\(n\)이 \(2\) 이상인 자연수이고 \(a_1 ,\) \(\cdots ,\) \(a_n ,\) \(b_1 ,\) \(\cdots,\) \(b_n\)이 모두 실수일 때 다음이 성립한다. \[\left( \sum_{i=1}^n a_i b_i \right)^2 \le \left( \sum_{i=1}^n a_i ^2\right) \left(\sum_{i=1}^n b_i ^2 \right).\tag{1}\] 이 부등식을 코시-슈바르츠 부등식(Cauchy-Schwarz inequality)이라고 부른다.
라그랑주 승수법(method of Lagrange's multiplier)을 이용하여 이 부등식을 증명해 보자. 증명을 마칠 때까지 첨수 \(i\)와 \(j\)는 \(n\) 이하의 자연수를 나타내는 것으로 약속한다.
증명 과정은 두 단계로 진행된다. 첫째 단계에서는 길이가 \(1\)인 두 벡터 \(\mathbb{x}=(x_i)\)와 \(\mathbb{y}=(y_i)\)에 대하여 \[-1 \le \mathbb{x}\cdot\mathbb{y} \le 1 \] 이 성립함을 보인다. 둘째 단계에서는 \(\mathbb{a} = (a_i ),\) \(\mathbb{b} = (b_i )\)에 대하여 \[\mathbb{x} = \frac{\mathbb{a}}{\lVert \mathbb{a} \rVert} , \,\, \mathbb{y} = \frac{\mathbb{b}}{\lVert \mathbb{b} \rVert} \] 라고 두고 (1)을 끌어낸다.
1단계.
함수 \(f,\) \(g,\) \(h\)를 각각 다음과 같이 정의한다. \[\begin{align} f(x_1 ,\, \cdots ,\, x_n ,\, y_1 ,\, \cdots,\, y_n ) &= \sum_{i=1}^n x_i\, y_i , \\[5pt] g(x_1 ,\, \cdots ,\, x_n ,\, y_1 ,\, \cdots,\, y_n ) &= \sum_{i=1}^n x_i ^2 ,\\[5pt] h(x_1 ,\, \cdots ,\, x_n ,\, y_1 ,\, \cdots,\, y_n ) &= \sum_{i=1}^n y_i^2 . \end{align}\] 이 정의에 의하면 함수 \(f\)는 \(2n\)개의 변수를 가지고 있고, 함수 \(g,\) \(h\)는 \(n\)개의 변수를 가진 셈이다. 세 함수의 기울기(gradient)를 구하면 다음과 같다. \[\begin{align} \nabla f &= (y_1 ,\, \cdots ,\, y_n ,\, x_1 ,\, \cdots ,\, x_n ), \\[8pt] \nabla g &= ( 2x_1 ,\, \cdots ,\, 2x_n ,\, 0 ,\, \cdots ,\, 0 ), \\[8pt] \nabla h &= ( 0,\, \cdots ,\, 0 ,\, 2y_1 ,\, \cdots ,\, 2y_n ). \end{align}\] 이제 적당한 상수 \(\lambda,\) \(\mu\)에 대하여 다음 등식이 성립한다고 가정하자. \[\nabla f = \lambda \nabla g + \mu \nabla h .\tag{2}\] 이 방정식을 \(\lambda\)에 대하여 풀자. \(1\le i \le n\)인 \(i\)에 대하여 \[y_i = 2\lambda x_i ,\,\, x_i = 2\mu y_i \tag{3}\] 이다. 만약 \[g=1,\,\,h=1 \tag{4}\] 이라는 제한 조건이 주어졌다고 가정하면 (3)으로부터 다음을 얻는다. \[1=\sum_{i=1}^n y_i^2 = \sum_{i=1}^n 4 \lambda^2 x_i^2 = 4 \lambda^2 \sum _{i=1} ^n x_i^2 = 4\lambda^2 .\] 그러므로 \(\lambda = \pm 1/2\)이다.
만약 \(\lambda = 1/2\)이면, (3)에 의하여 \(1\le i \le n\)인 \(i\)에 대하여 \(y_i = x_i\)이므로 \[\sum_{i=1}^n x_i \,y_i = \sum_{i=1}^n x_i^2 = 1\tag{5}\] 이다. 만약 \(\lambda = -1/2\)이면, (3)에 의하여 \(1\le i \le n\)인 \(i\)에 대하여 \(y_i = -x_i\)이므로 \[\sum_{i=1}^n x_i \,y_i = -\sum_{i=1}^n x_i^2 = -1\tag{6}\] 이다.
다음으로 방정식 (2)를 \(\mu\)에 대하여 풀자. 그러면 같은 방법으로 \(\mu = \pm 1/2\)을 얻으며, 모든 \(i\)에 대하여 \(y_i = \pm x_i\)와 \[\sum_{i=1}^n x_i \,y_i = \pm 1\] 을 얻는다. 그러므로 \(g=1,\) \(h=1\)이라는 제한 조건 아래에서 \[f=\sum_{i=1}^n x_i\,y_i\] 의 값의 최솟값은 \(-1\)이고, 최댓값은 \(1\)이다.
2단계.
이제 코시-슈바르츠 부등식을 증명할 준비가 되었다. 표기를 편하게 하기 위하여 \[A = \sum_{j=1}^n a_j^2 ,\,\, B = \sum_{j=1}^n b_j^2\] 이라고 정의하자. 만약 \(A=0\) 또는 \(B=0\)이라면 자명하게 원하는 결론을 얻는다. 그러므로 \(A \ne 0,\) \(B \ne 0\)이라고 가정하고 증명하자. \(1\le i\le n\)인 \(i\)에 대하여 \[x_i = \frac{a_i}{\sqrt{A}} ,\,\, y_i = \frac{b_i}{\sqrt{B}}\] 라고 정의하자. 그러면 \[\sum_{i=1}^n x_i^2 = 1 ,\,\, \sum_{i=1}^n y_i^2 = 1\] 이므로 (4)가 성립한다. 그런데 \[\sum_{i=1}^n \frac{a_i \,b_i}{\sqrt{A} \sqrt{B}} = \sum_{i=1}^n x_i\,y_i\] 이므로, 앞의 논의 과정에 의하여 이 값의 범위는 \(-1\) 이상 \(1\) 이하이다. 즉 \[-1 \le \sum_{i=1}^n \frac{a_i \,b_i}{\sqrt{A} \sqrt{B}} \le 1 \] 이다. \(\sqrt{A} \sqrt{B}\)를 곱하면 \[-\sqrt{A} \sqrt{B} \le \sum_{i=1}^n a_i \, b_i \le \sqrt{A} \sqrt{B}\] 이므로 (1)을 얻는다.
한편 (5)와 (6)에 의하여, (1)에서 등식이 성립하는 것은 모든 \(i\)에 대하여 \[\frac{a_i}{\sqrt{A}} = \frac{b_i}{\sqrt{B}}\] 또는 \[\frac{a_i}{\sqrt{A}} = -\frac{b_i}{\sqrt{B}}\] 일 때, 즉 두 벡터 \((a_1 ,\, \cdots ,\, a_n)\)과 \((b_1 ,\, \cdots ,\, b_n )\)이 평행할 때이다.