자연상수 $e$와 원주율 $\pi$는 무리수이다

증명

$e_n:=(1+1/n{)}^n$이라고 하자. 단조수렴 정리를 이용하여 수열 $\left\{e_n\right\}$이 수렴함을 보이자.

먼저 $\left\{e_n\right\}$이 증가수열임을 보이자. $n\ge 2,$ $x>-1$일 때 베르누이의 부등식에 의하여 다음이 성립한다. $$(1+x{)}^n>1+nx.$$ (만약 위 부등식을 배우지 않았다면 직접 증명해 보자. $n$에 대한 수학적 귀납법을 이용하면 된다.)

위 부등식에 $x=-1/n^2$을 대입하자. 그러면 $${(1-\frac{1}{n^2})}^n>1-\frac{1}{n}$$ 을 얻는다. 이 식을 변형하면 $${(1+\frac{1}{n})}^n{(1-\frac{1}{n})}^n>1-\frac{1}{n}$$ 이며, 양변을 $(1-1/n{)}^n$으로 나눈 뒤 변형하면 $${(1+\frac{1}{n})}^n>{(1+\frac{1}{n-1})}^{n-1}$$ 을 얻는다. 즉 $e_n>e_{n-1}$이므로 $\left\{e_n\right\}$은 증가수열이다.

다음으로 $\left\{e_n\right\}$이 위로 유계임을 보이자. $n$이 충분히 큰 자연수일 때, 이항 정리를 이용하면 다음을 얻는다. $$\begin{array}{rl}{e}_n& ={(1+\frac{1}{n})}^n\\ & =\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\frac{1}{n^k}\\ & =1+1+\sum _{k=2}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\frac{1}{n^k}\\ & =1+1+\sum _{k=2}^n\frac{n!}{k!(n-k)!}\frac{1}{n^k}\\ \text{(2)}& & =1+1+\sum _{k=2}^n\frac{1}{k!}\cdot \frac{n}{n}\frac{n-1}{n}\frac{n-2}{n}\cdots \frac{n-k+1}{n}\text{(3)}& & <1+1+\sum _{k=2}^n\frac{1}{k!}& =1+1+(\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\cdots +\frac{1}{n!})\\ & <1+1+(\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\cdots +\frac{1}{2^{n-1}})\\ \text{(4)}& & <1+1+1=3.\end{array}$$ 즉 $\left\{e_n\right\}$은 위로 유계이다.

그러므로 단조수렴 정리에 의하여 $\left\{e_n\right\}$은 수렴한다.

증명

$b_n=\sum _{k=0}^{n}1/k!$이라고 하고, $\left\{b_n\right\}$의 극한을 $B$라고 하자.

명백히 $\left\{b_n\right\}$은 증가수열이고, (3)과 (4)에 의하여 $\left\{b_n\right\}$은 위로 유계이므로 단조수렴 정리에 의하여 $\{b_n\}$은 수렴한다. 그러므로 극한 $B$는 잘 정되었다.

이제 정리의 등식을 증명하자. 즉 $e=B$임을 증명하자.

먼저 (3)에 의하여 $${(1+\frac{1}{n})}^n<\sum _{k=0}^n\frac{1}{k!}$$ 이다. 이 부등식의 양변에 $n\to \mathrm{\infty }$인 극한을 취하면 $e\le B$를 얻는다.

다음으로 $e\ge B$임을 보이자. 자연수 $m$이 임의로 주어졌다고 하자. 그리고 $n$이 $m$보다 큰 자연수라고 하자. (2)에 의하여 $$\begin{array}{rl}{(1+\frac{1}{n})}^n& =1+1+\sum _{k=2}^n\frac{1}{k!}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})\cdots (1-\frac{k-1}{n})\\ & >1+1+\sum _{k=2}^m\frac{1}{k!}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})\cdots (1-\frac{k-1}{n})\end{array}$$ 이다. 부등식의 양변에 $n\to \mathrm{\infty }$인 극한을 취하면 $$e\ge 1+1+\sum _{k=2}^m\frac{1}{k!}=b_m$$ 을 얻는다. 여기서 다시 부등식의 양변에 $m\to \mathrm{\infty }$인 극한을 취하면 $e\ge B$를 얻는다.

그러므로 $e=B$이다.

증명

$e$가 유리수라고 가정하자. 그러면 $e=p/q$이고 서로소인 자연수 $p$와 $q$가 존재한다.

$b_q=\sum _{k=0}^{q}1/k!$이라고 하자. 그러면 $$\begin{array}{rl}e-b_q& =\frac{1}{(q+1)!}+\frac{1}{(q+2)!}+\frac{1}{(q+3)!}+\cdots \\ & =\frac{1}{(q+1)!}(1+\frac{1}{q+2}+\frac{1}{(q+2)(q+3)}+\cdots )\\ & <\frac{1}{(q+1)!}(1+\frac{1}{q+1}+\frac{1}{(q+1{)}^2}+\cdots )\\ & =\frac{1}{(q+1)!}\frac{1}{1-\frac{1}{q+1}}\\ & =\frac{1}{(q+1)!}\frac{q+1}{q}\\ & =\frac{1}{q!q}\end{array}$$ 이므로 $$\begin{array}{}\text{(5)}& q!(e-b_q)<\frac{1}{q}\le 1\end{array}$$ 이다. 그런데 $q!e$와 $q!b_q$가 모두 자연수이고 $e>b_q$이므로 $q!(e-b_q)$ 또한 자연수이다. 이것은 (5)에 모순이다.

그러므로 $e$는 무리수이다.

증명

$a=0$인 경우에는 (6)이 자명하게 성립한다.

$a>0$인 경우를 증명하자. $m>2a$인 자연수 $m$을 택하자. 그러면 $n>m$일 때 $$\begin{array}{rl}\frac{a^n}{n!}& =\frac{a^m}{m!}\cdot \frac{a^{n-m}}{(m+1)(m+2)\cdots n}\\ & =\frac{a^m}{m!}\cdot \frac{a}{m-1}\frac{a}{m-2}\cdots \frac{a}{n}\\ & <\frac{a^m}{m!}\cdot \frac{1}{2}\frac{1}{2}\cdots \frac{1}{2}\\ & =\frac{a^m}{m!}\cdot \frac{1}{2^{n-m}}\\ & =\frac{a^m}{m!}\cdot \frac{1}{2^n{2}^{-m}}\\ & =\frac{a^m{2}^m}{m!}\cdot \frac{1}{2^n}\end{array}$$ 즉 $$0<\frac{a^n}{n!}<\frac{a^m{2}^m}{m!}\cdot \frac{1}{2^n}$$ 이다. 그런데 $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{a^m{2}^m}{m!}\cdot \frac{1}{2^n})=0$$ 이므로 샌드위치 정리(조임 정리)에 의하여 $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a^n}{n!}=0$$ 이다.

$a<0$일 때에는 $$-\left|\frac{a^n}{n!}\right|\le \frac{a^n}{n!}\le \left|\frac{a^n}{n!}\right|$$ 이고, 왼쪽의 식과 오른쪽의 식이 $0$에 수렴함을 이미 증명했으므로 샌드위치 정리에 의하여 가운데 식도 $0$에 수렴한다.

증명

$p=0$인 경우, 즉 $f$가 우함수인 경우만 증명해도 충분하다. 왜냐하면 $p\ne 0$인 경우에는 함수의 그래프를 $x$축의 방향으로 $-p$만큼 평행이동하여 우함수의 그래프가 되도록 할 수 있기 때문이다.

$f$가 우함수이므로 연쇄 법칙에 의하여 $x>0$인 임의의 $x$에 대하여 $$f^{\prime }(-x)=-f^{\prime }(x)$$ 이다. 양변을 한 번 더 미분하면 연쇄 법칙에 의하여 $$-f^{″}(-x)=-f^{″}(x)$$ 이므로 $f^{″}(-x)=f^{″}(x)$이다. 그러므로 $f^{″}$은 우함수이다.

이로써 우함수의 이계도함수가 우함수임이 증명되었다.

두 번 미분하는 과정을 반복하면 임의의 자연수 $n$에 대하여 $f^{(2n)}$이 우함수임이 증명된다.

$p\ne 0$인 경우 $F(x)=f(x+p)$라고 하면 $F$는 우함수이다. 그러므로 $F^{(2n)}$도 우함수이다. 그런데 $$f^{(2n)}(x)=F^{(2n)}(x-p)$$ 이므로 $y=f^{(2n)}(x)$의 그래프는 직선 $x=p$에 대칭이다.

증명

$P$가 $m$차 다항함수라고 하고 $$P(x)=a_m{x}^m+a_{m-1}{x}^{m-1}+\cdots +a_n{x}^n$$ 으로 나타내자.

$k<n$일 때 $k$계 도함수 $P^{(}k)(x)$는 상수항을 갖지 않는 다항함수이다. 그러므로 $P^{(k)}(0)/n!=0$이다.

$k=n$일 때 $P^{(n)}(x)$의 상수항은 $n!a_n$이고, 다른 항은 모두 $x$를 인수로 가지므로 $P^{(n)}(0)/n!=a_n$이다. 그런데 $a_n$이 정수이므로 $P^{(n)}(0)/n!$도 정수이다.

마찬가지로 $k>n$일 때 $P^{(k)}(x)$의 상수항은 정수계수를 갖는 단항식을 $n$번 이상 미분하여 상수가 된 것이므로 $n!$에 정수를 곱한 형태이다. 따라서 $P^{(k)}(0)/n!$은 정수이다.

증명

부분적분법을 이용하자. $\sin 0=\sin \pi =0$이라는 사실을 이용하여 계산하면 다음을 얻는다. $$\begin{array}{rl}{\int }_0^{\pi }f(x)\sin xdx& ={[-f(x)\cos x]}_0^{\pi }+{\int }_0^{\pi }{f}^{\prime }(x)\cos xdx\\ & ={[-f(x)\cos x+f^{\prime }(x)\sin x]}_0^{\pi }-{\int }_0^{\pi }{f}^{″}(x)\sin xdx\\ & ={[-f(x)\cos x]}_0^{\pi }-{\int }_0^{\pi }{f}^{″}(x)\sin xdx\\ & ={[-f(x)\cos x+f^{″}(x)\cos x]}_0^{\pi }+{\int }_0^{\pi }{f}^{(3)}(x)\cos xdx\\ & ={[-f(x)\cos x+f^{″}(x)\cos x]}_0^{\pi }-{\int }_0^{\pi }{f}^{(4)}(x)\sin xdx\\ & ={[-f(x)\cos x+f^{″}(x)\cos x-f^{(4)}(x)\cos x]}_0^{\pi }+{\int }_0^{\pi }{f}^{(5)}(x)\cos xdx\\ & ⋮\\ & ={[-F(x)\cos x]}_0^{\pi }+(-1{)}^n{\int }_0^{\pi }{f}^{(2n+1)}(x)\sin xdx\\ & =F(\pi )+F(0)+(-1{)}^n{\int }_0^{\pi }0\sin xdx\\ ◼& & =F(\pi )+F(0).\end{array}$$

증명

$\pi$가 유리수라고 가정하자. 그러면 $\pi =p/q$이고 서로소인 자연수 $p$와 $q$가 존재한다. $n$이 자연수이고 $$I_n=\frac{q^n}{n!}{\int }_0^{\pi }{x}^n(\pi -x{)}^n\sin xdx$$ 라고 하자. 피적분함수 $x^n(\pi -x{)}^n\sin x$는 적분 범위 내에서 $0$ 이상의 값을 가지며 $x=\pi /2$일 때 최댓값을 가지므로 $$0<I_n\le \frac{q^n}{n!}{\int }_0^{\pi }{\left(\frac{\pi }{2}\right)}^{2n}dx=\frac{\pi q^n}{n!}{\left(\frac{\pi }{2}\right)}^{2n}$$ 이다. 보조정리 4에 의하여, $n\to \mathrm{\infty }$일 때 $$\frac{\pi q^n}{n!}{\left(\frac{\pi }{2}\right)}^{2n}\to 0$$ 이므로, 샌드위치 정리에 의하여 $I_n\to 0$이다. 그러므로 충분히 큰 자연수 $n$에 대하여 $$\begin{array}{}\text{(9)}& 0<I_n<1\end{array}$$ 이다. 이제 $n$은 (9)를 만족시킬 정도로 충분히 큰 자연수라고 하고 $$P(x)=x^n{(p-qx)}^n,f(x)=\frac{P(x)}{n!}$$ 라고 하자. $p$와 $q$가 자연수이므로 $P(x)$는 정수계수를 갖는 $2n$차 다항식이며 최저차항의 차수는 $n$이다. 또한 $\pi =p/q$이므로 $$P(x)=x^n(p-qx{)}^n=q^n{x}^n(\pi -x{)}^n$$ 이고 $$I_n=\frac{1}{n!}{\int }_0^{\pi }P(x)\sin xdx={\int }_0^{\pi }f(x)\sin xdx$$ 이다. 그러므로 (7)에서 정의한 함수 $F$를 이용하면 보조정리 7에 의하여 위 적분은 다음과 같이 계산된다. $$\begin{array}{}\text{(10)}& I_n=F(\pi )+F(0).\end{array}$$ 그런데 $P(x)$는 최저차항의 차수가 $n$인 다항함수이므로, 보조정리 6에 의하여 $F(0)$은 정수의 합이다. 즉 $F(0)$의 값은 정수이다. 더욱이 보조정리 5에 의하여 $F$는 그래프가 직선 $x=\pi /2$에 대칭인 함수의 합이므로 $F$의 그래프 또한 직선 $x=\pi /2$에 대칭이다. 그러므로 $F(\pi )=F(0)$이다. 즉 $F(\pi )$의 값도 정수이다.

이로써 (10)의 우변은 정수와 정수의 합이므로 $I_n$은 정수이다. 그런데 (9)에 의하여 $I_n$은 $0$보다 크고 $1$보다 작다. 이것은 모순이다.

그러므로 $\pi$는 유리수가 아니다.