벡터의 직교분해를 이용한 코시-슈바르츠 부등식 증명

벡터의 직교분해를 이용하여 코시-슈바르츠 부등식을 증명해 보자.

$V$가 벡터공간이고 $\mathbf{u},\mathbf{v}\in V$라고 하자. 만약 $\mathbf{u}$와 $\mathbf{v}$ 중 하나 이상이 $\mathbf{0}$이면 자명하게 $$\begin{array}{}\text{(1)}& |⟨\mathbf{u},\mathbf{v}⟩|\le \Vert \mathbf{u}\Vert \Vert \mathbf{v}\Vert \end{array}$$ 를 얻는다. 그러므로 $\mathbf{u}$와 $\mathbf{v}$ 중 어느것도 $\mathbf{0}$이 아니라고 가정하자. 그리고 $$\begin{array}{}\text{(2)}& \mathbf{w}=\mathbf{u}-\frac{⟨\mathbf{u},\mathbf{v}⟩}{\Vert \mathbf{v}{\Vert }^2}\mathbf{v}\end{array}$$ 라고 하자. 그러면 $\mathbf{u}$는 다음과 같이 서로 수직인 두 벡터의 합으로 표현된다. $$\begin{array}{}\text{(3)}& \mathbf{u}=\frac{⟨\mathbf{u},\mathbf{v}⟩}{\Vert \mathbf{v}{\Vert }^2}\mathbf{v}+\mathbf{w}.\end{array}$$ 따라서 피타고라스 정리에 의하여 다음이 성립한다. $$\begin{array}{rl}\Vert \mathbf{u}{\Vert }^2& ={\Vert \frac{⟨\mathbf{u},\mathbf{v}⟩}{\Vert \mathbf{v}{\Vert }^2}\mathbf{v}\Vert }^2+\Vert \mathbf{w}{\Vert }^2\\ & =\frac{|⟨\mathbf{u},\mathbf{v}⟩{|}^2}{\Vert \mathbf{v}{\Vert }^2}+\Vert \mathbf{w}{\Vert }^2\\ \text{(4)}& & \ge \frac{|⟨\mathbf{u},\mathbf{v}⟩{|}^2}{\Vert \mathbf{v}{\Vert }^2}.\end{array}$$ 이 부등식에 $\Vert \mathbf{v}{\Vert }^2$을 곱하고 양의 제곱근을 취하면 (1)을 얻는다.

다음으로 (1)에서 등식이 성립하는 조건을 구하자. (4)를 보면 등식이 성립하는 것은 $\mathbf{w}=\mathbf{0}$일 때임을 알 수 있다. 이것은 (2)의 우변이 $\mathbf{0}$임을 의미하므로, $\mathbf{u}$와 $\mathbf{v}$가 평행할 때 (1)에서 등식이 성립한다.