발산하는 극한 증명 예

풀이. 양수 \(M\)이 임의로 주어졌다고 하자. \[\delta = \frac{1}{\sqrt{M}}\] 이라고 하자. 그러면 \(\delta\)는 양수이다.

이제 \( 0 < \lvert x-0 \rvert < \delta\)라고 하자. 그러면 \(0 < x^2 < \delta ^2\)이므로 \[\frac{1}{x^2} > \frac{1}{\delta ^2} = M\] 이다. 그러므로 \(x \rightarrow 2-\)일 때 \(\frac{1}{(x-2)^3}\)이 음의 무한대로 발산한다.

풀이. 양수 \(M\)이 임의로 주어졌다고 하자. \[\delta = \frac{1}{\sqrt[3]{M}}\] 이라고 하자(분모가 \(M\)의 세제곱근이다). 그러면 \(\delta\)는 양수이다.

이제 \( 2 - \delta < x < 2\)라고 하자. 그러면 \(0 > (x-2)^3 > - \delta ^3\)이므로 \[\frac{1}{(x-2)^3} < - \frac{1}{\delta ^3} = - M\] 이다. 그러므로 \(x \rightarrow 0\)일 때 \(\frac{1}{x^2} \rightarrow \infty\)이다.

풀이 1. 양수 \(M\)이 임의로 주어졌다고 하자.

\(X = \sqrt[3]{M}\)이라고 하자. 그러면 \(X\)는 양수이다.

이제 \(x > X\)라고 하자. 그러면 \[x^3 > X^3 = M\] 이다. 그러므로 \(x\rightarrow\infty\)일 때 \(x^3 \rightarrow \infty\)이다.

풀이 2. 양수 \(M\)이 임의로 주어졌다고 하자.

\(X = \max \left\{ 1 ,\,\, M \right\}\)이라고 하자. 그러면 \(X\)는 양수이다.

이제 \(x > X\)라고 하자. 그러면 \(X \ge 1\)이므로 \(x^3 > X^3\)이다.

또한 \(M \ge 1\)일 때는 \(X^3 = M^3 \ge M\)이며, \(M < 1\)일 때는 \(X^3 \ge 1 > M\)이다.

그러므로 \[x^3 > X^3 \ge M\] 이다. 따라서 \(x\rightarrow\infty\)일 때 \(x^3\)은 양의 무한대로 발산한다.

풀이. 양수 \(M\)이 임의로 주어졌다고 하자.

\(X = \max \left\{ 1,\,\, \ln M \right\}\)이라고 하자. 그러면 \(X\)는 양수이다.

이제 \(x < -X\)라고 하자. 그러면 \(-x > X > 0\)이므로 \[e^{-x} > e^X \ge e^{\ln M} = M\] 이다. 그러므로 \(x \rightarrow -\infty\)일 때 \(e^{-x} \rightarrow \infty\)이다.

풀이. 우선 \(\sin x\)가 수렴하지 않는다는 사실을 증명하자.

결론과는 반대로 \(x\rightarrow\infty\)일 때 \(\sin x\)가 수렴한다고 가정하자. 그리고 극한값을 \(L\)이라고 하자. \(\epsilon = \frac{1}{2}\)이라고 두면 \(\epsilon > 0\)이므로, 수렴하는 극한의 정의를 만족시키는 양수 \(X\)가 존재한다. 그러면 \(x > X\)인 모든 \(x\)에 대하여 \[\lvert \sin x - L \rvert < \epsilon = \frac{1}{2}\] 즉 \[- \frac{1}{2} < \sin x - L < \frac{1}{2}\] 이 성립해야 한다. 이 부등식을 두 개의 부등식으로 나타내면 \[ L < \sin x + \frac{1}{2} , \quad \sin x - \frac{1}{2} < L\] 이다. \(X\)가 어떤 값이든 상관 없이 \(x > X\)인 범위에서 \(\sin x\)가 \(-1\)부터 \(1\)까지 모든 값을 가질 수 있으므로, 첫 번째 부등식으로부터 \[L < -1 + \frac{1}{2} = - \frac{1}{2}\] 을 얻으며, 두 번째 부등식으로부터 \[L > 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\] 을 얻는다. 즉 \[\frac{1}{2} < L < - \frac{1}{2}\] 이므로 모순이다. 따라서 \(x\rightarrow \infty\)일 때 \(\sin x\)는 수렴하지 않는다.

다음으로 \(x\rightarrow \infty\)일 때 \(\sin x\)가 양의 무한대로 발산하지 않음을 보이자.

결론과는 반대로 \(x\rightarrow \infty\)일 때 \(\sin x\)가 양의 무한대로 발산한다고 가정하자. 그리고 \(M = 1\)이라고 하자. 그러면 양의 무한대로 발산하는 극한의 정의를 만족시키는 양수 \(X\)가 존재하며, \(x > X\)인 모든 \(x\)에 대하여 \(\sin x > M\)이 성립한다. 그런데 \(\sin x\)의 값은 \(1\)을 초과할 수 없으므로, 이것은 모순이다. 그러므로 \(x\rightarrow \infty\)일 때 \(\sin x\)가 양의 무한대로 발산하지 않는다.

같은 방법으로 \(x\rightarrow \infty\)일 때 \(\sin x\)가 음의 무한대로 발산하지 않음을 보일 수 있다.

이로써 \(x\rightarrow \infty\)일 때 \(\sin x\)가 수렴하지 않고, 양의 무한대로 발산하지 않고, 음의 무한대로 발산하지도 않으므로, \(x\rightarrow \infty\)일 때 \(\sin x\)는 진동한다.

풀이. 우선 \(\lfloor x \rfloor\)가 수렴하지 않는다는 사실을 증명하자.

결론과는 반대로 \(x\rightarrow n\)일 때 \(\lfloor x \rfloor\)가 수렴한다고 가정하자. 그리고 극한값을 \(L\)이라고 하자. \(\epsilon = \frac{1}{2}\)이라고 두면 \(\epsilon > 0\)이므로, 수렴하는 극한의 정의를 만족시키는 양수 \(\delta\)가 존재한다. 그러면 \( 0 < \lvert x-n \rvert < \delta\)인 모든 \(x\)에 대하여 \[\lvert \lfloor x \rfloor - L \rvert < \epsilon\] 즉 \[ L - \frac{1}{2} < \lfloor x \rfloor < L + \frac{1}{2}\] 이 성립한다. 만약 \(x\)가 \( 0 < \lvert x-n \rvert < \delta\)이면서 \(n-1 < x < n\)인 범위에 있으면 \[\lfloor x \rfloor = n-1\] 이므로 \[L - \frac{1}{2} < n-1\] 즉 \[L < n - \frac{1}{2}\tag{a}\] 이 성립한다. 만약 \(x\)가 \( 0 < \lvert x-n \rvert < \delta\)이면서 \(n < x < n+1\)인 범위에 있으면 \[\lfloor x \rfloor = n\] 이므로 \[n < L + \frac{1}{2}\] 즉 \[n - \frac{1}{2} < L\tag{b}\] 이 성립한다. 두 부등식 (a), (b)를 결합하면 \[L < n - \frac{1}{2} < L\] 이므로 모순이다. 그러므로 \(x \rightarrow n\)일 때 \(\lfloor x \rfloor\)는 수렴하지 않는다.

다음으로 \(x\rightarrow n\)일 때 \(\lfloor x \rfloor\)가 양의 무한대로 발산하지 않음을 증명하자.

\(M = n+1\)이라고 하자. 그러면 \(M > 0\)이므로, 양의 무한대로 발산하는 극한의 정의를 만족시키는 양수 \(\delta\)가 존재하여, \(0 < \lvert x-n \rvert < \delta\)일 때마다 \[\lfloor x \rfloor > M\tag{c}\] 이 성립한다. 그런데 \(x\)와 \(n\)의 거리가 \(1\) 미만이면 \(\lfloor x \rfloor\)의 값은 \(M = n+1\)보다 커질 수 없다. 그러므로 \(0 < \lvert x-n \rvert < \delta\)일 때마다 (c)가 성립하도록 하는 양수 \(\delta\)는 존재하지 않는다. 즉 \(x\rightarrow n\)일 때 \(\lfloor x \rfloor\)가 양의 무한대로 발산하지 않는다.

비슷한 방법으로 \(x\rightarrow n\)일 때 \(\lfloor x \rfloor\)가 음의 무한대로 발산하지 않음을 보일 수 있다.

예제 6의 다른 풀이. \(x \rightarrow n-\)일 때 \(\lfloor x \rfloor \rightarrow n-1\)이고, \(x \rightarrow n+\)일 때 \(\lfloor x \rfloor \rightarrow n\)이고, \(n\)에서 \(\lfloor x \rfloor\)의 좌극한과 우극한이 다르다. 그러므로 \(x\rightarrow n\)일 때 \(\lfloor x \rfloor\)는 수렴하지 않는다.

한편 \(x \rightarrow n\)일 때 \(\lfloor x \rfloor\)의 좌극한과 우극한이 각각 수렴하므로, \(x \rightarrow n\)일 때 \(\lfloor x \rfloor\)는 양의 무한대로 발산하지 않고, 음의 무한대로 발산하지도 않는다.

풀이. \(x\rightarrow 3\)일 때 \(f(x)\)가 수렴한다고 가정하고, 극한값을 \(L\)이라고 하자. 그리고 \[q_n = 3+ \frac{1}{n} , \quad r_n = 3+ \frac{\pi}{n}\] 라고 하자. 그러면 \(\left\{ q_n \right\}\)은 \(3\)에 수렴하는 유리수열이고, \(\left\{ r_n \right\}\)은 \(3\)에 수렴하는 무리수열이다. 그러므로 두 수열 \(\left\{ f(q_n ) \right\}\)과 \(\left\{ f(r_n ) \right\}\)은 모두 같은 값 \(L\)에 수렴해야 한다. 그런데 임의의 자연수 \(n\)에 대하여 \[f(q_n ) = 1 ,\quad f(r_n ) =0\] 이므로, \(\left\{ f(q_n ) \right\}\)과 \(\left\{ f(r_n ) \right\}\)은 각각 \(1\)과 \(0\)에 수렴한다. 그러므로 \(x\rightarrow 3\)일 때 \(f(x)\)는 수렴하지 않는다.

다음으로 \(x\rightarrow 3\)일 때 \(f(x)\)가 양의 무한대로 발산하지 않음을 보이자. \(M = 1\)이라고 하자. 그러면 양수 \(\delta\)를 어느 값으로 설정하든, \( 0 < \lvert x-3 \rvert < \delta\)를 만족시키는 \(x\)에 대하여 \(f(x) \le M\)이다. 즉 함숫값 \(f(x)\)가 \(M\)을 초과할 수 없다. 그러므로 \(x\rightarrow 3\)일 때 \(f(x)\)는 양의 무한대로 발산하지 않는다.

비슷한 방법으로 \(x\rightarrow 3\)일 때 \(f(x)\)가 음의 무한대로 발산하지 않음을 보일 수 있다.

풀이. \[p_n = 2n\pi + \frac{1}{2} \pi\] 라고 하면 \(\left\{ p_n \right\}\)은 양의 무한대로 발산하는 수열이다. 그런데 \[f( p_n ) = \left( 2n\pi + \frac{1}{2} \pi \right) + \left( 2n\pi + \frac{1}{2} \pi \right)\] 이므로, \(\left\{ f(p_n )\right\}\)은 양의 무한대로 발산한다. 그러므로 \(x\rightarrow\infty\)일 때 \(f(x)\)는 수렴하지 않는다.

다음으로 \[q_n = 2n\pi + \frac{3}{2} \pi\] 라고 하면 \(\left\{ q_n \right\}\)은 양의 무한대로 발산하는 수열이다. 그런데 \[f( q_n ) = \left( 2n\pi + \frac{3}{2} \pi \right) - \left( 2n\pi + \frac{3}{2} \pi \right) = 0\] 이므로, \(\left\{ f(q_n )\right\}\)은 \(0\)에 수렴한다. 그러므로 \(x\rightarrow\infty\)일 때 \(f(x)\)는 양의 무한대로 발산하지 않고, 음의 무한대로 발산하지도 않는다.