테일러 급수의 활용

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지난 포스트에서 테일러 급수를 정의하고 함수를 테일러 급수로 나타내는 방법을 살펴보았다. 또한 \(f\)에 의하여 생성된 테일러 급수가 \(f\)에 수렴함을 증명하는 방법도 살펴보았다.

더불어 거듭제곱급수를 이용하여 삼각함수를 정의하는 방법(관련 포스트)과 거듭제곱급수를 이용하여 지수함수를 정의하는 방법(관련 포스트)도 살펴보았다.

이 포스트에서는 테일러 급수를 활용한 다양한 예를 살펴본다.

이항급수

이항정리에 의하면 \(n\)이 \(2\) 이상인 자연수일 때 \[(1+x)^n = {}_n \mathrm{C} _0 + {}_n \mathrm{C} _1 x^1 + {}_n \mathrm{C} _2 x^2 + {}_n \mathrm{C} _3 x^3 + \cdots + {}_n \mathrm{C} _n x^n\] 이다. 예컨대 \(n=4\)이면 \[\begin{align} (1+x)^4 &= {}_4 \mathrm{C} _0 + {}_4 \mathrm{C} _1 x + {}_4 \mathrm{C} _2 x^2 + {}_4 \mathrm{C} _3 x^3 + {}_4 \mathrm{C} _4 x^4\\[8pt] &= 1 + 4x + 6x^2 + 4x^3 + x^4 \end{align}\] 이다. 여기서 \(_4 \mathrm{C} _3\)을 계산하는 과정을 보면 \[_4 \mathrm{C} _3 = \frac{4\times 3 \times 2}{3!}\] 이다. 분자는 \(4\)부터 시작하여 \(1\)씩 줄여가며 \(3\)개를 곱하고, 분모는 \(3!\)이다. 이것을 일반화하면 \(m\)이 실수이고 \(k\)가 자연수일 때 \[_m \mathrm{C} _k = \frac{m(m-1)(m-2)(m-3) \cdots (m-k+1)}{k!}\] 으로 계산할 수 있다. 특히 \(m\)이 정수가 아니어도 이와 같은 방법으로 계산할 수 있다. 이러한 관점에서 일반화된 이항계수를 다음과 같이 정의한다.

예컨대 \(m=-1\)일 때 \[\begin{gather} \binom{-1}{1} = -1 ,\quad \binom{-1}{2} = \frac{-1 \times (-2)}{2!} = 1,\\[12pt] \binom{-1}{k} = \frac{-1(-2)(-3) \cdots (-1-k+1)}{k!} = (-1)^k \frac{k!}{k!} = (-1)^k \end{gather}\] 이다.

다른 예를 살펴보자. \[\begin{align} \binom{4}{0} &= 1,\\[4pt] \binom{4}{1} &= \frac{4}{1!} = 4, \\[4pt] \binom{4}{2} &= \frac{4 \times 3 }{2!} = 6 , \\[4pt] \binom{4}{3} &= \frac{4 \times 3 \times 2}{3!} = 4 , \\[4pt] \binom{4}{4} &= \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{4!} = 1,\\[4pt] \binom{4}{5} &= \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 0}{5!} = 0 , \\[4pt] \binom{4}{k} &= 0 \quad \quad (k > 4) \end{align}\] 이므로 \[(1+x)^4 = 1+ \sum_{k=1}^{\infty} \binom{4}{k} x^k\] 이다. 그렇다면 지수가 자연수가 아닌 경우에도 이와 같은 방법으로 나타낼 수 있을까? 즉 \[(1+x)^m = 1+ \sum_{k=1}^{\infty} \binom{m}{k} x^k \tag{1.1}\] 로 나타낼 수 있을까? \(f(x) = (1+x)^m\)이라고 하고 \(f\)에 의하여 생성된 테일러 급수를 구해보자. \[\begin{align} f(x) &= (1+x)^m \\[6pt] f ' (x) &= m(1+x)^{m-1} \\[6pt] f ' ' (x) &= m(m-1) (1+x)^{m-2} \\[6pt] f ^{(3)} (x) &= m(m-1)(m-2) (1+x)^{m-3} \\[6pt] &\,\,\,\vdots \\[6pt] f^{(k)}(x) &= m(m-1)(m-2) \cdots (m-k+1) (1+x)^{m-k} \end{align}\] 이므로 \(f\)에 의하여 생성된 테일러 급수는 \[\begin{align} 1 + mx + \frac{m(m-1)}{2!} x^2 &+ \frac{m(m-1)(m-2)}{3!} x^3 + \cdots \\[12pt] &+ \frac{m(m-1)(m-2) \cdots (m-k+1)}{k!} x^k + \cdots \end{align}\] 이다. 이 식은 (1.1)의 우변과 일치한다. 또한 \[u_{k} = \binom{m}{k}\] 라고 하면 \[\lim_{k\to\infty} \left\lvert \frac{u_{k+1}}{u_k} \right\rvert = \lim_{k\to\infty} \left\lvert \frac{m-k}{k+1} \right\rvert = 1\] 이므로 (1.1)의 우변의 수렴반경은 \(1\)이다. 그러므로 다음과 같이 정의한다.

위 정의의 식 (1.2)에서 등호를 사용하지 않고 물결 표시를 사용한 것은 (1.2)의 우변이 좌변에 수렴함을 보이지 않았기 때문이다. 이제 \( \lvert x \rvert < 1\)의 범위에서 (1.2)의 우변이 \((1+x)^m\)에 수렴함을 증명해 보자. \(m=0\)일 때는 자명하므로 \(m\ne 0\)일 때만 증명하면 된다. \[f(x) = 1 + mx + \frac{m(m-1)}{2!}x^2 + \frac{m(m-1)(m-2)}{3!} x^3 + \cdots\tag{1.3}\] 이라고 하자. 이 함수의 도함수를 구하면 \[\begin{align} f ' (x) &= m + \frac{m(m-1)}{1} x + \frac{m(m-1)(m-2)}{2!} x^2 + \cdots \\[3pt] &= m\left\{ 1 + (m-1)x + \frac{(m-1)(m-2)}{2!} x^2 + \cdots \right\} \\[3pt] &= \frac{m}{1+x} \left\{ 1 + (m-1)x + \frac{(m-1)(m-2)}{2!} x^2 + \cdots \right . \\[3pt] & \quad\quad\quad\quad\quad\quad + \left . x\left( 1 + (m-1)x + \frac{(m-1)(m-2)}{2!} x^2 + \cdots \right) \right\} \\[3pt] &= \frac{m}{1+x} \left\{ 1 + (m-1)x + \frac{(m-1)(m-2)}{2!} x^2 + \cdots \right . \\[3pt] & \quad\quad\quad\quad\quad\quad + \left . x + (m-1)x^2 + \frac{(m-1)(m-2)}{2!} x^3 + \cdots \right\} \\[3pt] &= \frac{m}{1+x} \left\{ 1 + mx + \frac{m(m-1)}{2!} x^2 + \cdots \right\} = \frac{m}{1+x} f(x) \end{align}\] 이므로 \[f ' (x) = \frac{m f(x)}{1+x}\tag{1.4}\] 이다. \[g(x) = \frac{f(x)}{(1+x)^m}\tag{1.5}\] 라고 하고 (1.4)를 이용하여 \(g\)의 도함수를 구하면 \[\begin{align} g ' (x) &= \frac{f ' (x) (1+x)^m - mf(x) (1+x)^{m-1}}{(1+x)^{2m}} \\[3pt] &= \frac{mf(x) (1+x)^{m-1} - mf(x) (1+x)^{m-1}}{(1+x)^{2m}} =0 \end{align}\] 이므로 \(g\)는 상수함수이다. 그런데 \(g(0)=1\)이므로 \(\lvert x \rvert < 1\)일 때 \[\frac{f(x)}{(1+x)^m} = 1 \] 이다. 그러므로 \(\lvert x \rvert < 1\)일 때 \[f(x) = (1+x)^m\tag{1.6}\] 이다. 즉 \(\lvert x \rvert < 1\)일 때 (1.2)의 물결 기호를 등호로 바꾼 등식이 성립한다.

비초등적분

다음 적분은 빛의 회절 현상을 설명할 때 등장한다. \[\int \sin x^2\,dx \tag{2.1}\] 그러나 이 부정적분은 유리함수, 무리함수, 삼각함수, 지수함수, 로그함수의 결합으로 나타낼 수 없다. 대신 테일러 급수를 이용하여 이 부정적분을 거듭제곱급수 형태로 나타낼 수 있다. 임의의 \(x\)에 대하여 \[\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + - \cdots\] 이므로, 임의의 \(x\)에 대하여 \[\sin x^2 = x^2 -\frac{x^6}{3!} + \frac{x^{10}}{5!} - \frac{x^{14}}{7!} + - \tag{2.2}\cdots\] 이다. 따라서 양변의 부정적분을 구하면 \[\int \sin x^2 \,dx = C + \frac{x^3}{3} - \frac{x^7}{7 \cdot 3!} + \frac{x^{11}}{11\cdot 5!} - \frac{x^{15}}{15\cdot 7!} + - \cdots\tag{2.3}\] 이다. 부정적분을 거듭제곱급수 형태로 나타내면 닫힌 형태가 아니기 때문에 크게 쓸모가 없을 것 같지만 그렇지 않다. 여러 응용 분야에서는 적분의 근삿값을 계산하는 것으로도 충분할 때가 많기 때문이다. 예를 들어 다음 정적분을 계산해 보자. \[\int_0^1 \sin x^2 \,dx\tag{2.4}\] 부정적분 (2.2)에 \(x=1,\) \(x=0\)을 대입하여 계산한 후 빼면 \[\int \sin x^2\,dx = \frac{1}{3} - \frac{1}{7\cdot 3!} + \frac{1}{11\cdot 5!} - \frac{1}{15\cdot 7!} + - \cdots\tag{2.5}\] 이다. 이 정적분의 값을 오차가 \(0.001\) 이하가 되도록 구하고 싶다고 가정하자. 그러면 교대급수의 오차 추정 공식을 이용할 수 있다. \[\begin{align} \frac{1}{7 \cdot 3!} &= \frac{1}{42} > 0.001 ,\\[4pt] \frac{1}{11\cdot 5!} &=\frac{1}{1320} < 0.001 \end{align}\] 이므로 \[\int_0^1 \sin x^2 \,dx \approx \frac{1}{3} - \frac{1}{7 \cdot 3!} \approx 0.310\] 을 얻는다. 만약 오차가 \(0.00001\) 이하가 되도록 구하고 싶다면 같은 방법으로 \[\int_0^1 \sin x^2\,dx \approx \frac{1}{3} - \frac{1}{7\cdot 3!} + \frac{1}{11\cdot 5!} - \frac{1}{15\cdot 7!} \approx 0.310268303\] 을 얻는다.

라이프니츠 공식

원주율을 계산하는 다음 공식을 라이프니츠 공식(Leibniz's formula)이라고 부른다. \[\frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + - \cdots \tag{3.1}\] 테일러 급수를 이용하여 이 공식을 이끌어내보자. \(-1 \le x \le 1\)일 때 \[\frac{d}{dx} \arctan x = \frac{1}{1+x^2}\tag{3.2}\] 이다. \( -1 < x < 1\)일 때, 이 식의 우변을 무한등비급수로 나타내면 \[\frac{d}{dx} \arctan x = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + - \cdots \tag{3.3}\] 이다. 다시 이 식의 양변의 부정적분을 구하면 \[\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + - \cdots \tag{3.4}\] 이다. \(\lvert x \rvert < 1\)일 때 (3.3)의 우변이 수렴하지만 \(x=1\)일 때에는 (3.3)의 우변이 수렴하지 않으므로, 지금까지 논의한 결과만으로는 \(x=1\)일 때 (3.4)의 등식이 성립하는 것을 보장할 수 없다. (비록 (3.4)의 우변이 수렴함에도 불구하고 말이다.) 그러나 아벨의 정리를 이용하면 \(x=1\)일 때 (3.4)의 등식이 성립함을 보일 수 있다.

(3.4)의 우변을 \(T(x)\)라고 하자. 그러면 (3.4)는 \(x = \pm 1\)일 때 수렴하므로(교대급수 판정법), \(T(x)\)는 \(-1 \le x \le 1\)인 범위에서 정의되고, 이 범위에서 연속인 함수이다. 또한 \(\arctan\)도 \(-1 \le x \le 1\)에서 연속이다. 그러므로 \[\begin{gather} \arctan 1 = \lim_{x\to 1^-} \arctan x = \lim_{x\to 1^-} T(x) = T(1),\\[7pt] \arctan (-1) = \lim_{x\to -1^+} \arctan x = \lim_{x\to -1^+} T(x) = T(-1) \end{gather}\] 이 성립한다. 즉 \(x= \pm 1\)일 때에도 (3.4)의 등식이 성립한다. (3.4)의 양변에 \(x=1\)을 대입하면 \[\frac{\pi}{4} = \arctan 1 = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + - \cdots\] 로서 우리가 원하는 결과를 얻는다.

아벨의 정리를 이용하지 않고서도 \(x = \pm 1\)일 때 (3.4)가 성립함을 증명할 수 있다. 무한등비급수의 합 공식을 이용하면 \[\frac{1}{1+t^2} = 1 - t^2 + t^4 - t^6 + - \cdots + (-1)^n t^{2n} + \frac{(-1)^{2n+1} t^{2n+2}}{1+t^2}\] 이다. 좌변과 우변이 모두 닫힌 형태(유리식)이므로 이 등식은 \(t = \pm 1\)일 때에도 성립한다. 이 식의 양변의 부정적분을 구하면 \[\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} +- \cdots +(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} + \int_0^x \frac{(-1)^{n+1} t^{2n+2}}{1+t^2} dt \tag{3.5}\] 이다. (3.5)의 마지막 항에 있는 적분을 \(R_n (x)\)로 나타내자. 피적분함수의 분모가 \(1\) 이상이므로 \[\lvert R_n (x) \rvert \le \int_0 ^{\lvert x \rvert} t^{2n+2} dt = \frac{\lvert x \rvert ^{2n+3}}{2n+3}\tag{3.6}\] 이 성립한다. \(\lvert x \rvert \le 1\)이면 \(n\to \infty\)일 때 (3.6)의 마지막 식은 \(0\)에 수렴한다. 그러므로 이 결과와 (3.5)를 결합하면 \(\lvert x \rvert \le 1\)일 때 \[\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + - \cdots\] 이 성립함을 알 수 있다.

부정형 극한의 계산

부정형 극한을 계산할 때 자주 사용하는 방법으로 로피탈의 법칙이 있다. 그러나 경우에 따라서는 로피탈의 법칙을 이용하지 않고서도 테일러 급수를 이용하여 부정형 극한을 계산할 수 있다.

위 보기 2에서처럼 거듭제곱급수로 표현된 함수의 극한을 구할 때 \(x\)에 값을 직접 대입할 수 있는 이유는 아벨의 정리에 의하여 거듭제곱급수로 정의된 함수가 연속함수이기 때문이다. 즉 \[f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-a)^n\] 의 우변이 수렴하도록 하는 \(x\)의 집합이 \(I\)이고 \(t\in I\)이면 \[\lim_{\substack{x\to t\\ x\in I}} f(x) = f(t)\] 이므로 \[\lim_{\substack{x\to t\\ x\in I}}\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-a)^n = \sum_{n=0}^{\infty} \lim_{\substack{x\to t\\ x\in I}} a_n (x-a)^n\] 이 성립한다.

함수의 정의역 확장하기

자연지수함수 \(\exp x,\) 사인 함수 \(\sin x,\) 코사인 함수 \(\cos x,\)는 모든 실수 \(x\)에 대하여 자신의 테일러 급수와 일치하므로, 이들 함수는 거듭제곱급수로 대체할 수 있다(참고 1, 참고 2). 이와 같은 특징을 이용하여 이 함수들의 정의역을 복소수 범위로 확장할 수 있다.

\(i\)가 허수 단위를 나타낸다고 하자. 그리고 자연지수함수가 복소수 범위에서 정의되어 있다고 간주하자. 그러면 \(\theta\)가 실수일 때 다음을 얻는다. \[\begin{align} e^{i\theta} &= 1 + \frac{i\theta}{1!} + \frac{(i\theta )^2}{2!} + \frac{(i\theta )^3}{3!} + \frac{(i\theta )^4}{4!} + \frac{(i\theta )^5}{5!} + \frac{(i\theta )^6}{6!} + \cdots \\[4pt] &= \left( 1 - \frac{\theta ^2}{2!} + \frac{\theta^4}{4!} - \frac{\theta^6}{6!} + - \cdots \right) + i \left( \theta - \frac{\theta ^3}{3!} + \frac{\theta^5}{5!} - \frac{\theta ^7}{7!} + - \cdots \right) \\[6pt] &= \cos \theta + i \sin \theta \end{align}\] 이것은 등식 \(e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta\)를 증명한 것이 아니다. 왜냐하면 허수 지수를 아직 정의하지 않았기 때문이다. 대신 이 등식을 허수지수의 정의로 삼기로 한다. 즉 다음과 같이 정의한다.

등식 (5.1)을 오일러의 항등식(Euler's identity)이라고 부른다. 등식 (5.2)는 지수가 복소수일 때 지수 법칙이 성립한다는 가정 하에 (5.1)을 자연스럽게 확장한 것이다. 이와 같이 기존의 법칙이 보존되도록 함수의 정의역을 확장하는 방법을 형식불역의 원리라고 부른다.

(5.1)은 지수함수의 정의역을 복소수 집합으로 확장한 것이다. (5.1)을 이용하면 사인과 코사인의 정의역을 복소수 집합으로 확장할 수 있다. 즉 \(\theta\)가 실수일 때 \[\begin{align} e^{i \theta} &= \cos \theta + i \sin\theta, \tag{5.3}\\[7pt] e^{-i \theta} &= \cos \theta - i\sin\theta \tag{5.4} \end{align}\] 이다. (5.3)과 (5.4)을 변마다 더하여 만들어진 등식의 양변을 \(2\)로 나누면 \[\cos \theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}\] 를 얻는다. 또한 (5.3)에서 (5.4)를 변마다 뺀 뒤 만들어진 등식의 양변을 \(2i\)로 나누면 \[\sin \theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}\] 를 얻는다. 그러므로 정의역이 복소수 집합인 삼각함수를 다음과 같이 정의한다.

\(x\)가 실수일 때, \(f(x) = e^{ix}\)로 정의된 함수 \(f\)는 주기가 \(2\pi\)인 주기함수이다. 즉 정의역이 복소수 집합인 지수함수는 일대일 함수가 아니다. 그러므로 지수함수의 역함수를 정의할 수 없다. 즉 로그함수를 정의할 수 없다. 대신 지수함수의 정의역을 \[D = \left\{ x + yi \,\vert\, x\in\mathbb{R} ,\, 0 \le y < 2\pi \right\}\] 와 같이 제한하여 일대일 함수가 되도록 함으로써 그 역함수를 로그함수로 정의할 수 있다. 또는 함수의 개념을 확장하여 여러 개의 값을 갖는 함수를 인정하는 방법이 있는데, 그러한 함수를 다가함수(multi-valued function)라고 부른다.

이와 관련된 자세한 내용은 복소해석학(complex analysis)에서 다룬다.

원래 밈을 넣으려고 했으나 오일러 등식은 우아하고 숭고하기에 경건하게 포스트를 마친다.