미적분학 II 과제입니다. 다음 문제 중 하나 이상을 풀어서 제출하세요. 문제에서 \(f\)는 항상 정의역이 \(\mathbb{R}^2\)이고 공역이 \(\mathbb{R}\)인 함수를 나타냅니다. 또한 증명은 모두 극한과 연속의 엄밀한 정의(\(\epsilon - \delta\) 논법)를 사용해야 합니다. (문제에서 ‘참고’는 힌트가 아닙니다.)
문제 1. 함수 \(f\)가 다음과 같이 정의되어 있다. \[f(x,\,y) = \sin x + \sin y\] 이때, \(f\)가 모든 점 \((x,\,y)\)에서 연속임을 보이시오.
문제 2. 함수 \(f\)가 다음과 같이 정의되어 있다.
\[f(x,\,y) =
\begin{cases}
1 \quad & \text{if} \,\, y=x^2 \text{ and } x > 0 \\[6pt]
0 \quad & \text{otherwise}
\end{cases}
\]
이때, \(f\)가 \((0,\,0)\)에서 불연속임을 보이시오.
[참고: 이 함수는 \((0,\,0)\)에서 모든 방향으로의 방향미분계수가 \(0\)이다.]
문제 3. 함수 \(f\)가 다음과 같이 정의되어 있다. \[f(x,\,y) = \begin{cases} \frac{x^4 + y^4}{x^2 + y^2} \quad & \text{if} \,\, (x,\,y) \ne (0,\,0) \\[6pt] 0 \quad & \text{otherwise} \end{cases} \] 이때, \(f\)가 \((0,\,0)\)에서 연속임을 보이시오.
문제 4. 함수 \(f\)가 다음과 같이 정의되어 있다.
\[f(x,\,y) =
\begin{cases}
x^2 + y^2 \quad & \text{if} \,\, (x,\,y) \in \mathbb{Q} \times \mathbb{Q} \\[6pt]
0 \quad & \text{otherwise}
\end{cases}
\]
이때, \(f\)가 \((0,\,0)\)에서만 연속이고 다른 점에서는 불연속임을 증명하시오.
[참고: 이 함수는 \((0,\,0)\)에서 미분 가능하다.]