중학교와 고등학교 과정에서는 같은 수를 여러 번 곱한 것으로 거듭제곱을 정의한 뒤 거듭제곱의 지수를 정수, 유리수 범위로 확장하며, 극한을 이용하여 실수 지수를 정의한다. 그 뒤에 지수를 변수로 갖는 함수를 지수함수로 정의하며, 지수함수의 역함수를 로그함수로 정의한다. 이와 같이 정의된 지수함수는 미분 가능한 함수가 되며, 특히 밑이 자연지수인 함수는 다음과 같은 거듭제곱급수로 나타낼 수 있다. \[e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots\] 이 포스트에서는 순서를 바꾸어 거듭제곱급수를 이용하여 지수함수를 정의하고, 그렇게 정의된 지수함수가 우리가 원하는 성질을 모두 가지고 있음을 보이겠다.
내용 순서
미리 알아야 할 내용
자연지수함수의 해석적 정의
거듭제곱급수를 이용하여 함수를 정의하는 것을 해석적으로 정의한다라고 말한다. 자연지수함수를 다음과 같이 해석적으로 정의한다.
정의 1. (자연지수함수의 해석적 정의)
임의의 실수 \(x\)에 대하여 다음과 같이 정의한다. \[\exp (x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} \tag{1}\] 이 함수를 자연지수함수라고 부른다.
비 판정법을 이용하여 (1)의 수렴반지름을 구해 보자. \[\lim_{n\to\infty} \frac{n!}{(n+1)!} = 0\] 이므로 (1)의 수렴반지름은 무한대이다. 그러므로 임의의 실수 \(x\)에 대하여 (1)은 잘 정의된 함수이다.
자연지수함수의 성질
이제 (1)과 같이 정의된 자연지수함수가 고등학교 과정에서 정의한 지수함수의 성질을 모두 가지고 있음을 보이자. 유리수 지수에 대한 지수법칙은 이미 증명되었다고 가정한다.
\(x\)와 \(y\)가 실수일 때, Mertens의 정리(참고: 정리 3)에 의하여 \[\begin{align} \exp (x) \exp (y) &= \left( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} \right) \left( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{y^n}{n!} \right) \\[3pt] &= \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{k=0}^{n} \frac{x^k y^{n-k}}{k! (n-k)!} \\[3pt] &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} \sum_{k=0}^{n} \frac{n! x^k y^{n-k}}{k! (n-k)!} \\[3pt] &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x+y)^n}{n!} = \exp(x+y) \end{align}\] 이므로 \[\exp(x) \exp (y) = \exp (x+y)\tag{2}\] 가 성립한다. (1)에 \(x=0\)을 대입하면 \(\exp(0) = 1\)이므로 \[\exp (x) \exp(-x) = \exp(x-x) = \exp(0) = 1\] 이다. 그런데 \(\exp\)는 연속함수이므로 임의의 \(x\)에 대하여 \(\exp (x) \ne 0\)이고 \[\exp(-x) = \frac{1}{\exp(x)}\] 이 성립한다. 또한 \(\exp\)의 도함수를 구하면 \[\frac{d}{dx} \exp (x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{nx^{n-1}}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = \exp(x)\] 이다. 그런데 \(\exp (0) = 1\)이고 \(\exp\)가 연속함수이며 \(\exp(x) \ne 0\)이므로 사잇값 정리에 의하여 임의의 \(x\)에 대하여 \(\exp (x) > 0\)이다. 지금까지 살펴본 내용을 정리하면 다음과 같다.
정리 1. (자연지수함수의 성질)
자연지수함수 \(\exp\)는 다음과 같은 성질을 가진다.
- \(\exp\)는 \(\mathbb{R}\)에서 연속이고 미분 가능하며 증가하는 함수이다.
- 임의의 실수 \(x,\) \(y\)에 대하여 \(\exp(x) \exp(y) = \exp(x+y)\)이다.
- 임의의 실수 \(x\)에 대하여 \(\exp(-x) = [\exp (x)]^{-1}\)이다.
- 임의의 실수 \(x\)에 대하여 \(\frac{d}{dx} \exp (x) = \exp (x)\)이다.
정의 (1)과 \(e\)의 성질(참고: 보조정리 2)에 의하여 다음을 얻는다. \[\exp (1) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}= e.\tag{3}\] 따라서 \(n\)이 자연수일 때 다음을 얻는다. \[\exp(n) = \exp(1+1+ \cdots + 1) = \exp(1) \exp(1) \cdots \exp(1) = ee \cdots e = e^n .\] 또한 음의 정수 \(-n\)에 대해서는 \[\exp(-n) = \frac{1}{\exp(n)}= \frac{1}{e^n} = e^{-n}\] 이다. 그리고 정수 \(m\)과 자연수 \(n\)에 대하여 \(r= \frac{m}{n}\)이라고 했을 때 \[[\exp(r)]^n = \exp(r) \exp(r) \cdots \exp(r) = \exp(r+r+ \cdots + r) = \exp(nr) = e^{nr}\] 이므로 \(\exp(r) = \left( e^{nr} \right)^{1/n} = e^{r}\)이다. 따라서 임의의 유리수 \(r\)에 대하여 \[\exp(r) = e^r\] 가 성립한다. 이제 무리수 \(x\)가 임의로 주어졌다고 하자. 그러면 \(x\)에 수렴하는 유리수열 \(\left\{ r_n \right\}\)이 존재한다. \(\exp\)와 \(e^x\)은 모두 연속함수이므로 \[e^x = \lim_{n\to\infty} e^{r_n} = \lim_{n\to\infty} \exp\left( r_n \right) = \exp(x)\] 이다. 이로써 다음 등식을 얻는다.
따라서 \(\exp\)는 고등학교 과정에서 다룬 지수함수 \(e^x\)와 동일한 지수함수이다.
자연로그함수
\(x \ge 1\)일 때 \[e^x = \exp(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} \ge x\] 이므로 \[\lim_{x\to\infty} e^x = +\infty\tag{5}\] 를 얻는다. 또한 \[\lim_{x\to -\infty} e^x = \lim_{x\to\infty} e^{-x} = \lim _ {x\to\infty} \frac{1}{e^x} = 0\tag{6}\] 을 얻는다. 그런데 \(e^x\)은 \(\mathbb{R}\)에서 증가하는 함수이므로 \(e^x\)은 정의역이 \(\mathbb{R}\)이고 치역이 \((0,\,\infty)\)인 일대일 함수이다. 따라서 \(e^x\)의 역함수가 존재한다.
정의 2. (자연로그함수)
임의의 양수 \(x\)에 대하여 \[\ln x := \exp^{-1} (x)\tag{7}\] 로 정의된 함수 \(\ln\)을 자연로그함수라고 부른다.
자연로그함수의 성질은 대부분 자연지수함수의 성질로부터 얻어진다. \(\exp\)가 미분 가능하고 \(\frac{d}{dx}\exp (x) > 0\)이므로 \(\ln\)도 정의역의 모든 점에서 미분 가능하며 \(\frac{d}{dx} \ln x > 0\)이다. 즉 \(\ln\)은 증가함수이다. 또한 \(\exp\)의 정의역이 \(\mathbb{R}\)이고 치역이 \((0,\,\infty )\)이므로 \(\ln\)의 정의역은 \((0,\,\infty)\)이고 치역은 \(\mathbb{R}\)이다.
또한 자연지수함수의 성질로부터 다음 성질을 얻는다.
정리 2. (자연로그함수의 성질)
함수 \(\ln\)은 다음과 같은 성질을 가진다.
- \(\ln\)은 \((0,\,\infty )\)에서 연속이고 미분 가능하며 증가하는 함수이다.
- 임의의 양수 \(x\)에 대하여 \(\frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x}\)이다.
- 임의의 양수 \(x,\) \(y\)에 대하여 \(\ln (xy) = \ln x + \ln y\)이다.
- 임의의 양수 \(x\)와 실수 \(r\)에 대하여 \(\ln \left( x^r \right) = r \ln x\)이다.
증명
[1]은 본문에서 증명하였다.
[2] 역함수 미분법에 의하여 \[\frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{e^{\ln x}} = \frac{1}{x}\] 이다.
[3] 양수 \(y\)가 임의로 주어졌다고 하자. \[\frac{d}{dx} \ln(xy) = \frac{1}{xy} \cdot y = \frac{1}{x} = \frac{d}{dx} \ln x\] 이므로 상수 \(C\)가 존재하여 \[\ln(xy) = \ln x +C\] 이다. \(x=1\)을 대입하면 \(\ln y = C\)이므로 \[\ln(xy) = \ln x + \ln y\] 를 얻는다.
[4] 유리수 \(r\)가 임의로 주어졌다고 하자. \[\frac{d}{dx} \ln \left( x^r \right) = \frac{1}{x^r} \cdot rx^{r-1} = \frac{r}{x} = r \frac{d}{dx} \ln x \] 이므로 상수 \(C\)가 존재하여 \[\ln \left( x^r \right) = r \ln x +C\] 이다. 이 식의 양변에 \(x=1\)을 대입하면 \(C=0\)이므로 \[\ln \left( x^r \right) = r \ln x\] 를 얻는다.
이제 \(r\)가 실수인 경우를 증명하자. 양수 \(x\)가 임의로 주어졌다고 하자. 그러면 \(r\)에 수렴하고 모든 항이 양수인 유리수열 \(\left\{ r_n \right\}\)이 존재한다. 로그함수와 지수함수는 모두 연속함수이므로 \[\ln\left(x^r\right) = \lim_{n\to\infty} \ln\left( x^{r_n} \right) = \lim_{n\to\infty} \left( r_n \ln x \right) = r \ln x\] 가 성립한다.
지수 법칙
\(a\)가 양수이고 \(x\)가 실수일 때 \[a^x = \exp \left( \ln a^x \right) = \exp (x \ln a ) = e^{x \ln a}\] 이다. 즉 양수 \(a\)와 실수 \(x\)에 대하여 다음 등식이 성립한다.
지수함수가 정의되어 있는 경우 (8)은 정리이지만, 지수함수가 정의되어 있지 않은 경우에는 (8)을 실수 지수의 정의로 삼기도 한다. (8)을 이용하면 다음과 같이 지수가 실수인 경우의 지수 법칙을 증명할 수 있다.
정리 3. (지수 법칙)
양수 \(a,\) \(b\)와 실수 \(x,\) \(y\)에 대하여 다음이 성립한다.
- \(a^x a^y = a^{x+y}\)
- \((ab)^x = a^x b^x\)
- \((a^x )^y = a^{xy}\)
증명
정리 2와 등식 (8)에 의하여 다음이 성립한다. \[\begin{align} \ln (a^{x+y}) &= (x+y) \ln a = x \ln a + y \ln a \\[7pt] &= \ln a^x + \ln a^y = \ln (a^x a^y ),\\[9pt] \ln (ab)^x &= x \ln (ab) = x(\ln a + \ln b) \\[7pt] &= x\ln a + x\ln b = \ln a^x + \ln b^x = \ln (a^x b^x ), \\[9pt] \ln (a^x )^y &= y\ln a^x = xy \ln a = \ln a^{xy} . \end{align}\] 여기서 \(\ln\)이 일대일 함수이므로 정리의 세 등식을 얻는다.
자연지수함수의 유일성
이제 자연지수함수의 유일성을 증명하자. 함수 \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\)가 다음 조건을 모두 만족시킨다고 하자.
- \(f(0) = 1\)이다.
- 임의의 \(x\)에 대하여 \(f(x) > 0\)이다.
- \(f\)는 \(\mathbb{R}\)에서 미분 가능하고 \(f ' (x) = f(x)\)이다.
등식 \(f ' (x) = f(x)\)의 양변을 \(f(x)\)로 나누면 \[\frac{f ' (x)}{f(x)} = 1\] 을 얻는다. 이 식의 양변의 부정적분을 구하면 \[\ln f(x) = x+C\] 이다. 여기서 \(C\)는 상수이다. 위 식의 양변에 \(x=0\)을 대입하면 \(C=0\)이다. 그러므로 \[\ln f(x) = x\] 이다. 즉 \(f\)는 \(\ln\)의 역함수이다. 그러므로 \(f(x) =e^x\)이다.
이로써 다음 결론을 얻는다.
정리 4. (자연지수함수의 유일성)
해석적으로 정의한 자연지수함수는 고등학교 과정에서 살펴본 자연지수함수와 완전히 일치하며, 자연지수함수의 성질 \[f ' (0) = 1 ,\,\, f(x) > 0 ,\,\, f ' (x) = f(x)\] 를 모두 갖고 있는 함수는 (1)에서 정의한 자연지수함수가 유일하다.
일반적인 로그함수
이제 일반적인 로그함수를 정의하자.
정의 3. (로그함수)
\(a > 0,\) \(a\ne 1\)일 때 지수함수 \(y=a^x\)의 역함수를 \(\log _a x\)로 나타낸다. 이 함수를 밑이 \(a\)인 로그함수라고 부른다. 특히 밑이 \(10\)인 로그함수를 상용로그라고 부른다. 상용로그는 밑을 생략하여 \(\log_{10} x\) 대신 \(\log x\)로 나타낸다.
\(a > 0,\) \(a \ne 1,\) \(x > 0\)일 때, 로그함수의 정의에 의하여 \(y = \log_a x\)일 필요충분조건은 \(x = a^y\) 즉 \[x=e^{y \ln a}\] 인 것이다. 이 식의 양변에 \(\ln\)을 취하면 \[\ln x = \ln e^{y \ln a} = y \ln a\] 이다. 그런데 \(y = \log_a x\)이므로 다음을 얻는다. \[\log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}\tag{9}\] 이 식을 이용하면 밑이 \(e\)가 아닌 지수함수와 로그함수의 도함수를 구할 수 있다. 즉 \[ \frac{d}{dx} a^x = \frac{d}{dx} e^{x\ln a} = \left( e^{x \ln a} \right) \ln a = a^x \ln a ,\\[6pt] \frac{d}{dx} \log_a x = \frac{d}{dx} \frac{\ln x}{\ln a} = \frac{1}{x \ln a} \] 이다.