벡터의 직교분해를 이용하여 코시-슈바르츠 부등식을 증명해 보자.
\(V\)가 벡터공간이고 \(\mathbf{u},\,\mathbf{v}\in V\)라고 하자. 만약 \(\mathbf{u}\)와 \(\mathbf{v}\) 중 하나 이상이 \(\mathbf{0}\)이면 자명하게 \[ \lvert \langle \mathbf{u} ,\, \mathbf{v} \rangle \rvert \le \lVert \mathbf{u} \rVert \lVert \mathbf{v} \rVert \tag{1}\] 를 얻는다. 그러므로 \(\mathbf{u}\)와 \(\mathbf{v}\) 중 어느것도 \(\mathbf{0}\)이 아니라고 가정하자. 그리고 \[\mathbf{w} = \mathbf{u} - \frac{\langle \mathbf{u} ,\, \mathbf{v} \rangle}{\lVert \mathbf{v} \rVert^2} \mathbf{v} \tag{2}\] 라고 하자. 그러면 \(\mathbf{u}\)는 다음과 같이 서로 수직인 두 벡터의 합으로 표현된다. \[\mathbf{u} = \frac{\langle \mathbf{u} ,\, \mathbf{v} \rangle}{\lVert \mathbf{v} \rVert ^2} \mathbf{v} + \mathbf{w} .\tag{3}\] 따라서 피타고라스 정리에 의하여 다음이 성립한다. \[\begin{align} \lVert \mathbf{u} \rVert^2 &= \left\lVert \frac{\langle \mathbf{u} ,\, \mathbf{v} \rangle}{\lVert \mathbf{v} \rVert^2} \mathbf{v} \right\rVert^2 + \lVert \mathbf{w} \rVert^2 \\[4pt] &= \frac{\lvert \langle \mathbf{u} ,\, \mathbf{v} \rangle \rvert^2}{\lVert\mathbf{v}\rVert^2} + \lVert\mathbf{w}\rVert^2 \\[4pt] &\ge \frac{ \lvert\langle\mathbf{u},\,\mathbf{v}\rangle\rvert^2 }{\lVert\mathbf{v}\rVert^2}. \tag{4} \end{align} \] 이 부등식에 \(\lVert \mathbf{v} \rVert^2\)을 곱하고 양의 제곱근을 취하면 (1)을 얻는다.
다음으로 (1)에서 등식이 성립하는 조건을 구하자. (4)를 보면 등식이 성립하는 것은 \(\mathbf{w} = \mathbf{0}\)일 때임을 알 수 있다. 이것은 (2)의 우변이 \(\mathbf{0}\)임을 의미하므로, \(\mathbf{u}\)와 \(\mathbf{v}\)가 평행할 때 (1)에서 등식이 성립한다.