거듭제곱급수를 이용한 삼각함수의 정의

중학교와 고등학교 과정에서 삼각함수는 기하학적으로 정의된다. 그러나 삼각함수를 기하학적으로 정의하면 여러 모로 불편한 점이 많다. 먼저 삼각함수의 정의역은 각(angle)의 집합이므로 삼각함수를 다른 함수와 합성할 때 각이 수와 혼용되어야 한다. 또한 컴퓨터 시스템에서 삼각함수의 값을 계산할 때 기하학적인 방법을 사용하기가 어렵다. 게다가 기하학적으로 정의된 삼각함수는 그 정의역을 복소수 범위로 확장하기도 어렵다.

이와 같은 불편함 때문에 삼각함수를 다른 방법으로 정의해야 한다. 이 포스트에서는 거듭제곱급수를 이용하여 삼각함수를 정의하고, 그렇게 정의된 삼각함수가 유일하게 결정됨을 보인다.

삼각함수의 해석적 정의

거듭제곱급수를 이용하여 함수를 정의하는 것을 해석적으로 정의한다라고 말한다. 삼각함수 중 사인과 코사인을 다음과 같이 해석적으로 정의한다.

비 판정법을 이용하여 (1)과 (2)의 수렴반지름을 구해 보자. \[\lim_{n\to\infty} \frac{(2n+1)!}{(2n+3)!} =0, \\[4pt] \lim_{n\to\infty} \frac{(2n)!}{(2n+2)!} =0\] 이므로 (1)과 (2)의 수렴반지름은 모두 무한대이다. 그러므로 임의의 실수 \(x\)에 대하여 (1)과 (2)는 잘 정의된 함수이다.

삼각함수의 유일성

이제 사인과 코사인이 기하학적으로 정의한 삼각함수의 성질을 모두 가지고 있으며, 또한 그러한 성질을 가지고 있는 함수가 각각 유일함을 보임으로써 이 정의를 정당화하자.

먼저 사인과 코사인의 정의에 의하여 명백히 \[\sin 0=0 ,\,\,\cos 0=1 \tag{3}\] 이다. 그리고 임의의 실수 \(x\)에 대하여 \[\begin{align} \sin (-x) &= - \sin x , \tag{4}\\[6pt] \cos (-x) &= \cos x \tag{5} \end{align}\] 가 성립한다. 사인의 도함수와 코사인의 도함수를 구하면 \[\begin{align} \frac{d}{dx} \sin x &= \frac{d}{dx} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} \\[4pt] &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{d}{dx} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} \\[4pt] &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n (2n+1)x^{2n}}{(2n+1)!} \\[4pt] &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} = \cos x,\\[6pt] \end{align}\] \[\begin{align} \frac{d}{dx} \cos x &= \frac{d}{dx} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} \\[4pt] &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{d}{dx} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} \\[4pt] &= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n 2n x^{2(n-1)}}{(2n)!} \\[4pt] &= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n-1}}{(2n-1)!} \\[4pt] &= -\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = - \sin x \end{align}\] 이므로 \[\begin{align} \frac{d}{dx} \sin x &= \cos x ,\tag{6}\\[4pt] \frac{d}{dx} \cos x &= - \sin x \tag{7} \end{align}\] 이다. \(\phi (x) = \sin^2 x + \cos^2 x\)라고 하자. 그러면 임의의 \(x\)에 대하여 \[\frac{d}{dx} \phi (x) = 2 \sin x \,\cos x + 2 \cos x (-\sin x )=0\] 이므로 \(\phi\)는 상수함수이다. 그런데 \(\phi (0) = 1\)이므로 임의의 \(x\)에 대하여 \[\sin^2 x + \cos^2 x = 1\tag{8}\] 을 얻는다. 또한 사인의 이계도함수와 코사인의 이계도함수를 구하면 \[\begin{align} \frac{d^2}{(dx)^2} \sin x = - \sin x ,\tag{9}\\[4pt] \frac{d^2}{(dx)^2} \cos x = - \cos x \tag{10} \end{align}\] 이다. 이로써 (3)~(10)을 통해 사인과 코사인이 각각 기하학적으로 정의된 삼각함수와 같은 성질을 가지고 있음을 알 수 있다. 이제 이와 같은 성질을 가진 함수가 사인과 코사인으로서 각각 유일하게 결정됨을 보이자.

위 정리에서 \(a=1,\) \(b=1\)을 대입하면 \(f ' ' = -f ,\) \(f(0) = 0 ,\) \(f ' (0) = 1\)을 모두 만족시키는 함수 \(f\)는 \[f(x) = \sin x\] 로서 유일하며, \(g ' ' = - g ,\) \(g(0) =1,\) \(g ' (0) = 0\)을 모두 만족시키는 함수 \(g\)는 \[g(x) = \cos x\] 로서 유일하다. 그러므로 다음과 같은 결론을 얻는다.

몇 가지 성질

사인과 코사인의 성질을 몇 가지 더 살펴보자. 다음 정리는 (1)과 (2)를 이용하여 삼각함수의 성질을 증명하는 예를 보여준다.

코사인의 정의에 의하여 다음을 얻는다. \[\cos 2 = 1 - \frac{2^2}{2!} + \frac{2^4}{4!} - \frac{2^6}{6!} + - \cdots .\] 또한 교대급수의 오차의 한계 공식에 의하여 다음을 얻는다. \[\left\lvert \cos 2 - \left( 1 - \frac{2^2}{2!} \right) \right\rvert \le \frac{2^4}{4!} = \frac{2}{3}.\] 따라서 \(\cos 2 < 0\)이다. 또한 \(\cos 0 = 1\)이고 코사인은 연속함수이므로 사잇값 정리에 의하여 \(\cos x=0\)을 만족시키는 \(x\)가 \(0\)과 \(2\) 사이에 존재한다. 그러한 \(x\) 중 가장 작은 값의 두 배를 \(\pi\)로 나타내며 원주율이라고 부른다. 즉 다음과 같이 정의한다.

코사인이 연속함수이고 \(\cos 0 \ne 0\)이므로 \[\left\{x\,\vert\, \cos x = 0 ,\,\, 0 \le x \le 2 \right\}\] 은 닫힌 집합이다. 따라서 이 집합의 최솟값은 잘 정의되며, 그 값은 양수이다. 즉 \(\pi > 0\)이다.

원주율의 정의에 의하여 \(\cos \frac{\pi}{2} = 0\)이고 \[\cos^2 \frac{\pi}{2} + \sin^2 \frac{\pi}{2} = 1\]이므로 \(\sin \frac{\pi}{2}\)의 값은 \(1\)이거나 \(-1\)이다. 그런데 열린 구간 \(\left(0,\, \frac{\pi}{2} \right)\)에서 \[\frac{d}{dx}\sin x = \cos x > 0\] 이므로 사인은 이 구간에서 증가함수이다. 그러므로 \[\sin \frac{\pi}{2} = 1 \tag{14}\] 이다. 삼각함수의 덧셈 정리를 이용하면 \[\cos \pi = \cos \left( \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} \right) = -\sin \frac{\pi}{2} \cdot \sin \frac{\pi}{2} = -1\] 이며, 같은 방법으로 \[\sin \pi =0 ,\,\, \cos 2 \pi = 1 ,\,\, \sin 2 \pi = 0\] 을 얻는다. 다시 삼각함수의 덧셈 정리를 이용하면 \[\begin{gather} \cos(x+ 2\pi ) = \cos x ,\\[7pt] \sin(x+ 2\pi) = \sin x ,\\[5pt] \cos \left( x + \frac{\pi}{2} \right) = -\sin x ,\\[5pt] \sin \left( x + \frac{\pi}{2} \right) = \cos x \end{gather}\] 를 얻는다. 따라서 다음과 같은 정리를 얻는다.

사인과 코사인을 결합하여 다른 네 개의 삼각함수를 만들 수 있으므로 다른 삼각함수의 성질은 다루지 않겠다.