peano curve, space filling curve)의 정의와 성질을 조사해 보세요.
9. 타원면(ellipsoid)은 3개의 축을 가지고 있습니다. 타원면이 3개의 축 중 어느 하나와 수직인 평면과 만난다면 교차하는 부분은 타원이 됩니다. 그렇다면 타원면과 만나는 평면의 방향과는 상관 없이 교차하는 부분은 타원이 될까요? 옳다면 증명하고 틀리다면 반례를 제시하세요. (단, 교차하는 부분이 한 점인 경우는 생각하지 않습니다.)
10. 카발리에리의 원리(Cavalieri's principle)를 이용하여 타원면으로 둘러싸인 부분의 부피 구하는 공식을 만들어 보세요. 그리고 그 결과를 \(n\)차원 공간으로 확장해 보세요. (단, \(n\)은 \(4\) 이상인 자연수.)

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3주차

11. \(V\)의 두 점 \(p,\) \(q\)가 있을 때, \(p\)와 \(q\) 사이의 거리를 구하는 공식을 기술하세요.
12. \(D\)가 \(V\)의 부분집합이고 \(p\in D,\) \(L\in V\)라고 합시다. 또한 \(f\)가 \(D\)로부터 \(V\)로의 함수라고 합시다. 이때 극한 "\(x \to p\)일 때 \(f(x) \to L\)이다"를 엄밀하게 정의하세요.
13. \(D\)가 \(V\)의 부분집합이고 \(p\in D\)이며 \(f\)가 \(D\)로부터 \(V\)로의 함수라고 합시다. 이때 “\(f\)가 \(p\)에서 연속이다”를 엄밀하게 정의하세요.
14. \(\left\{ x_k \right\}\)가 \(V\)의 점들로 이루어진 수열이라고 합시다. 그리고 \(L\in V\)라고 합시다. 이때 극한 “\(k \to \infty\)일 때 \(x_k \to L\)이다”를 엄밀하게 정의하세요.
15. \(D\)가 \(V\)의 부분집합이고 \(f\)가 \(D\)로부터 \(V\)로의 함수이며 \(\left\{ x_k \right\}\)가 \(D\)의 점들로 이루어진 수열이라고 합시다. 그리고 \(p\in D,\) \(L\in V\)라고 합시다. 만약 “\( ( k \to \infty\)일 때 \(x_k \to p)\) 그리고 \((x \to p\)일 때 \(f(x) \to L)\)”이면 “\(k \to \infty\)일 때 \(f( x_k ) \to L\)”임을 증명하세요.

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4주차

16. \(3\)차원 좌표공간에 평면 \(\gamma\)가 있고, 이 평면의 법선벡터가 어느 축에도 평행하지 않다고 합시다. 또 이 평면 위에 점 \(\mathrm{C}\)가 놓여 있다고 합시다. 이제 \(R > 0\)이라고 합시다. 이때 그 그래프가 \(\gamma\)에 놓여 있고 중심이 \(\mathrm{C}\)이며 반지름이 \(R\)인 원이 되도록 벡터함수 \(\mathbb{r}\)를 정의해 보세요. (김수연 학생 아이디어입니다.)
17. \(I\)가 길이가 양수인 닫힌 구간이고 함수 \(\mathbb{r}\)가 \(I\)로부터 \(\mathbb{R}^3\)로의 함수이며\[\mathbb{r} (t) = f(t) \mathbb{i} + g(t) \mathbb{j} + h(t) \mathbb{k}\]의 꼴로 정의되었다고 합시다. 여기서 \(f,\) \(g,\) \(h\)는 각각 \(I\)로부터 \(\mathbb{R}\)로의 함수입니다. 이제 \(p\in I\)이고 \(\mathbb{L} = \left( L_1 ,\, L_2 ,\, L_3 \right)\)라고 합시다. 이때\[\lim_{t\to p}\mathbb{r}(t) = \mathbb{L}\]일 필요충분조건이 \[\lim_{t\to p}f(t)=L_1 ,\,\, \lim_{t\to p}g(t)=L_2 ,\,\, \lim_{t\to p}h(t)=L_3\]가 모두 성립하는 것임을 증명하세요.
18. ‘매끄러운 곡선(smooth curve)’과 ‘조각마다 매끄러운 곡선(piecewise smooth curve)’의 뜻을 기술하고, 예를 들어 설명하세요.
19. 매끄러운 곡선의 길이를 어떻게 정의할까요? 매끄럽지 않은 곡선의 길이는 어떻게 정의할까요? 정의역이 닫힌 구간인 매끄러운 곡선의 길이가 무한일 수 있을까요? 정의역의 길이가 무한대인 열린 구간인 매끄러운 곡선의 길이가 유한일 수 있을까요? [도움말: ‘rectifiable curve’를 조사해 보세요.]
20. \(I = [0,\,1]\)이고 \(p\)가 양수이며, 함수 \(f : I \to \mathbb{R}\)가 다음과 같이 정의되었다고 합시다.\[f(x) = \begin{cases} x^p \sin \frac{1}{x} \quad& \text{if} \,\, x > 0 \\ 0 \quad& \text{if} \,\, x=0 \end{cases}\]
이때 \(f\)의 그래프의 길이가 유한이 되도록 하는 \(p\)의 값의 범위를 구하세요.

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5주차

21. 곡선의 곡률(curvature)과 비틀림률(torsion)의 정의를 기술하고, 두 개념이 기하학적으로 어떠한 의미를 갖는지 설명하세요. (관련 단원: 13.4 ~ 13.5절)
22. 열린 집합(open set), 닫힌 집합(closed set), 연결 집합(connected set)의 정의를 기술하고, 집합의 연산(합집합, 교집합, 여집합)과 관련된 이들 집합의 성질을 설명하세요. (관련 단원: 14.1절, 온라인에서 관련 정보를 검색해 보세요.)
23. \(U\)가 \(\mathbb{R}^2\)의 부분집합이고 공집합이 아니며 연결된 열린 집합이라고 합시다. 또한 \(f\)가 \(U\)로부터 \(\mathbb{R}\)로의 함수이고 \(\textbf{a} \in U\)라고 합시다. 이때 \(\textbf{a}\)에서 \(f\)의 편미분의 정의를 기술하고, 편미분계수가 갖는 기하학적 의미를 설명하세요. (관련 단원: 14.2 ~ 14.3절)
24. 함수 \(f\)와 점 \(\textbf{a}\)가 문제 23에서 정의된 것이라고 합시다. 만약 \(f\)가 \(\textbf{a}\)에서 두 변수 모두에 대하여 편미분 가능하면 \(f\)는 \(\textbf{a}\)에서 연속일까요? 만약 아니라면 \(f\)가 \(\textbf{a}\)에서 편미분 가능하다는 조건 외에 어떠한 조건이 추가되어야 \(f\)가 \(\textbf{a}\)에서 연속이라는 결론을 끌어낼 수 있을까요? (관련 단원: 14.3절)
25. 변수가 1개인 실함수의 미분계수는 하나의 실숫값으로 정해집니다. 그렇다면 변수가 2개인 함수의 미분계수는 하나의 값으로 나타낼 수 있을까요? 가능하다면 그 값은 어떻게 계산할까요? 가능하지 않다면 그 이유는 무엇인가요? 자료를 검색하지 말고, Thomas Calculus의 내용만 보고 깊이 생각한 후 자신의 의견을 서술하세요. (관련 단원: 3.11절)

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6주차

26. Thomas Calculus 14.4절을 보면 함수가 가진 변수의 개수에 따라 연쇄법칙이 다르게 기술되어 있습니다(정리 6~7). 함수가 가진 변수의 개수에 상관 없이 하나의 식으로 연쇄법칙을 나타낼 수 있을까요? 그것이 가능하다면 어떻게 나타낼까요? 불가능하다면 그 이유는 무엇인가요?
27. 방향도함수(directional derivative)의 정의를 기술하고, 방향도함수의 기하학적 의미를 설명하세요.
28. 기울기 연산(그래디언트, gradient)의 정의를 기술하고, 기울기 연산의 기하학적 의미를 설명하세요.
29. 다음 세 조건을 모두 만족시키는 함수 \(f\)를 만들어 보세요. (i) \(f\)의 정의역은 \(\mathbb{R}^2\)이고 공역은 \(\mathbb{R}\)이다. (ii) \(f\)는 \(\textbf{0}\)에서 모든 방향으로 방향미분계수를 가진다. (iii) \(f\)는 \(\textbf{0}\)에서만 불연속이고 다른 모든 점에서는 연속이다.
30. 정의역과 공역이 모두 복소수 집합 \(\mathbb{C}\)인 함수를 복소함수라고 부릅니다. 복소함수의 미분은 어떻게 정의될까요? 복소함수도 편미분이라는 개념이 있을까요? 관련 내용을 조사해 봅시다.

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7주차

31. 단위속력곡선(unit speed curve)의 뜻을 조사해 보세요. 또한 어느 점에서도 속력이 \(0\)이 되지 않는 매끄러운 곡선은 단위속력곡선이 되도록 재매개화할 수 있음을 증명하세요.
32. 3차원 공간에 놓인 곡선의 \(\textbf{T},\) \(\textbf{N},\) \(\textbf{B}\)를 4차원 공간에 놓인 곡선으로 확장한 정의를 조사해 보세요.
33. 3차원 공간에 놓인 곡선의 곡률(\(\kappa\))과 비틀림률(\(\tau\))을 4차원 공간에 놓인 곡선으로 확장한 정의를 조사해 보세요.
34. 3차원 공간에 놓인 곡선의 비틀림률이 항상 \(0\)이면, 그 곡선은 한 평면 위에 놓여 있음을 증명하세요.
35. Thomas Calculus 13.6절을 보면 극좌표계가 주어진 2차원 공간(평면)에 놓인 곡선의 속도와 가속도를 구하는 공식이 기술되어 있습니다. 그렇다면 3차원 공간에 구면좌표계가 주어졌을 때, 이 공간에 놓인 매끄러운 곡선의 속도와 가속도 구하는 공식은 어떻게 될까요?

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8주차

36. 국소극값(local extremum)과 절대극값(absolute extremum)을 정의를 기술하고, 예를 들어 설명하세요.
37. \(D\)가 공집합이 아닌 유한집합이고 \(\mathbb{R}^2\)의 부분집합이며 \(f\)가 \(D\)에서 정의된 실숫값 함수라고 합시다. 다음 문장은 참일까요, 거짓일까요: “\(f\)는 \(D\)의 모든 점에서 국소극댓값과 국소극솟값을 가진다.” 참이면 증명하고, 거짓이면 그 이유를 설명하세요.
38. \(\mathbb{Q}\)가 모든 유리수로 이루어진 집합이고, 함수 \(f : \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{R}\)가 \(f(x) = \cos x\)로 정의되어 있다고 합시다. 이때 \(f\)는 어디에서 극값을 가질까요? \(f\)가 극값을 갖는 점(정의역의 원소)을 모두 구하세요.
39. 함수 \(f\)가 실함수이고 \(a\)에서 미분 가능할 때, \(a\)에서 \(f\)의 일차근사함수(linear approximation)를 다음과 같이 정의합니다.\[L(x)=f(a) + f ' (a) (x-a)\]만약 \(f\)가 실숫값을 갖는 이변수함수라면 \(f\)의 일차근사함수를 어떻게 정의할까요? 즉 \(D\)가 \(\mathbb{R}^2\)의 열린부분집합이고 \(\textbf{p}=\left( x_0 ,\, y_0 \right)\in D\)이며 \(f : U \rightarrow \mathbb{R}\)가 \(\textbf{p}\)에서 미분 가능할 때 \(\textbf{p}\)에서 \(f\)의 일차근사함수를 어떻게 정의할까요?
40. 실숫값을 갖는 이변수함수 \(f\)가 \(\textbf{p}\)를 원소로 갖는 한 열린집합에서 연속인 이계편도함수를 가질 때, \(\textbf{p}\)에서 \(f\)의 이차근사함수(quadratic approximation)를 어떻게 정의할까요?