복소수의 사칙계산 예제 모음

풀이

\(a^3 - a^2 b - ab^2 + b^3 \)의 각 항을 계산하여 더할 수도 있지만, 우선 인수분해하여 정리한 뒤 계산하자. \[\begin{aligned} a^3 - a^2 b - ab^2 + b^3 &= a^2 (a-b) - b^2 (a-b) \\[6pt] &= (a^2 - b^2 )(a-b) \\[6pt] &= (a+b)(a-b)(a-b) \\[6pt] &= (a+b)(a-b)^2 \end{aligned}\] 이다. 그런데 \[a+b = 6 ,\quad a-b = 2\sqrt{3} \complexI \] 이므로 \[(a+b)(a-b)^2 = 6\times (2\sqrt{3} \complexI)^2 = - 72\] 이다.

풀이

문제에서 주어진 \(x\)의 값은 방정식 \(x^3 = -1\)의 한 근이다. (이 사실을 몰랐다면, \(x\)의 거듭제곱을 계산해 보아야 한다ㅜㅜ) 그러므로 \[\begin{aligned} x^4 - x^3 + 3x - 2 &= -x +1 +3x -2 \\[6pt] &= 2x -1 \\[6pt] &= 1 + \sqrt{3}\complexI -1 \\[6pt] &= \sqrt{3} \complexI \end{aligned}\] 이다.

풀이

\(z = a+b\complexI ,\) \(w = c+d\complexI \)라고 하자. 여기서 \(a,\) \(b,\) \(c,\) \(d\)는 모두 실수이다. 이때 \(z+w\)와 \(zw\)를 계산하면 다음과 같다. \[\begin{aligned} z+w &= (a+b\complexI )+(c+d\complexI ) = (a+c) + (b+d)\complexI ,\\[6pt] zw &= (a+b\complexI )(c+d\complexI ) = (ac-bd) + (ad+bc)\complexI \end{aligned}\] 이다.

[\(\Rightarrow\) 증명] \(z+w\)와 \(zw\)가 모두 실수라고 하자. 그러면 \(z+w\)와 \(zw\)를 계산한 결과에서 \[b+d = 0 , \quad ad+bc = 0\] 이다. 즉 \(b=-d\)이고 \(a=c\)이다. 그러므로 \[\overline{w} = c-d\complexI = a+b\complexI = z\] 이다.

[\(\Leftarrow\) 증명] 역으로, \(z = \overline{w}\)라고 가정하자. 그러면 \[a+b\complexI = z = \overline{w} = c-d\complexI\] 이다. 실수부와 허수부를 각각 비교하면 \[b+d = 0 , \quad ad+bc = 0\] 이다. 그러므로 \(z+w\)와 \(zw\)를 계산한 결과에서 모두 허수부가 \(0\)이 된다. 즉 \(z+w\)와 \(zw\)가 모두 실수이다.

풀이

\(z= a+b\complexI\)이고 \(a\)와 \(b\)가 실수라고 하자.

[\(\Rightarrow\) 증명] \(z=\overline{z}\)라고 하자. 그러면 \[a+b\complexI = z = \overline{z} = a-b\complexI\] 이므로 \(a=a\) 그리고 \(b = -b\)이다. 그러므로 \(b=0\)이며, \(z=a+b\complexI = a\)는 실수이다.

[\(\Leftarrow\) 증명] \(z\)가 실수라고 하자. 그러면 \(z=a+b\complexI\)에서 허수부인 \(b\)가 \(0\)이다. 즉 \(z=a+b\complexI = a\)이다. 그러므로 \[z = a+b\complexI = a-b\complexI = \overline{z}\] 이다.

풀이

\(z = a+b\complexI\)라고 하자. 문제의 가정에 의하여 \(z\)가 허수이므로, \(b\ne 0\)이다. 다음으로 \(z+\frac{1}{z}\)을 계산하면 다음과 같다. \[\begin{aligned} z+\frac{1}{z} &= (a+b\complexI ) + \frac{1}{a+b\complexI} \\[6pt] &= (a+b\complexI ) + \frac{a-b\complexI}{a^2 + b^2} \\[6pt] &= \left( a + \frac{a}{a^2 + b^2} \right) + \left( b - \frac{b}{a^2 +b^2} \right)\complexI . \end{aligned}\] 이 값이 실수이므로, 허수부가 \(0\)이어야 한다. 즉 \[b - \frac{b}{a^2 + b^2} = 0\] 이다. 여기서 \(b\ne 0\)이므로 \[a^2 + b^2 = 1\] 을 얻는다. 그러므로 \[z\overline{z} = (a+b\complexI )(a-b\complexI ) = a^2 + b^2 = 1\] 이다.

풀이

우선 \(z/\overline{z}\)의 값을 구하자. \[\frac{z}{\overline{z}} = \frac{1+\complexI}{1-\complexI} = \frac{(1+\complexI )^2}{2} = \frac{ 1 + 2\complexI -1}{2} = \complexI .\] 그러므로 구하는 값은 \[\complexI + \complexI ^2 + \complexI ^3 + \complexI ^4 = \complexI -1 -\complexI +1 = 0\] 이다.

풀이

우선 \(z^2 + \left( \overline{z} \right)^2\)이 음수가 되는 조건을 찾아보자. \(z=a+b\complexI\)이고 \(a,\) \(b\)가 실수라고 하자. \[\begin{aligned} z^2 + \left( \overline{z} \right)^2 &= (a+b\complexI )^2 + ( a-b\complexI )^2 \\[6pt] &= a^2 + 2ab\complexI -b^2 + a^2 - 2ab\complexI -b^2 \\[6pt] &= 2(a^2 -b^2 ) \end{aligned}\] 이므로, \(z^2 + \left( \overline{z} \right)^2\)이 음수가 되기 위한 필요충분조건은 \[a^2 < b^2\] 이다. 이 부등식에 \(a = 3x ,\) \(b = 2x-7\)을 대입하면 \[ (3x)^2 < (2x-7)^2 \] 이다. 이 부등식을 풀면 \[\begin{gathered} 9x^2 < 4x^2 - 28x + 49, \\[6pt] 5x^2 + 28x -49 < 0 \end{gathered}\] 이므로 \[-7 < x < 1.4\] 이다. 이 범위에 있는 정수는 \[-6 ,\,\, -5 ,\,\, -4 ,\,\, -3 ,\,\, -2 ,\,\, -1 ,\,\, 0 ,\,\, 1\] 로서, 그 개수는 \(8\)이다.

풀이

\(z^2 + \left( \overline{z} \right)^2\)의 값을 계산하면 \[\begin{aligned} z^2 + \left( \overline{z} \right)^2 &= (a+b\complexI )^2 + ( a-b\complexI )^2 \\[6pt] &= a^2 + 2ab\complexI -b^2 + a^2 - 2ab\complexI -b^2 \\[6pt] &= 2(a^2 -b^2 ) \end{aligned}\] 이다. 이 값이 \(0\)이 되려면 \[a^2 = b^2\] 이어야 한다. 이때 \[ 6a + 12b^2 +11 = 6a + 12a^2 +11 = 12a^2 + 6a + 11 \] 이다. 이 값이 최소가 되는 건 \[a = - \frac{1}{2} \times \frac{6}{12} = - \frac{1}{4}\] 일 때이다. 이 값을 대입하여 계산하면 \[12a^2 + 6a + 11 = 12 \times \left(-\frac{1}{4}\right)^2 + 6 \times \left(-\frac{1}{4}\right) + 11 = \frac{41}{4} \] 이다.

풀이

\(z + \overline{z} =0\)이 되기 위한 조건을 구하자. \(z=a+b\complexI\)라고 하면 \[z+\overline{z} = (a+b\complexI ) + (a- b\complexI ) = 2a\] 이므로, 구하는 조건은 \[a=0 \tag{*}\] 이다. 한편 \[z = (-2x^2 +32) + (x^2 -3x -4 ) \complexI \tag{**}\] 이므로, (*)에 \(a = -2x^2 +32\)를 대입하면 \[-2x^2 +32 = 0\] 이다. 이 방정식을 풀면 \[x=\pm 4\] 이다. 한편 \(z\)가 허수이므로, (**)에서 허수부가 \(0\)이 아니다. 즉 \[x^2 -3x -4 \ne 0\] 이다. \(x=4\)일 때 \(x^2 -3x -4\)의 값이 \(0\)이고, \(x=-4\)일 때 \[x^2 -3x -4 = 16 + 12 -4 \ne 0\] 이므로, 구하는 값은 \[x = -4\] 이다.

풀이

우선 \(a=0\) 또는 \(a=1\) 또는 \(a=-1\)이면 \(A\)의 원소의 개수가 \(2\) 이하가 되므로, \(a\)의 값은 \(0,\) \(1\) \(-1\) 중 어느 것도 될 수 없다.

이제 \(A\)의 원소 각각에 \(a\)를 곱하여 다음과 같이 네 개의 수를 만들자. \[a^2 ,\quad a^3 ,\quad a^4 ,\quad a^5 . \tag{*}\] 위 네 개의 수는 모두 서로 달라야 한다. 왜냐하면, 만약 네 개의 수 중 같은 것이 존재한다면, 그 두 개의 값을 \(a\)로 나누어도 같아야 하는데, 그러면 \(A\)의 원소가 모두 다르다는 가정에 모순이기 때문이다. (예를 들어 \(a^2 = a^5\)라면, 양변을 \(a\)로 나누어 \(a = a^4\)이 되므로 모순이다.)

그러므로 (*)의 원소는 모두 다르다. 그런데 \(A\)가 곱셈에 대하여 닫혀 있으므로, (*)의 원소는 모두 \(A\)에 속한다. 특히 \(a^2 ,\) \(a^3 ,\) \(a^4\)이 이미 \(A\)에 있으므로, \(a^5\)의 값이 \(a\)와 같을 수밖에 없다. 즉 다음과 같은 방정식을 얻는다. \[a^5 = a\] 이 방정식을 풀면 \[\begin{aligned} a^5 -a &=0 , \\[6pt] a(a^4 -1 ) &= 0 , \\[6pt] a( a^2 +1) (a+1)(a-1) &= 0 \end{aligned}\] 이므로 \[a = 1 \quad\text{or}\quad a=-1 \quad\text{or}\quad a=\complexI \quad\text{or}\quad a=-\complexI \] 이다. 그런데 \(1\)과 \(-1\)은 \(a\)의 값이 될 수 없으므로, \(a\)의 값이 될 수 있는 후보는 \[\complexI ,\quad -\complexI\] 뿐이다. 이 두 개의 값 모두 \(A\)의 원소의 개수가 \(4\)라는 가정과 \(A\)가 곱셈에 대하여 닫혀 있다는 가정에 부합한다.

\(a=\complexI\)일 때 \(a^{10} = -1\)이고, \(a=-\complexI\)일 때에도 \(a^{10} = -1\)이므로, 구하는 값은 \(-1\)이다.

풀이

\(z=a+b\complexI \)라고 하고, \(a\)와 \(b\)를 실수라고 하자. 문제에서 제시한 두 조건을 \(a\)와 \(b\)에 대한 조건으로 바꾸어 보자. 우선 첫 번째 조건은 \[z\overline{z} = a^2 + b^2 = 5 \tag{*}\] 이다. 다음으로 두 번째 조건은 \[ z^2 + \left( \overline{z} \right)^2 = a^2 + 2ab\complexI - b^2 + a^2 - 2ab\complexI -b^2 = 2(a^2 - b^2 ) =6\] 이므로 \[ a^2 - b^2 = 3\tag{**}\] 이다. 두 등식 (*)과 (**)을 연립하여 풀면 \[a^2 = 4 ,\quad b^2 = 1\] 이다. 그러므로, 조건을 만족시키는 복소수 \(z\)를 나열하면 다음과 같다. \[\begin{aligned} z &= +2 + \complexI , \\[6pt] z &= +2 - \complexI , \\[6pt] z &= -2 + \complexI , \\[6pt] z &= -2 - \complexI . \end{aligned}\] 이 값을 모두 더하면 \(0\)이다.

풀이

만약 세 복소수 \[x,\quad y,\quad z \tag{*}\] 중에 \(0\)이 존재한다면 \[xy ,\quad yz ,\quad xz \tag{**}\] 중에 \(0\)이 두 개가 존재하게 된다. 이것은 (*)과 (**)이 하나씩 대응되어야 한다는 문제의 조건에 모순이다. 그러므로 \(x,\) \(y,\) \(z\) 중에 \(0\)이 존재하지 않는다.

다음으로 (*)의 세 복소수를 (**)의 세 복소수에 대응시키는 방법을 생각하자. 만약 (*)의 세 복소수가 자신을 인수로 갖지 않는 복소수에만 대응된다면(엄밀하게 표현하면, “자신을 나타내는 문자가 아닌 문자의 곱으로만 표현되는 복소수에 대응된다면”이라고 해야 한다), 즉 \[x = yz ,\quad y = xz ,\quad z = xy \tag{***}\] 라면, \[xyz = x^2 = y^2 = z^2\] 이 성립하므로, \(x,\) \(y,\) \(z\) 중 두 개는 서로 같아야 한다. 이것은 \(x,\) \(y,\) \(z\)가 서로 다른 세 복소수라는 문제의 조건에 모순이다. 그러므로 (***)과 같이 대응되지는 않는다. 즉 \[x = xy \quad\text{or}\quad x=xz \quad\text{or}\quad y=yx \quad\text{or}\quad y=yz \quad\text{or}\quad z=xz \quad\text{or}\quad z = yz\] 와 같이, \(x,\) \(y,\) \(z\) 중 적어도 하나는 (**)의 세 수 중 자신을 인수로 갖는 식이 나타내는 수에 대응되어야 한다. 여섯 가지 경우 중 어느 경우든, \(x,\) \(y,\) \(z\) 중 하나가 \(1\)이 된다는 사실을 알 수 있다. (예를 들어 \(y = yz\)라면, \(z=1\)이 된다.)

그러므로 세 복소수 중 하나를 \(1\)이라고 하고, 다른 두 복소수를 \(x,\) \(y\)라고 하자. 그러면 문제의 조건에 의하여 \[x+y+1 = 0\] 이고 \[xy=1\] 이 성립해야 한다. 두 식을 연립하여 풀면, \(x\)와 \(y\)의 값은 두 복소수 \[\frac{-1 + \sqrt{3} \complexI}{2} ,\quad \frac{-1 - \sqrt{3} \complexI}{2}\] 에 하나씩 대응된다. 물론, \(x\)와 \(y\)의 값은 서로 바뀔 수 있다.

그러므로, 세 복소수는 다음과 같다. \[1 ,\quad \frac{-1 + \sqrt{3} \complexI}{2} ,\quad \frac{-1 - \sqrt{3} \complexI}{2} .\]