\(a\)가 \(1\)이 아닌 양수일 때 \[ y = a^x \,\,\,(x\in\mathbb{R})\tag{1}\] 꼴로 정의된 함수를 지수함수라고 부른다. 또한 지수함수 (1)의 역함수를 로그함수라고 부르고 \[ y = \log _a x \,\,\,(x > 0 )\] 로 나타낸다. 이 포스트에서는 지수함수와 로그함수의 도함수를 구하고, 로그 미분법을 이용하여 지수가 실수인 거듭제곱 미분법을 증명한다.
지수함수의 미분
지수함수와 로그함수의 도함수를 구하기 위해서는 자연상수라고 불리는 상수 \(e\)를 도입해야 한다. \(e\)를 정의하는 방법은 여러 가지가 있는데, 여기서는 미분과 적분을 하기에 가장 유용한 방법으로 정의하도록 하자. 즉 \(a\)가 양수일 때 극한 \[\lim_{h\to 0} \frac{a^h -1}{h}\tag{2}\] 은 수렴하는데, 극한값은 \(a\)에 따라 달라진다. 이때 (2)의 극한값이 \(1\)이 되도록 하는 \(a\)의 값을 \(e\)로 정의한다.
정의 1. (자연상수)
등식 \[\lim_{h\to 0} \frac{e^h -1}{h} = 1\tag{3}\] 이 성립하도록 하는 실수 \(e\)는 단 하나가 존재한다. 그 값을 자연상수라고 부르고 \(e\)로 나타낸다.
자연상수는 그 값이 \[e = 2.718281828459045 \cdots\] 인 무리수임이 알려져 있다.
편의상 이 포스트에서는 밑이 자연상수인 지수함수를 자연지수함수라고 부르기로 한다. 식 (3)을 이용하면 자연지수함수의 도함수를 직접 얻을 수 있다. \[\begin{align} \frac{d}{dx}e^x &= \lim_{h\to 0}\frac{e^{x+h}-e^x}{h} \\[6pt] &= \lim_{h\to 0}\frac{e^x e^h - e^x}{h} \\[6pt] &= \lim_{h\to 0}\frac{e^x (e^h - 1)}{h} \\[6pt] &= e^x \cdot \lim_{h\to 0}\frac{e^h - 1}{h} \\[8pt] &= e^x \cdot 1 = e^x . \end{align}\] 밑이 \(e\)가 아닌 지수함수를 미분하기 위해서는 자연로그함수를 도입해야 한다. 밑이 \(e\)인 로그함수를 자연로그함수라고 부르고 \(\ln\)으로 나타낸다. 즉 \[\ln x = \log_e x \quad (x > 0)\] 이며 \[y = \ln x \quad \Longleftrightarrow \quad x=e^y \quad ( x > 0 )\] 이다. 자연지수함수와 자연로그함수는 서로 역함수 관계이므로 양수 \(t\)에 대하여 \[e^{\ln t} = t\] 이다. 여기에 \(t = a^x,\) \(a > 0\)을 대입하면 다음을 얻는다.
즉 모든 지수함수는 밑이 \(e\)인 지수함수로 나타낼 수 있다. 그러므로 \(a > 0\)일 때 \[\frac{d}{dx} a^x = \frac{d}{dx} e^{x\ln a} = e^{x\ln a} \cdot \ln a = a^x \ln a\] 가 성립한다. 이로써 다음을 얻는다.
정리 1. (지수함수의 도함수)
\[\begin{align} \frac{d}{dx} e^x &= e^x , \\[6pt] \frac{d}{dx} a^x &= a^x \ln a \quad (a > 0). \end{align}\]로그함수의 미분
로그함수는 지수함수의 역함수이므로 역함수 미분법을 이용하여 도함수를 구할 수 있다.
먼저 \(f(y) =\)\(e^y\)라고 하면 \(f^{-1} (x) =\ln x\)이므로 \[\begin{align} \frac{d}{dx} \ln x &= \frac{d}{dx} f^{-1}(x) \\[6pt] &= \frac{1}{f ' (f^{-1}(x))}\\[6pt] &= \frac{1}{e^{f^{-1}(x)}}\\[6pt] &= \frac{1}{e^{\ln x}} \\[6pt] &= \frac{1}{x} \end{align}\] 이다. 다음으로 \(g(y) = a^y ,\) \(a > 0,\) \(a\ne 1\)이라고 하면 \(g^{-1} (x) = \log_a x\)이므로 \[\begin{align} \frac{d}{dx} \log_a x &= \frac{d}{dx} g^{-1}(x) \\[6pt] &= \frac{1}{g ' (g^{-1}(x))}\\[6pt] &= \frac{1}{a^{f^{-1}(x)}\cdot \ln a}\\[6pt] &= \frac{1}{a^{\log_a x}\cdot \ln a} \\[6pt] &= \frac{1}{x \ln a} \end{align}\] 이다. 이로써 다음을 얻는다.
정리 2. (로그함수의 도함수)
\[\begin{align} \frac{d}{dx} \ln x &= \frac{1}{x}, \\[6pt] \frac{d}{dx} \log_a x &= \frac{1}{x \ln a} \quad ( a > 0,\, a\ne 1). \end{align}\]자연상수는 다른 방법으로 정의할 수 있다.
정리 3. (자연상수의 다른 정의)
\[e = \lim_{x\to 0} (1+x)^{1/x}.\tag{5}\]증명
\(f(x) = \ln x\)라고 하자. \(f ' (x) = 1/x\)이므로 \(f ' (1)=1\)이다. 한편 미분의 정의에 의하여 \[\begin{align} f ' (1) &= \lim_{h\to 0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}\\[6pt] &= \lim_{x\to 0}\frac{f(1+x)-f(1)}{x}\\[6pt] &= \lim_{x\to 0}\frac{\ln (1+x) - \ln 1}{x} \\[6pt] &= \lim_{x\to 0}\frac{\ln (1+x)}{x}\\[6pt] &= \lim_{x\to 0}\ln (1+x)^{1/x}\\[6pt] &= \ln\left[ \lim_{x\to 0} (1+x)^{1/x} \right]. \end{align}\] 그런데 \(f ' (1)=1\)이므로 위 식의 값은 \(1\)이 되어야 한다. 즉 \[\ln\left[ \lim_{x\to 0} (1+x)^{1/x} \right] = 1.\] 위 등식의 좌변에서 자연로그함수는 자연지수함수의 역함수이므로 \[\lim_{x\to 0}(1+x)^{1/x} = e\] 를 얻는다.
따름정리 1. (자연상수의 다른 정의)
\[e = \lim_{x\to \infty} \left( 1+ \frac{1}{x} \right) ^x .\tag{6}\]증명
정리 3에 의하여 \[\lim_{t\to 0^+} (1+t)^{1/t} = e\] 이다. 여기서 \(x = 1/t\)이라고 하면 \(t\to 0^+\)일 때 \(x\to \infty\)이므로 정리 3에 의하여 \[\lim_{x\to \infty} \left( 1+ \frac{1}{x} \right) ^x = e\] 가 성립한다.
사실 자연상수를 정리 3이나 따름정리 1에서와 같이 ‘정의’해도 된다. 이와 같이 정의해도 등식 (4), 정리 1, 정리 2를 모두 유도할 수 있다.
한편 자연로그함수를 먼저 정의한 뒤 다른 모든 것을 끌어내는 방법도 있다. 즉 자연로그함수를 \[\ln x := \int_1^x \frac{1}{t} dt \quad (x > 0)\] 이라고 정의하고, 자연지수함수 \(\exp (x)\)를 자연로그함수의 역함수로 정의한 뒤 \(e = \exp(1)\)로 정의하는 방법도 있다.
거듭제곱급수를 이용하여 자연지수함수를 먼저 정의하는 방법도 있다. 즉 자연지수함수를 \[\exp (x) := \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} \quad (x\in\mathbb{R})\] 라고 정의하고, 자연로그함수 \(\ln x\)를 자연지수함수의 역함수로 정의하는 방법도 있다.
자연상수와 자연로그의 정의, 지수함수와 로그함수의 도함수를 유도하는 과정은 책마다 다르지만 그 결과는 모두 동치이다.
로그 미분법
함수 \(\ln \lvert x \rvert\)의 도함수를 구해 보자. \(x > 0\)일 때에는 \[\frac{d}{dx} \ln \lvert x \rvert = \frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x}\] 이며, \(x < 0\)일 때에는 \[\frac{d}{dx} \ln \lvert x \rvert = \frac{d}{dx} \ln (-x) = \frac{1}{-x} \cdot (-1) = \frac{1}{x} \] 이다. 그러므로 다음을 얻는다.
로그함수를 이용하면 복잡한 분수식으로 정의된 함수의 도함수를 쉽게 구할 수 있다.
보기 1. 다음 함수의 도함수를 구해 보자. \[f(x) = \frac{(x^2 +1)\sqrt{x+2}}{x+3} \quad (x \ge -2).\] 이 함수는 정의역의 점 중에서 \(-2\)가 아닌 모든 점에서 미분 가능하다. \(f(x)=y\)라고 하고 위 식의 양변에 자연로그를 취하면 \[\ln \lvert y \rvert = \ln \left\lvert \frac{(x^2 +1)(x+2)^{1/2}}{x+3} \right\rvert \quad (x > -2)\] 이다. 로그의 성질을 이용하여 우변을 변형하면 다음 식을 얻는다. \[\ln\lvert y \rvert = \ln \lvert x^2 +1 \rvert + \frac{1}{2} \ln \lvert x+2 \rvert - \ln \lvert x+3 \rvert \quad (x > -2).\] 양변을 \(x\)에 대하여 미분하면 \[\frac{y '}{y} = \frac{2x}{x^2 +1} + \frac{1}{2(x+2)} - \frac{1}{x+3} \quad (x > -2)\] 이고, 이 식을 \(y ' \)에 대하여 풀면 \[\begin{align} y ' &= y \left( \frac{2x}{x^2 +1} + \frac{1}{2(x+2)} - \frac{1}{x+3} \right) \\[6pt] &= \frac{(x^2 +1)\sqrt{x+2}}{x+3} \left( \frac{2x}{x^2 +1} + \frac{1}{2(x+2)} - \frac{1}{x+3} \right) \quad (x > -2) \end{align}\] 을 얻는다.
위 보기에서와 같이 양변에 자연로그를 취한 뒤 미분하는 방법을 로그 미분법(logarithmic differentiation)이라고 부른다.
보기 2. 다음 함수의 도함수를 구해 보자. \[f(x) = x^x \quad (x > 0).\] 양변에 자연로그를 취하면 \[\ln f(x) = x\ln x\] 이며, 양변을 \(x\)에 관하여 미분하면 \[\frac{f ' (x)}{f(x)} = \ln x + \frac{x}{x}\] 즉 \[\frac{f ' (x)}{x^x} = \ln x + 1\] 이다. 이 식을 \(f ' (x)\)에 대하여 풀면 \[f ' (x) = x^x(\ln x + 1)\] 이다.
함수 \(f(x)=x^x\)은 다변수함수의 연쇄 법칙을 이용하여 미분할 수도 있다. \[\phi(s,\,t) = s^t ,\,\,\,s=x,\,\,\,t=x\] 라고 하면 \(f(x) = \phi(s,\,t)\)이므로 \[\begin{align} \frac{df}{dx} &= \frac{d\phi}{dx} = \frac{\partial \phi}{\partial s} \frac{\partial s}{\partial x} + \frac{\partial \phi}{\partial t} \frac{\partial t}{\partial x}\\[6pt] &= ts^{t-1} \cdot 1 + s^t \ln s \cdot 1\\[8pt] &= x^x + x^x \ln x \\[8pt] &= x^x (\ln x + 1) \end{align}\] 을 얻는다.
로그 미분법을 이용하여 실수 지수에 대한 거듭제곱 미분법칙을 증명하자.
정리 4. (실수 지수에 대한 거듭제곱 미분 법칙)
\(x > 0\)이고 \(\alpha\)가 실수일 때 다음이 성립한다. \[\frac{d}{dx} x^{\alpha} = \alpha x^{\alpha -1}.\tag{8}\] \(x \le 0\)인 경우에는 \(x^{\alpha}\)과 \(x^{\alpha -1}\)이 모두 정의되고 (8)의 좌변의 미분이 존재하는 모든 경우에 대하여 등식 (8)이 성립한다.
증명
먼저 \(x > 0\)일 때에는 \(x^{\alpha}\)를 \(x\)에 대하여 미분하면 다음을 얻는다. \[\begin{align} \frac{d}{dx} x^{\alpha} &= \frac{d}{dx} e^{\alpha \ln x} \\[6pt] &= e^{\alpha \ln x} \cdot \frac{d}{dx} (\alpha \ln x )\\[6pt] &= x^{\alpha} \cdot \frac{\alpha}{x} \\[6pt] &= \alpha x^{\alpha -1}. \end{align}\] 다음으로 \(x < 0\)일 때를 증명하자. \(y=x^{\alpha},\) \(y ' ,\) \(x^{\alpha -1}\)이 정의되는 \(x,\) \(\alpha\)에 대하여 \[\ln \lvert y \rvert = \ln \lvert x \rvert^{\alpha} = \alpha \ln \lvert x \rvert\] 이므로 음함수 미분법에 의하여 다음을 얻는다. \[\frac{y ' }{y} = \frac{\alpha}{x}.\] 이 식을 \(y ' \)에 대하여 풀면 \[y ' = \alpha \frac{y}{x} = \alpha \frac{x^{\alpha}}{x} = \alpha x^{\alpha -1}\] 을 얻는다.
끝으로 \(x=0,\) \(\alpha \ge 1\)일 때에는 미분계수의 정의에 의하여 \(y ' =0\)이다.
이로써 모든 경우에 대하여 (8)이 성립함을 증명하였다.