삼각함수와 역삼각함수의 미분

이 포스트에서는 삼각함수와 역삼각함수의 미분 공식을 살펴본다.

삼각함수의 미분

삼각함수의 미분 공식을 유도할 때에는 삼각함수의 덧셈 공식 \[\sin (x+h) = \sin x \cos h + \cos x \sin h\] 와 극한 공식 \[\lim_{h\to 0}\frac{\cos h -1}{h} = 0 ,\quad \lim_{h\to 0}\frac{\sin h}{h} =1\] 이 사용된다. 이 공식을 이용하여 사인 함수의 도함수를 구하면 다음과 같다. \[\begin{align} \frac{d}{dx} \sin x &= \lim_{h\to 0} \frac{\sin(x+h) - \sin x}{h} \\[6pt] &= \lim_{h\to 0} \frac{(\sin x \cos h + \cos x \sin h) - \sin x}{h} \\[6pt] &= \lim_{h\to 0} \frac{\sin x ( \cos h -1) + \cos x \sin h}{h} \\[6pt] &= \lim_{h\to 0} \left( \sin x \cdot \frac{\cos h -1}{h} \right) + \lim_{h\to 0} \left( \cos x \cdot \frac{\sin h}{h} \right )\\[6pt] &= \sin x \cdot \lim_{h\to 0}\frac{\cos h -1}{h} + \cos x \cdot \lim_{h\to 0} \frac{\sin h}{h} \\[8pt] &= \sin x \cdot 0 + \cos x \cdot 1\\[8pt] &= \cos x. \end{align}\] 즉 \[\frac{d}{dx} \sin x = \cos x \] 이다. 또한 \[\cos x = \sin \left( x+ \frac{\pi}{2} \right)\] 이므로 \[\begin{align} \frac{d}{dx} \cos x &= \frac{d}{dx} \sin \left( x+ \frac{\pi}{2} \right) \\[6pt] &= \cos \left( x + \frac{\pi}{2} \right) \\[8pt] &= - \sin x \end{align}\] 즉 \[\frac{d}{dx} \cos x = -\sin x\] 이다. 한편 \[\begin{align} \tan x &= \frac{\sin x}{\cos x},\\[6pt] \sec x &= \frac{1}{\cos x},\\[6pt] \csc x &= \frac{1}{\sin x},\\[6pt] \cot x &= \frac{\cos x}{\sin x} \end{align}\] 이므로 \[\begin{align} \frac{d}{dx} \tan x &= \frac{d}{dx} \frac{\sin x}{\cos x} \\[6pt] &= \frac{\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot (-\sin x)}{(\cos x)^2} \\[6pt] &= \frac{1}{(\cos x)^2} = \sec^2 x ,\\[8pt] \frac{d}{dx} \sec x &= \frac{d}{dx} \frac{1}{\cos x} \\[6pt] &= \frac{-(-\sin x)}{(\cos x)^2} = \sec x \cdot \tan x ,\\[8pt] \frac{d}{dx} \csc x &= \frac{d}{dx} \frac{1}{\sin x} \\[6pt] &= \frac{-\cos x}{(\sin x)^2} = -\csc x \cdot \cot x ,\\[8pt] \frac{d}{dx}\cot x &= \frac{d}{dx} \frac{\cos x}{\sin x}\\[6pt] &= \frac{-\sin x \cdot \sin x - \cos x \cdot \cos x}{(\sin x)^2}\\[6pt] &= -\frac{1}{(\sin x)^2} = -\csc^2 x \end{align}\] 이다. 지금까지 살펴본 내용을 정리하면 다음과 같다.

역삼각함수의 미분

삼각함수는 일대일 함수가 아니기 때문에 그 역함수가 존재하지 않는다. 그러나 삼각함수의 정의역을 축소하여 일대일 함수가 되도록 만듦으로써 그 역함수를 정의할 수 있다. 이와 같은 관점에서 삼각함수의 역함수를 다음과 같이 정의하자. \[\begin{align} y = \sin^{-1} x \,\, &\Longleftrightarrow \,\, x=\sin y \,\,\,\text{for}\,\,\, y\in \left[ -\frac{\pi}{2} ,\, \frac{\pi}{2}\right],\\[6pt] y = \cos^{-1} x \,\, &\Longleftrightarrow \,\, x=\cos y \,\,\,\text{for}\,\,\, y\in \left[ 0 ,\, \pi\right],\\[6pt] y = \tan^{-1} x \,\, &\Longleftrightarrow \,\, x=\tan y \,\,\,\text{for}\,\,\, y\in \left( -\frac{\pi}{2} ,\, \frac{\pi}{2}\right),\\[6pt] y = \cot^{-1} x \,\, &\Longleftrightarrow \,\, x=\cot y \,\,\,\text{for}\,\,\, y\in \left( 0 ,\, \pi\right),\\[6pt] y = \sec^{-1} x \,\, &\Longleftrightarrow \,\, x=\sec y \,\,\,\text{for}\,\,\, y\in \left[ 0 ,\, \pi \right] \setminus \left\{\frac{\pi}{2}\right\},\\[6pt] y = \csc^{-1} x \,\, &\Longleftrightarrow \,\, x=\csc y \,\,\,\text{for}\,\,\, y\in \left[ -\frac{\pi}{2} ,\,\frac{\pi}{2} \right] \setminus \left\{ 0 \right\}. \end{align}\] 삼각함수의 역함수를 나타낼 때 지수에 \(-1\)을 쓰는 대신 앞에 \(\text{arc}\)를 붙이기도 한다. 즉 위 여섯 개의 역삼각함수 중 첫 세 개는 각각 \[\arcsin x ,\,\, \arccos x ,\,\, \arctan x\] 로 나타내기도 한다.

정의에 의하여 역삼각함수는 다음과 같은 정의역을 가진다. \[\begin{align} y=\sin^{-1}x \,\,\,&\text{for}\,\,\, x\in [-1,\,1], \\[6pt] y=\cos^{-1}x \,\,\,&\text{for}\,\,\, x\in [-1,\,1], \\[6pt] y=\tan^{-1}x \,\,\,&\text{for}\,\,\, x\in \mathbb{R}, \\[6pt] y=\cot^{-1}x \,\,\,&\text{for}\,\,\, x\in \mathbb{R}, \\[6pt] y=\sec^{-1}x \,\,\,&\text{for}\,\,\, x\in (-\infty ,\, -1] \cup [1,\, \infty ), \\[6pt] y=\csc^{-1}x \,\,\,&\text{for}\,\,\, x\in (-\infty ,\, -1] \cup [1,\, \infty ). \end{align}\] 삼각함수의 역함수를 정의하기 위하여 정의역을 축소하는 방법은 위와 같은 방법이 유일한 것은 아니다. 책에 따라서 다른 정의역과 다른 치역을 설정한 후 역함수를 정의하기도 하며, 현실 상황에서 응용할 때 상황에 맞게 정의역과 치역을 설정하기도 한다.

이제 이 함수들의 도함수를 구해 보자. 먼저 역함수의 미분법을 이용하여 역사인의 도함수를 구하면 다음과 같다. \[\begin{align} \frac{d}{dx} \sin^{-1} x &= \frac{1}{\cos (\sin^{-1} x )}\\[6pt] &= \frac{1}{\sqrt{1-\sin^2 (\sin^{-1} x)}} \\[6pt] &= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \,\,\,(\lvert x \rvert < 1). \end{align}\] 다음으로 역탄젠트의 도함수를 구하면 다음과 같다. \[\begin{align} \frac{d}{dx}\tan^{-1} x &= \frac{1}{\sec^2 (\tan^{-1} x )} \\[6pt] &= \frac{1}{1+\tan^2 (\tan^{-1} x )} \\[6pt] &= \frac{1}{1+x^2}. \end{align}\] 위 등식은 모든 실수 \(x\)에 대하여 성립한다.

역시컨트 함수의 도함수를 구하는 과정은 앞의 두 함수에 비해 까다롭다. 일단 \(0\)과 \(\pi\)에서 코사인의 미분계수는 \(0\)이므로 역함수의 미분법에 의하여 역시컨트는 \(-1\)과 \(1\)을 제외한 점에서 미분 가능하다. 음함수 미분법을 이용하여 역시컨트의 도함수를 구하자. \[\begin{align} y&= \sec^{-1} x,\\[8pt] \sec y &= x ,\\[6pt] \frac{d}{dx} \sec y &= \frac{d}{dx} x, \\[6pt] \sec y \, \tan y \frac{dy}{dx} &= 1, \\[6pt] \frac{dy}{dx} &= \frac{1}{\sec y \, \tan y} . \end{align}\] 여기에 \[\sec y =x\] 와 \[\tan y = \pm \sqrt{\sec^2 y -1} = \pm \sqrt{x^2 -1}\] 을 대입하면 \[\frac{dy}{dx} = \pm \frac{1}{x\sqrt{x^2 -1}} \,\,\,(\lvert x \rvert > 1)\] 을 얻는다. 그런데 \((0 ,\,\pi)\)에서 코사인의 도함수는 항상 양수이므로 그 역함수인 시컨트의 도함수 또한 양수이다. 그러므로 \[\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\lvert x \rvert \sqrt{x^2 -1}}\,\,\,(\lvert x \rvert > 1)\] 을 얻는다. 이로써 역사인, 역시컨트, 역탄젠트의 도함수를 구하였다.

다른 세 역삼각함수의 도함수는 다음과 같은 공식을 이용하여 구한다. (이 공식은 한 변의 길이가 \(x\)인 직각삼각형을 이용하여 증명할 수 있다.) \[\begin{align} \cos^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \sin^{-1} x,\\[6pt] \cot^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \tan^{-1} x,\\[6pt] \csc^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \sec^{-1} x. \end{align}\] 즉 \[\begin{align} \frac{d}{dx} \cos^{-1} x &= \frac{d}{dx} \left( \frac{\pi}{2} - \sin^{-1} x \right) = - \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \,\,\, (\lvert x \rvert < 1),\\[6pt] \frac{d}{dx} \cot^{-1} x &= \frac{d}{dx} \left( \frac{\pi}{2} - \tan^{-1} x \right) = - \frac{1}{1+x^2} \,\,\, ( x \in \mathbb{R}),\\[6pt] \frac{d}{dx} \csc^{-1} x &= \frac{d}{dx} \left( \frac{\pi}{2} - \sec^{-1} x \right) = - \frac{1}{\lvert x \rvert \sqrt{x^2 -1}} \,\,\, (\lvert x \rvert > 1) \end{align}\] 이다. 지금까지 살펴본 내용을 정리하면 다음과 같다.