이 포스트에서는 미분의 역계산인 역도함수와 부정적분의 개념을 살펴보고, 부정적분을 구하는 몇 가지 방법을 살펴본다.
역도함수와 부정적분
정의 1. \(I\)가 길이가 양수인 구간이고 \(F\)와 \(f\)가 \(I\)에서 정의된 함수라고 하자. 만약 \(I\)에서 \(F ' = f\)가 성립하면 ‘\(F\)는 \(I\)에서 \(f\)의 역도함수(antiderivative)이다’라고 말한다.
한 함수의 역도함수는 유일하게 정해지지 않는다. 예컨대 \[f(x) = \cos x\] 일 때, 다음 함수들은 모두 \(f\)의 역도함수이다. \[\begin{align} F_1 (x) &= \sin x ,\\[8pt] F_2 (x) &= \sin x +4 ,\\[8pt] F_3 (x) &= \sin x - \pi . \end{align}\] 특히 평균값 정리의 따름정리로부터 우리는 다음과 같은 사실을 얻는다.
정리 1. 구간 \(I\)에서 \(F\)가 \(f\)의 한 역도함수이면 \(I\)에서 \(f\)의 모든 역도함수는 다음과 같은 꼴로 표현된다. \[F(x) +C\] 여기서 \(C\)는 임의의 상수이다.
이와 같은 관점에서 다음 두 문항은 서로 다르다.
- Find an antiderivative of \(f\) on \(I .\)
- Find the general antiderivative of \(f\) on \(I .\)
첫 문항은 \(f\)의 역도함수 중 하나를 구하라는 뜻이며, 둘째 문항은 \(f\)이 모든 역도함수를 구하라는 뜻이다.
예제 1. Find the general antiderivative of \(f(x) = \sin x\) on \(\mathbb{R}.\)
풀이. \((-\cos x)\) is an antiderivative of \(f(x)\); \[\frac{d}{dx} (-\cos x ) = \sin x .\] Therefore the general antiderivative formula for \(f(x)\) is \[F(x) = -\cos x +C\] where \(C\) is an arbitrary constant.
주어진 함수의 모든 역도함수를 나타낼 때는 다음과 같은 기호를 사용한다.
정의 2. 함수 \(f\)의 역도함수 전체를 \(f\)의 부정적분(indefinite integral)이라고 부르며 다음과 같이 나타낸다. \[\int f(x) dx \tag{1}\] 여기서 \(\int\)를 적분 기호(integral sign)라고 부르고 \(f\)를 피적분함수(integrand)라고 부르며 \(x\)를 적분변수(variable of integration)라고 부른다.
역도함수의 모임을 ‘부정적분’이라고 부르는 이유는 미적분의 기본정리에서 정적분을 계산할 때 역도함수를 사용하기 때문이다.
보기 2. 적분 기호 사용하여 나타내기.
\[\begin{align} &\int 3x \,dx = \frac{3}{2} x^2 +C ,\\[4pt] &\int \sin x \,dx = - \cos x +C ,\\[4pt] &\int \left( e^t + \sec^2 t + \frac{1}{t} \right) dt = e^t + \tan t - \frac{1}{t^2} +C . \end{align}\]초깃값 문제
등식이 하나 이상의 미분연산자를 포함하고 있고 그 등식을 미분연산자가 포함되지 않은 식으로 풀어야 할 때 원래의 등식을 미분방정식(differential equation)이라고 부른다. 예컨대 \[\frac{dy}{dx} = \sin x\tag{2}\] 를 만족시키는 함수 \(y=f(x)\)를 찾는 문제가 주어졌을 때 등식 (2)를 미분방정식이라고 부른다. (2)를 만족시키는 함수를 구하면 \[f(x) = -\cos x +C \quad (C \text{ is a constant})\tag{3}\] 가 된다. 이처럼 미분방정식을 만족시키는 함수를 구하는 것을 미분방정식을 푼다라고 말하며, 구한 함수를 미분방정식의 해라고 부른다. 특히 (3)처럼 미분방정식의 해가 되는 모든 함수를 구한 것을 일반해(general solution)라고 부르며, 미분방정식의 해 중 하나를 구한 것을 특수해(particular solution)라고 부른다.
만약 미분방정식 (2)에 \[f(0) = 3\tag{4}\] 이라는 조건이 추가되면 (2)의 해는 \[f(x) = -\cos x +4 \tag{5}\] 가 된다. 이처럼 미분방정식에서 \(x\)와 \(y\)의 관계에 (4)와 같은 함숫값 조건이 추가되었을 때, 추가된 조건을 초깃값(initial value)이라고 부르며, 초깃값 조건이 주어진 미분방정식을 푸는 문제를 초깃값 문제(initial value problem)라고 부른다.
예제 3. Solve the initial value problem:
\[\begin{align} (1)\,\,&\frac{dy}{dx} = 2x-7 ,\quad y(2)=0. \\[6pt] (2)\,\,&\frac{ds}{dt} = 1+\cos t ,\quad s(\pi )=1 . \\[6pt] (3)\,\,&\frac{d^2 s}{dt^2} = \frac{3t}{8} ;\quad \left.\frac{ds}{dt}\right\vert_{t=4}=3 ,\,\, s(4)=4. \end{align}\]풀이.
- \(y=x^2 -7x +C, \) \(\,0=2^2 -14+C ,\) \(\,C = 10,\) \(\,\,\therefore \,\, y=x^2 -7x +10.\)
- \(s = t-\sin t +C ,\) \(\, 1 = \pi - \sin \pi +C ,\) \(\, C = 1-\pi ,\) \(\,\, \therefore \,\, s= t-\sin t +1-\pi .\)
- \(ds/dt = 3t^2/16 +C_1 ,\) \(\, 3 = 3+C_1 ,\) \(\, C_1 = 0 ,\) \(\, ds/dt = 3t^2 ,\) \(\,s= t^3 + C_2 ,\) \(\,4=64+C_2 ,\) \(\,C_2 = -60,\) \(\,\,\therefore \,\, s=t^3 - 60.\)