라그랑주의 보간 다항식

다음과 같은 문제를 생각해 보자.

만약 이차함수의 식을 \(y = ax^2 + bx + c \)라고 둔다면, 위 문제는 다음 연립일차방정식에서 미지수 \(a,\) \(b,\) \(c\)를 찾는 문제가 된다. \[ \begin{cases} a \left( a_1 \right)^2 + b \left( a_1 \right) + c = b_1 \\[6pt] a \left( a_2 \right)^2 + b \left( a_2 \right) + c = b_2 \\[6pt] a \left( a_3 \right)^2 + b \left( a_3 \right) + c = b_3 \end{cases}\] 다른 방법으로 문제의 풀이법에 접근해 보자. \[\begin{aligned} \ell_1 (x) &= \frac{x-a_2}{a_1 - a_2} \frac{x-a_3}{a_1 - a_3} , \\[6pt] \ell_2 (x) &= \frac{x-a_1}{a_2 - a_1} \frac{x-a_3}{a_2 - a_3} , \\[6pt] \ell_3 (x) &= \frac{x-a_1}{a_3 - a_1} \frac{x-a_2}{a_3 - a_2} \\[6pt] \end{aligned}\] 이라고 하자. 이와 같이 정의된 함수에 \(x=a_1 ,\) \(x=a_2 ,\) \(x=a_3\)을 대입하면 다음을 얻는다. \[\begin{array}{ccc} \ell_1 (a_1 ) = 1 , & \ell_1 (a_2 ) = 0 , & \ell_1 (a_3 ) = 0, \\[6pt] \ell_2 (a_1 ) = 0 , & \ell_2 (a_2 ) = 1 , & \ell_2 (a_3 ) = 0, \\[6pt] \ell_3 (a_1 ) = 0 , & \ell_3 (a_2 ) = 0 , & \ell_3 (a_3 ) = 1 \\[6pt] \end{array}\] 이제 \[ L(x) = b_1 \,\ell_1 (x) + b_2 \,\ell_2 (x) + b_3 \,\ell_3 (x) \] 라고 정의하면, \(L(x)\)는 문제의 조건을 만족시키는 이차함수가 된다.

그렇다면 문제의 조건을 만족시키는 이차함수는 \(L(x)\)가 유일할까? \(L ' (x)\)가 문제의 조건을 만족시키는 이차함수라고 하자. 그리고 \[p(x) = L(x) - L ' (x)\] 라고 하자. 그러면 방정식 \(p(x) =0\)은 서로 다른 세 개의 근 \(x = a_1 ,\) \(x = a_2 ,\) \(x = a_3 \)을 가진다. 만약 \(p(x)\)가 상수함수가 아니라면, \(p(x)\)는 서로 다른 세 개의 인수 \((x-a_1 ),\) \((x-a_2 ),\) \((x-a_3 )\)을 가진 다항식이므로 3차 이상의 다항식이 된다. 이것은 \(L(x)\)와 \(L ' (x)\)가 모두 2차 이하인 다항식이라는 사실에 모순이다. 그러므로 \(p(x)\)는 상수이며, 모든 \(x\)에 대하여 \(p(x)=0\)이다. 즉 \(L(x)\)와 \(L'(x)\)는 동일한 이차식이다.

지금까지 살펴본 내용을 일반화해 보자.

라그랑주의 다항식

다음과 같이 서로 다른 \(n+1\)개의 실수를 생각하자. \[ a_0 , \,\, a_1 ,\,\, a_2 , \,\, \cdots \,\, a_n .\] 그리고 실수 \(n+1\)개를 생각하자. \[ b_0 , \,\, b_1 ,\,\, b_2 , \,\, \cdots \,\, b_n .\] 이제 우리는 그래프가 \(n+1\)개의 점 \[(a_0 ,\,\, b_0 ) ,\,\, (a_1 ,\,\, b_1 ) ,\,\, \cdots ,\,\, (a_n ,\,\, b_n ) \tag{1}\] 을 모두 지나고 차수가 \(n\) 이하인 다항함수를 찾고자 한다.

각 \(i=0 ,\,\, 1,\,\, 2,\,\, \cdots ,\,\, n\)에 대하여 함수 \(f_i\)를 다음과 같이 정의한다. \[f_i (x) = \prod_{\begin{gather}i \ne j \\ 0 \le j \le n\end{gather}} \frac{x-a_j }{a_i -a_j } .\tag{2}\] 만약 \(i \ne j\)이면 \(f_i (x)\)를 정의한 다항식이 인수 \((x-a_j )\)를 가지므로 \[f_i (a_j ) = 0\] 이다. 만약 \(i = j\)이면 \(f_i ( a_i )\)는 분모와 분자가 같은 분수의 곱이므로 \[f_i (a_j ) = f_i (a_i ) = 1\] 이다. 이제 \[g(x) = b_0 \,f_0 (x) + b_1 \, f_1 (x) + \cdots + b_n \, f_n (x) \tag{3}\] 라고 하자. 각 \(f_i\)는 차수가 \(n\) 이하인 다항함수이므로 \(g\) 또한 차수가 \(n\) 이하인 다항함수이다. 그리고 각 \(j\)에 대하여 \[\begin{aligned} g(a_j ) &= b_0 \, f_0 (a_j ) + \cdots + b_j \, f_j ( a_j ) + \cdots + b_n \, f_n (a_j ) \\[6pt] &= b_0 \times 0 + \cdots + b_j \times 1 + \cdots + b_n \times 0 = b_j \end{aligned}\] 이므로 함수 \(g\)의 그래프는 점 \((a_j ,\,\, b_j )\)를 지난다.

이제 \(g '\)이 차수가 \(n\) 이하이고, 그래프가 점 \[(a_0 ,\,\, b_0 ) ,\,\, (a_1 ,\,\, b_1 ) ,\,\, \cdots ,\,\, (a_n ,\,\, b_n )\] 을 모두 지나는 다항함수라고 하자. 그리고 \(p(x) = g(x) - g ' (x)\)라고 하자. 그러면 방정식 \[p(x) =0\] 은 \(n+1\)개의 서로 다른 근 \(x=a_0 ,\) \(x=a_1 ,\) \(\cdots ,\) \(x=a_n \)을 가지는 방정식이다. 그러므로, 만약 \(p\)가 상수함수가 아니라면, \(p\)는 차수가 \(n+1\) 이상인 다항함수가 된다. 그런데 \(g\)와 \(g ' \)이 모두 차수가 \(n\) 이하인 다항함수이므로, \(p\)는 상수함수일 수밖에 없다. 즉 모든 \(x\)에 대하여 \(p(x)=0\)이므로, \(g(x) = g' (x)\)이다. 즉 그래프가 (1)에서 제시된 \(n+1\)개의 점을 모두 지나고 차수가 \(n\) 이하인 다항식은 (2), (3)과 같이 정의된 함수 \(g\)가 유일하다.

다항함수 공간

상수와 계수가 모두 실수이고 차수가 \(n\) 이하인 다항식으로 이루어진 벡터공간을 \(P_n ( \mathbb{R})\)로 나타낸다. 물론, 이 공간에서 벡터 합과 스칼라 곱은, 다항식 \[ \begin{aligned} p_1 (x) &= a_0 + a_1 \, x^1 + a_2 \,x^2 + \cdots + a_n \, x^n , \\[6pt] p_2 (x) &= b_0 + b_1 \, x^1 + b_2 \,x^2 + \cdots + b_n \, x^n \end{aligned}\] 과 실수 \(c\)에 대하여, \[\begin{aligned} (p_1 + p_2 )(x) &= (a_0 + b_0 ) + (a_1 + b_1 )x^1 + (a_2 +b_2 ) x^2 + \cdots + (a_n + b_n ) x^n ,\\[6pt] (cp_1 ) (x) &= (ca_0 ) + (ca_1 ) x^1 + (ca_2 ) x^2 + \cdots + (ca_n )x^n \end{aligned}\] 으로 정의되어 있다. 이제 (2)와 같이 정의된 다항함수의 모임 \[B = \left\{ f_0 ,\,\, f_1 ,\,\, f_2 ,\,\, \cdots ,\,\, f_n \right\}\] 이 \(P_n ( \mathbb{R})\)의 기저임을 보이자.

우선 \(B\)가 일차독립임을 보이자. \(\alpha _0 ,\) \(\alpha _1 ,\) \(\cdots ,\) \(\alpha _n \)이 실수이고 \[\alpha_0 \, f_0 + \alpha_1 \, f_1 + \cdots + \alpha_n \, f_n = 0 \tag{4} \] 이라고 하자. 이 등식의 좌변은 다항함수의 일차결합이고, 우변은 함숫값이 \(0\)인 상수함수이다. 즉 임의의 \(x\)에 대하여 다음이 성립한다. \[\alpha_0 \, f_0 (x) + \alpha_1 \, f_1 (x) + \cdots + \alpha_n \, f_n (x) = 0 .\] 이 식에 \(x=a_j \)를 대입하면 \[\alpha_0 \, f_0 (a_j ) + \alpha_1 \, f_1 (a_j) + \cdots + \alpha_j \, f_j (a_j ) + \cdots + \alpha_n \, f_n (a_j) = 0 \] 이다. 그런데 \(i\ne j\)일 때 \(f_i (a_j ) =0\)이고, \(i=j\)일 때 \(f_i (a_i ) = 1\)이므로, 위 식으로부터 \[a_j = 0\] 을 얻는다. 여기서 \(j\)는 \(j=0,\,\,1,\,\,2,\,\, \cdots ,\,\, n\)인 정수이므로, (4)의 좌변에 있는 스칼라는 모두 \(0\)이다. 즉 \(B\)는 일차독립이다.

다음으로 \(B\)가 \(P_n ( \mathbb{R})\)을 생성함을 보이자. \(g\)가 \(P_n ( \mathbb{R})\)의 원소라고 하자. 즉 \(g\)가 차수가 \(n\) 이하인 다항함수라고 하자. 그리고 각 \(i\)에 대하여 \[b_i = g(a_i ) ,\,\,\, i=0,\,\,1,\,\,2,\,\,\cdots ,\,\, n \tag{5}\] 이라고 하고 \[\phi (x) = b_0 \, f_0 (x) + b_1 \, f_1 (x) + \cdots + b_n \, f_n (x) \] 라고 하자. 그러면 임의의 \(j=0,\,\,1,\,\,2,\,\,\cdots ,\,\, n\)에 대하여 다음이 성립한다. \[ g( a_j ) = b_j = b_0 \, f_0 (a_j ) + b_1 \, f_1 (a_j ) + \cdots + b_j \, f_j ( a_j ) + \cdots + b_n \, f_n ( a_j ) = \phi (a_j ) .\tag{6}\] \(g\)와 \(\phi\)가 차수가 \(n\) 이하인 다항함수이고, (5)와 (6)의하여 \(g\)와 \(\phi\)는 \(n+1\)개의 점 \[(a_0 ,\,\, b_0 ) ,\,\, (a_1 ,\,\, b_1 ) ,\,\, \cdots ,\,\, (a_n ,\,\, b_n ) \] 을 모두 지나는 그래프를 가진다. 이와 같은 성질을 가지는 함수는 유일하므로, \(g = \phi, \) 즉, 모든 \(x\)에 대하여 \[g(x) = b_0 \, f_0 (x) + b_1 \, f_1 (x) + \cdots + b_n \, f_n (x)\] 이다. 그러므로 \(g\)는 \(B\)의 원소의 일차결합으로 표현된다. 즉 \(B\)는 \(P_n ( \mathbb{R})\)을 생성한다.

정리 3에서 살펴본 기저 \(B\)를 라그랑주 기저(Lagrange basis)라고 부른다. 또한 그래프가 (1)과 같은 \(n+1\)개의 점을 지나는 \(n\)차 이하의 다항식을 (2), (3)과 같은 방식으로 정의한 다항식 \(g(x)\)를 라그랑주 다항식(Lagrange polynomial) 또는 라그랑주 보간 다항식(Lagrange interpolating polynomial)이라고 부른다.