Download: GongjuHarmony-Regular.ttf (ZIP) Font Name: Gongju Harmony공주조화체 Designers: Kim Deokyong, Kim Sunjin, Han Kyunghoon, Kwon Taegyu김덕용, 김선진, 한경훈, 권태규 License: Personal use only; Not for commercial, not allowed to be modified nor to be redistributed.All rights are reserved. 개인적인 용도로만 사용하는 것을 허가합니다.상업적 용도로 사용하는 것을 허가하지 않으며,글꼴을 수정하거나다른 미디어를 통해 재배포하는 것을 금지합니다. 모든 저작권은 만든이에게 있습니다.
함수 \(f\)가 구간 \([a,\,b]\)에서 연속이고 임의의 \(x\in[a,\,b]\)에 대하여 \(f(x) > 0\)일 때, \(x\)축과 \(y=f(x)\)의 그래프, 그리고 두 직선 \(x=a,\) \(x=b\)로 둘러싸인 부분의 넓이를 \([a,\,b]\)에서 \(f\)의 정적분이라고 부른다. 이와 같은 정의는 직관적인 정의이며 연속함수에 대해서만 정의되므로 대단히 협소하다. 이 포스트에서는 리만 적분을 엄밀하게 정의하고, 적분 가능성과 정적분의 성질을 살펴본다. 구분구적법 \(I = [a,\,b]\)가 길이가 양수인 구간이고 함수 \(f\)가 \([a,\,b]\)에서 정의되었다고 하자. 그리고 자연수 \(n\)에 대하여 …
이 포스트에서는 미분의 역계산인 역도함수와 부정적분의 개념을 살펴보고, 부정적분을 구하는 몇 가지 방법을 살펴본다. 역도함수와 부정적분 정의 1. \(I\)가 길이가 양수인 구간이고 \(F\)와 \(f\)가 \(I\)에서 정의된 함수라고 하자. 만약 \(I\)에서 \(F ‘ = f\)가 성립하면 ‘\(F\)는 \(I\)에서 \(f\)의 역도함수(antiderivative)이다’라고 말한다. 한 함수의 역도함수는 유일하게 정해지지 않는다. 예컨대 \[f(x) = \cos x\] 일 때, 다음 함수들은 모두 \(f\)의 역도함수이다. \[\begin{align} F_1 (x) &= \sin x …
두 함수 \(f\)와 \(g\)모두 점 \(c\)를 원소로 갖는 한 열린 구간에서 정의되어 있고, \(x\to c\)일 때 \(f(x) \to A,\) \(g(x) \to B\)이며 \(B \ne 0\)이라고 하자. 그러면 \[\lim_{x\to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A}{B}\] 가 성립한다. 그러나 만약 \(A = B = 0\)이거나, \(x\to c\)일 때 \(f(x)\)와 \(g(x)\)가 모두 무한대로 발산하면 위와 같은 등식을 사용할 수 없다. 예컨대 \(x\to 0\)일 때 \(\sin x \to 0\)이므로 극한 …
이차함수 \(y=ax^2 + bx +c\)의 그래프는 \(a > 0\)일 때 아래쪽으로 볼록하고 \(a < 0\)일 때 위쪽으로 볼록하다. 사인이나 코사인의 경우에는 \(x\)의 값이 커짐에 따라 함수의 그래프가 볼록한 방향이 위쪽과 아래쪽으로 번갈아가면서 나타난다. 이와 같은 그래프의 볼록성은 그래프의 모양을 관찰하면 알 수 있다. 하지만 그래프를 그리지 않더라도 도함수를 이용하여 함수의 그래프의 볼록성을 조사할 수 있다. 이 포스트에서는 함수의 그래프의 볼록성을 정의하고 그와 관련된 성질을 ...
함수 \(f\)의 정의역의 내점 \(a\)에서의 미분계수 \(f ‘ (a)\)는 \(x=a\)일 때 \(y=f(x)\)의 그래프에 접하는 직선의 기울기와 같다. 즉 미분계수는 함수의 그래프의 모양에 의하여 결정되므로, 미분을 이용하여 함수의 그래프의 성질을 밝힐 수 있다. 이 포스트에서는 함수의 극값, 증가와 감소를 정의하고 이와 관련된 미분의 성질을 살펴본다. 함수의 극값 \(E\)가 \(\mathbb{R}\)의 부분집합이라고 하자. 만약 \(M \in E\)이고, 임의의 \(x\in E\)에 대하여 \(x\le M\)이면 \(M\)을 \(E\)의 최댓값이라고 부른다. …
이 포스트에서는 쌍곡선함수와 역쌍곡선함수를 정의하고 이 함수들의 도함수를 살펴본다. 쌍곡선함수의 정의 \(\mathbb{R}\)에서 정의된 함수는 기함수와 우함수의 합으로 나타낼 수 있다. 즉 함수 \(f\)는 \[f(x) = \frac{f(x)-f(-x)}{2} + \frac{f(x)+f(-x)}{2}\] 로서 기함수와 우함수의 합으로 표현된다. 이와 같은 방법으로 자연지수함수를 기함수와 우함수의 합으로 표현하면 \[e^x = \frac{e^x – e^{-x}}{2} + \frac{e^x + e^{-x}}{2}\] 이다. 이때 \(e^x\)의 기함수 부분을 쌍곡선사인, 우함수 부분을 쌍곡선코사인이라고 부른다. 즉 쌍곡선사인(hyperbolic sine)이란 \[\sinh …
\(a\)가 \(1\)이 아닌 양수일 때 \[ y = a^x \,\,\,(x\in\mathbb{R})\tag{1}\] 꼴로 정의된 함수를 지수함수라고 부른다. 또한 지수함수 (1)의 역함수를 로그함수라고 부르고 \[ y = \log _a x \,\,\,(x > 0 )\] 로 나타낸다. 이 포스트에서는 지수함수와 로그함수의 도함수를 구하고, 로그 미분법을 이용하여 지수가 실수인 거듭제곱 미분법을 증명한다. 지수함수의 미분 지수함수와 로그함수의 도함수를 구하기 위해서는 자연상수라고 불리는 상수 \(e\)를 도입해야 한다. \(e\)를 정의하는 방법은 여러 …
이 포스트에서는 삼각함수와 역삼각함수의 미분 공식을 살펴본다. 삼각함수의 미분 삼각함수의 미분 공식을 유도할 때에는 삼각함수의 덧셈 공식 \[\sin (x+h) = \sin x \cos h + \cos x \sin h\] 와 극한 공식 \[\lim_{h\to 0}\frac{\cos h -1}{h} = 0 ,\quad \lim_{h\to 0}\frac{\sin h}{h} =1\] 이 사용된다. 이 공식을 이용하여 사인 함수의 도함수를 구하면 다음과 같다. \[\begin{align} \frac{d}{dx} \sin x &= \lim_{h\to 0} \frac{\sin(x+h) – \sin …
사칙계산과 관련된 미분 법칙을 이용하면 유리함수의 미분은 할 수 있지만, 그 외의 복잡한 함수를 미분하기에는 어려움이 있다. 합성함수, 음함수, 역함수의 미분법을 이용하면 더 다양한 종류의 함수를 미분할 수 있다. 합성함수의 미분 다음과 같은 함수를 생각하자. \[h(x) = (2x+4)^3 \tag{1}\] 이 함수를 미분하고 미분계수 \(h ‘ (1)\)을 구해 보자. 우변을 전개하면 \[h(x) = 8x^3 + 48x^2 + 96x + 64 \] 이므로 \[h ‘ (x) …