쌍곡선함수와 역쌍곡선함수의 미분

이 포스트에서는 쌍곡선함수와 역쌍곡선함수를 정의하고 이 함수들의 도함수를 살펴본다.

쌍곡선함수의 정의

\(\mathbb{R}\)에서 정의된 함수는 기함수와 우함수의 합으로 나타낼 수 있다. 즉 함수 \(f\)는 \[f(x) = \frac{f(x)-f(-x)}{2} + \frac{f(x)+f(-x)}{2}\] 로서 기함수와 우함수의 합으로 표현된다. 이와 같은 방법으로 자연지수함수를 기함수와 우함수의 합으로 표현하면 \[e^x = \frac{e^x - e^{-x}}{2} + \frac{e^x + e^{-x}}{2}\] 이다. 이때 \(e^x\)의 기함수 부분을 쌍곡선사인, 우함수 부분을 쌍곡선코사인이라고 부른다. 즉 쌍곡선사인(hyperbolic sine)이란 \[\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}\] 으로 정의된 함수 \(\sinh\)를 이르며, 쌍곡선코사인(hyperbolic cosine)이란 \[\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}\] 으로 정의된 함수 \(\cosh\)를 이른다. 사인과 코사인을 이용하여 다른 네 개의 삼각함수를 모두 표현할 수 있는 것처럼 쌍곡선사인과 쌍곡선코사인을 이용하여 다른 네 개의 쌍곡선함수를 모두 표현할 수 있다. 즉 다음과 같이 정의한다. \[ \newcommand{sech}[]{\operatorname{sech}} \newcommand{csch}[]{\operatorname{csch}} \begin{align} \tanh x &= \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} ,\\[6pt] \coth x &= \frac{\cosh x}{\sinh x} = \frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}} ,\\[6pt] \sech x &= \frac{1}{\cosh x} = \frac{2}{e^x + e^{-x}} ,\\[6pt] \csch x &= \frac{1}{\sinh x} = \frac{2}{e^x - e^{-x}} . \end{align} \] 위 네 개의 함수를 순서대로 쌍곡선탄젠트, 쌍곡선코탄젠트, 쌍곡선시컨트, 쌍곡선코시컨트라고 부른다. 그리고 지금까지 소개한 여섯 개의 함수를 통틀어 쌍곡선함수(hyperbolic function)라고 부른다.

쌍곡선함수에 삼각함수의 이름이 붙은 이유는 사인과 코사인이 기함수와 우함수의 대표적인 함수이기도 하거니와, 쌍곡선함수가 삼각함수와 비슷한 성질을 가지고 있기 때문이다.

여기서 첫 번째 등식을 유심히 살펴볼 필요가 있다. 좌표평면에서 \((\cosh t ,\, \sinh t )\)로 표현되는 점의 좌표는 \(x^2 - y^2 = 1\)을 만족시키므로, 이 점은 쌍곡선 위에 놓이게 된다. 쌍곡선함수의 이름에 ‘쌍곡선’이라는 접두사가 붙는 것은 바로 이 때문이다.

쌍곡선함수의 미분

쌍곡선함수는 자연지수함수를 이용하여 정의되기 때문에, 쌍곡선함수의 도함수를 구하는 것은 쉽다. \[\begin{align} \frac{d}{dx} \sinh x &= \frac{d}{dx} \frac{e^x - e^{-x}}{2} \\[4pt]&= \frac{e^x + e^{-x}}{2} = \cosh x,\\[10pt] \frac{d}{dx} \cosh x &= \frac{d}{dx} \frac{e^x + e^{-x}}{2} \\[4pt]&= \frac{e^x - e^{-x}}{2} = \sinh x,\\[10pt] \frac{d}{dx} \tanh x &= \frac{d}{dx} \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{\cosh^2 x - \sinh^2}{(\cosh x)^2} \\[4pt]&= \frac{1}{(\cosh x)^2} = \sech^2 x ,\\[10pt] \frac{d}{dx} \coth x &= \frac{d}{dx} \frac{\cosh x}{\sinh x} = \frac{\sinh^2 x - \cosh^2}{(\sinh x)^2} \\[4pt]&= \frac{-1}{(\sinh x)^2} = -\csch^2 x \,\,\, (x \ne 0),\\[10pt] \frac{d}{dx} \sech x &= \frac{d}{dx} \frac{1}{\cosh x} = \frac{-\sinh x}{(\cosh x)^2} \\[4pt]&= - \sech x \tanh x ,\\[10pt] \frac{d}{dx} \csch x &= \frac{d}{dx} \frac{1}{\sinh x} = \frac{-\cosh x}{(\sinh x)^2} \\[4pt]&= - \csch x \coth x \,\,\, (x \ne 0). \end{align}\] 이것을 정리하면 다음과 같다.

역쌍곡선함수의 미분

쌍곡선사인, 쌍곡선탄젠트, 쌍곡선코탄젠트, 쌍곡선코시컨트는 일대일 함수이므로 그 역함수를 정의할 수 있다. 그러나 쌍곡선코사인과 쌍곡선시컨트는 일대일 함수가 아니므로 그 역함수를 정의할 수 없다. 하지만 삼각함수의 정의역을 축소하여 일대일 함수가 되도록 하고 그 역함수를 정의한 것처럼 쌍곡선코사인과 쌍곡선시컨트의 정의역을 축소하고 그 역함수를 정의할 수 있다. 이러한 관점에서 역쌍곡선함수를 다음과 같이 정의한다. \[\begin{align} y = \sinh^{-1} x \,\, &\Longleftrightarrow \,\, x = \sinh y \,\,\,\text{for}\,\,\,y\in\mathbb{R} ,\\[8pt] y = \cosh^{-1} x \,\, &\Longleftrightarrow \,\, x = \cosh y \,\,\,\text{for}\,\,\,y\in [0,\,\infty ) ,\\[8pt] y = \tanh^{-1} x \,\, &\Longleftrightarrow \,\, x = \tanh y \,\,\,\text{for}\,\,\,y\in\mathbb{R} ,\\[8pt] y = \coth^{-1} x \,\, &\Longleftrightarrow \,\, x = \coth y \,\,\,\text{for}\,\,\,y\in\mathbb{R} \setminus \left\{ 0 \right\},\\[8pt] y = \sech^{-1} x \,\, &\Longleftrightarrow \,\, x = \sech y \,\,\,\text{for}\,\,\,y\in [0,\,\infty ) ,\\[8pt] y = \csch^{-1} x \,\, &\Longleftrightarrow \,\, x = \csch y \,\,\,\text{for}\,\,\,y\in\mathbb{R} \setminus \left\{ 0 \right\}. \end{align}\] 정의에 의하여 역쌍곡선함수는 다음과 같은 정의역을 가진다. \[\begin{align} y = \sinh^{-1} x \,\,\,&\text{for}\,\,\,x\in\mathbb{R} ,\\[8pt] y = \cosh^{-1} x \,\,\,&\text{for}\,\,\,x\in [1,\,\infty ) ,\\[8pt] y = \tanh^{-1} x \,\,\,&\text{for}\,\,\,x\in (-1,\,1) ,\\[8pt] y = \coth^{-1} x \,\,\,&\text{for}\,\,\,x\in\mathbb{R} \setminus [-1,\,1],\\[8pt] y = \sech^{-1} x \,\,\,&\text{for}\,\,\,x\in (0,\,1] ,\\[8pt] y = \csch^{-1} x \,\,\,&\text{for}\,\,\,x\in\mathbb{R} \setminus \left\{ 0 \right\}. \end{align}\] 쌍곡선함수의 정의에 의하여 \(0 < x \le 1\)일 때 \[\sech \left( \cosh^{-1} \left( \frac{1}{x} \right) \right) = \frac{1}{\cosh \left( \cosh^{-1} \left( \frac{1}{x} \right) \right)} = \frac{1}{\left(\frac{1}{x}\right)} = x\] 이다. 그런데 \(\sech (\sech^{-1} x ) =x\)이므로 \[\cosh^{-1} \left( \frac{1}{x} \right) = \sech^{-1} x\] 를 얻는다. 비슷한 방법으로 다음 등식을 얻는다.

이제 역쌍곡선함수의 도함수를 구해 보자. \[\begin{align} \frac{d}{dx} (\sinh^{-1} x ) &=\frac{1}{\cosh (\sinh^{-1} x)} \\[4pt] &=\frac{1}{\sqrt{1+\sinh^2 (\sinh^{-1} x)}} \\[4pt] &=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}},\\[8pt] \frac{d}{dx} (\cosh^{-1} x ) &=\frac{1}{\sinh (\cosh^{-1} x)} \\[4pt] &=\frac{1}{\sqrt{\cosh^2 (\cosh^{-1} x)}-1} \\[4pt] &=\frac{1}{\sqrt{x^2 -1}} \quad (x > 1),\\[8pt] \frac{d}{dx} (\tanh^{-1} x) &=\frac{1}{\sech^2 (\tanh^{-1} x)} \\[4pt] &=\frac{1}{{1-\tanh^2 (\tanh^{-1} x)}} \\[4pt] &=\frac{1}{{1-x^2}} \quad (\lvert x \rvert < 1),\\[8pt] \frac{d}{dx} (\coth^{-1} x ) &=\frac{1}{-\csch^2 (\coth^{-1} x)} \\[4pt] &=\frac{1}{1-\coth^2 (\coth^{-1} x)} \\[4pt] &=\frac{1}{1-x^2} \quad (\lvert x \rvert > 1),\\[8pt] \frac{d}{dx} (\sech^{-1} x) &=\frac{d}{dx} \left( \cosh^{-1} \frac{1}{x} \right) \\[4pt] &=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{x^2}-1}} \cdot \left( -\frac{1}{x^2}\right) \\[4pt] &= - \frac{1}{x\sqrt{1-x^2}} \quad (0 < x < 1),\\[8pt] \frac{d}{dx} (\csch^{-1} x) &=\frac{d}{dx} \sinh^{-1} \frac{1}{x} \\[4pt] &=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}} \cdot \left( -\frac{1}{x^2}\right) \\[4pt] &= - \frac{1}{\lvert x \rvert \sqrt{1+x^2}} \quad (x \ne 0). \end{align}\] 이것을 정리하면 다음과 같다.