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‘자기주도적 학습 과제’는 스스로 공부하는 학생들에게 학습의 방향을 안내해주기 위한 문제입니다. 매주 5문제가 제공됩니다. Thomas Calculus 관련 단원을 공부한 후 충분히 생각하면서 문제를 풀어보세요. 여러분의 실력 향상에 도움이 될 것입니다.
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1주차
1주차 문제의 관련 단원은 12.1 ~ 12.4절입니다.
- ‘유클리드 공간’의 정의는 무엇인가요?
- 수학에서 ‘공간(space)’이란 어떤 의미를 갖나요? ‘공간을 정의한다’라는 것은 무슨 뜻인가요?
- Thomas Calculus에서는 유클리드 공간에서 벡터의 내적(inner product)을 기하학적 방법으로 정의하였습니다. 그러나 벡터의 내적은 성분별 곱의 합으로도 정의할 수 있습니다. 두 가지 정의의 장점과 단점을 각각 서술하고, 두 정의가 서로 동치임을 증명하세요.
- Thomas Calculus에서는 3차원 유클리드 공간에서 벡터의 가위곱(외적, cross product)을 기하학적 방법으로 정의하였습니다. 내적과 마찬가지로 외적 또한 벡터의 성분을 이용하여 정의할 수 있습니다. 두 가지 정의의 장점과 단점을 각각 서술하고, 두 정의가 서로 동치임을 증명하세요.
- 2차원 벡터(평면 벡터)의 외적을 정의할 수 있을까요? 정의할 수 있다면 어떻게 정의할까요? 정의할 수 없다면 그 이유는 무엇인가요? 자료를 검색하지 말고, Thomas Calculus의 내용만 보고 깊이 생각한 후 자신의 의견을 서술하세요.
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2주차
2주차 문제의 관련 단원은 12.5 ~ 12.6절입니다.
- 3차원 유클리드 공간에서 서로 만나지 않는 두 직선이 주어졌을 때, 이들 두 직선 사이의 거리를 구하는 공식을 만들어 보세요. (직선이 주어졌다는 것은 직선의 방정식이 주어졌다는 것을 뜻합니다.) 이것을
차원 공간으로 확장해 보세요. (단, 은 이상인 자연수.) - ‘곡선(curve)’의 정의는 무엇인가요? 미적분학(또는 미분기하학)의 관점에서 ‘곡선’을 정의하고, 곡선을 분류해 보세요.
- 페아노 곡선(Peano curve, space filling curve)의 정의와 성질을 조사해 보세요.
- 타원면(ellipsoid)은 3개의 축을 가지고 있습니다. 타원면이 3개의 축 중 어느 하나와 수직인 평면과 만난다면 교차하는 부분은 타원이 됩니다. 그렇다면 타원면과 만나는 평면의 방향과는 상관 없이 교차하는 부분은 타원이 될까요? 옳다면 증명하고 틀리다면 반례를 제시하세요. (단, 교차하는 부분이 한 점인 경우는 생각하지 않습니다.)
- 카발리에리의 원리(Cavalieri's principle)를 이용하여 타원면으로 둘러싸인 부분의 부피 구하는 공식을 만들어 보세요. 그리고 그 결과를
차원 공간으로 확장해 보세요. (단, 은 이상인 자연수.)
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3주차
다음 문제 11~15에서
의 두 점 가 있을 때, 와 사이의 거리를 구하는 공식을 기술하세요. 가 의 부분집합이고 라고 합시다. 또한 가 로부터 로의 함수라고 합시다. 이때 극한 " 일 때 이다"를 엄밀하게 정의하세요. 가 의 부분집합이고 이며 가 로부터 로의 함수라고 합시다. 이때 “ 가 에서 연속이다”를 엄밀하게 정의하세요. 가 의 점들로 이루어진 수열이라고 합시다. 그리고 라고 합시다. 이때 극한 “ 일 때 이다”를 엄밀하게 정의하세요. 가 의 부분집합이고 가 로부터 로의 함수이며 가 의 점들로 이루어진 수열이라고 합시다. 그리고 라고 합시다. 만약 “ 일 때 그리고 일 때 ”이면 “ 일 때 ”임을 증명하세요.
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4주차
4주차 문제의 관련 단원은 6.3절, 11.2절, 13.1 ~ 13.3절입니다.
차원 좌표공간에 평면 가 있고, 이 평면의 법선벡터가 어느 축에도 평행하지 않다고 합시다. 또 이 평면 위에 점 가 놓여 있다고 합시다. 이제 이라고 합시다. 이때 그 그래프가 에 놓여 있고 중심이 이며 반지름이 인 원이 되도록 벡터함수 를 정의해 보세요. (김수연 학생 아이디어입니다.) 가 길이가 양수인 닫힌 구간이고 함수 가 로부터 로의 함수이며 의 꼴로 정의되었다고 합시다. 여기서 는 각각 로부터 로의 함수입니다. 이제 이고 라고 합시다. 이때 일 필요충분조건이 가 모두 성립하는 것임을 증명하세요.- ‘매끄러운 곡선(smooth curve)’과 ‘조각마다 매끄러운 곡선(piecewise smooth curve)’의 뜻을 기술하고, 예를 들어 설명하세요.
- 매끄러운 곡선의 길이를 어떻게 정의할까요? 매끄럽지 않은 곡선의 길이는 어떻게 정의할까요? 정의역이 닫힌 구간인 매끄러운 곡선의 길이가 무한일 수 있을까요? 정의역의 길이가 무한대인 열린 구간인 매끄러운 곡선의 길이가 유한일 수 있을까요? [도움말: ‘rectifiable curve’를 조사해 보세요.]
이고 가 양수이며, 함수 가 다음과 같이 정의되었다고 합시다. 이때
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5주차
- 곡선의 곡률(curvature)과 비틀림률(torsion)의 정의를 기술하고, 두 개념이 기하학적으로 어떠한 의미를 갖는지 설명하세요. (관련 단원: 13.4 ~ 13.5절)
- 열린 집합(open set), 닫힌 집합(closed set), 연결 집합(connected set)의 정의를 기술하고, 집합의 연산(합집합, 교집합, 여집합)과 관련된 이들 집합의 성질을 설명하세요. (관련 단원: 14.1절, 온라인에서 관련 정보를 검색해 보세요.)
가 의 부분집합이고 공집합이 아니며 연결된 열린 집합이라고 합시다. 또한 가 로부터 로의 함수이고 라고 합시다. 이때 에서 의 편미분의 정의를 기술하고, 편미분계수가 갖는 기하학적 의미를 설명하세요. (관련 단원: 14.2 ~ 14.3절)- 함수
와 점 가 문제 23에서 정의된 것이라고 합시다. 만약 가 에서 두 변수 모두에 대하여 편미분 가능하면 는 에서 연속일까요? 만약 아니라면 가 에서 편미분 가능하다는 조건 외에 어떠한 조건이 추가되어야 가 에서 연속이라는 결론을 끌어낼 수 있을까요? (관련 단원: 14.3절) - 변수가 1개인 실함수의 미분계수는 하나의 실숫값으로 정해집니다. 그렇다면 변수가 2개인 함수의 미분계수는 하나의 값으로 나타낼 수 있을까요? 가능하다면 그 값은 어떻게 계산할까요? 가능하지 않다면 그 이유는 무엇인가요? 자료를 검색하지 말고, Thomas Calculus의 내용만 보고 깊이 생각한 후 자신의 의견을 서술하세요. (관련 단원: 3.11절)
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6주차
6주차 문제의 관련 단원은 14.4 ~ 14.5절입니다.
- Thomas Calculus 14.4절을 보면 함수가 가진 변수의 개수에 따라 연쇄법칙이 다르게 기술되어 있습니다(정리 6~7). 함수가 가진 변수의 개수에 상관 없이 하나의 식으로 연쇄법칙을 나타낼 수 있을까요? 그것이 가능하다면 어떻게 나타낼까요? 불가능하다면 그 이유는 무엇인가요?
- 방향도함수(directional derivative)의 정의를 기술하고, 방향도함수의 기하학적 의미를 설명하세요.
- 기울기 연산(그래디언트, gradient)의 정의를 기술하고, 기울기 연산의 기하학적 의미를 설명하세요.
- 다음 세 조건을 모두 만족시키는 함수
를 만들어 보세요. (i) 의 정의역은 이고 공역은 이다. (ii) 는 에서 모든 방향으로 방향미분계수를 가진다. (iii) 는 에서만 불연속이고 다른 모든 점에서는 연속이다. - 정의역과 공역이 모두 복소수 집합
인 함수를 복소함수라고 부릅니다. 복소함수의 미분은 어떻게 정의될까요? 복소함수도 편미분이라는 개념이 있을까요? 관련 내용을 조사해 봅시다.
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7주차
7주차 문제의 관련 단원은 13.3 ~ 13.6절입니다. 이번 문제는 어려운 편이니 관련 내용을 검색하며 답을 찾기 바랍니다. (물론, 직접 풀면 더 좋습니다.)
- 단위속력곡선(unit speed curve)의 뜻을 조사해 보세요. 또한 어느 점에서도 속력이
이 되지 않는 매끄러운 곡선은 단위속력곡선이 되도록 재매개화할 수 있음을 증명하세요. - 3차원 공간에 놓인 곡선의
를 4차원 공간에 놓인 곡선으로 확장한 정의를 조사해 보세요. - 3차원 공간에 놓인 곡선의 곡률(
)과 비틀림률( )을 4차원 공간에 놓인 곡선으로 확장한 정의를 조사해 보세요. - 3차원 공간에 놓인 곡선의 비틀림률이 항상
이면, 그 곡선은 한 평면 위에 놓여 있음을 증명하세요. - Thomas Calculus 13.6절을 보면 극좌표계가 주어진 2차원 공간(평면)에 놓인 곡선의 속도와 가속도를 구하는 공식이 기술되어 있습니다. 그렇다면 3차원 공간에 구면좌표계가 주어졌을 때, 이 공간에 놓인 매끄러운 곡선의 속도와 가속도 구하는 공식은 어떻게 될까요?
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8주차
8주차 문제의 관련 단원은 14.5 ~ 14.7절입니다.
- 국소극값(local extremum)과 절대극값(absolute extremum)을 정의를 기술하고, 예를 들어 설명하세요.
가 공집합이 아닌 유한집합이고 의 부분집합이며 가 에서 정의된 실숫값 함수라고 합시다. 다음 문장은 참일까요, 거짓일까요: “ 는 의 모든 점에서 국소극댓값과 국소극솟값을 가진다.” 참이면 증명하고, 거짓이면 그 이유를 설명하세요. 가 모든 유리수로 이루어진 집합이고, 함수 가 로 정의되어 있다고 합시다. 이때 는 어디에서 극값을 가질까요? 가 극값을 갖는 점(정의역의 원소)을 모두 구하세요.- 함수
가 실함수이고 에서 미분 가능할 때, 에서 의 일차근사함수(linear approximation)를 다음과 같이 정의합니다. 만약 가 실숫값을 갖는 이변수함수라면 의 일차근사함수를 어떻게 정의할까요? 즉 가 의 열린부분집합이고 이며 가 에서 미분 가능할 때 에서 의 일차근사함수를 어떻게 정의할까요? - 실숫값을 갖는 이변수함수
가 를 원소로 갖는 한 열린집합에서 연속인 이계편도함수를 가질 때, 에서 의 이차근사함수(quadratic approximation)를 어떻게 정의할까요?