이상적분의 정의와 수렴 판정법

989

이 글에서는 변수가 하나인 실숫값 함수의 이상적분을 정의하고, 이상적분의 수렴 판정법을 살펴본다. 또한 이상적분을 활용하는 예로서 감마 함수를 살펴본다.

들어가기

리만 적분은 길이가 유한인 닫힌 구간에서 유계인 함수에 대하여 정의된다. 그러나 적분 구간의 길이가 유한이 아니거나 유계가 아닌 함수를 적분해야 할 때가 있는데, 이때 사용되는 것이 이상적분이다.

이상적분을 정의하기 위하여 우선 ‘국소적으로 적분 가능하다’(locally integrable)라는 개념을 정의해야 한다. 함수 \(f\)가 집합 \(I\)에서 정의된 실숫값 함수라고 하자. 여기서 \(I\)는 닫힌 구간일 수도 있고 열린 구간일 수도 있으며, 길이가 유한일 수도 있고 무한일 수도 있다. 또한 \(I\)는 여러 개의 구간의 합집합일 수도 있다. 만약 \([a,\,\,b]\)가 \(I\)의 부분구간이고 길이가 유한일 때마다 \(f\)가 \([a,\,\,b]\)에서 적분 가능하면, “\(f\)가 \(I\)에서 국소적으로 적분 가능하다”라고 표현한다.

이제 두 가지 형태의 이상적분을 정의하고, 이들의 수렴을 판정하는 방법을 살펴보자.

길이가 무한인 구간에서 정의되는 이상적분

\(a\)가 실수이고 함수 \(f\)가 구간 \([a,\,\,\infty )\)에서 정의되었다고 하자. 또한 \(f\)가 \([a,\,\,\infty )\)에서 국소적으로 적분 가능하다고 하자. 만약 극한 \[\lim_{b\rightarrow\infty} \int_{a}^{b} f(x) dx\tag{1}\] 가 수렴하면, “구간 \([a,\,\,\infty )\)에서 \(f\)의 이상적분이 수렴한다”라고 말하고, 그 극한을 다음과 같이 나타낸다. \[\int_{a}^{\infty} f(x) dx \tag{2}\] 이 극한의 값을 \([a,\,\,\infty )\)에서 \(f\)의 이상적분이라고 부른다.

한편 (1)의 극한이 발산하면 “구간 \([a,\,\,\infty )\)에서 \(f\)의 이상적분이 발산한다”라고 말한다. (1)의 극한이 양의 무한대로 발산하는 경우 \[\int_{a}^{\infty} f(x) dx = \infty\] 와 같이 나타내며, (1)의 극한이 음의 무한대로 발산하는 경우 \[\int_{a}^{\infty} f(x) dx = - \infty\] 와 같이 나타낸다. (1)의 극한이 진동하는 경우에는 그것을 기호로 나타내지 않는다.

편의상 “\([a,\,\,\infty)\)에서 \(f\)의 이상적분이 수렴한다”라는 표현을 “이상적분 \(\int_a^\infty f(x)dx\)가 수렴한다”라고 표현하기도 하며, “\([a,\,\,\infty)\)에서 \(f\)의 이상적분이 발산한다”라는 표현을 “이상적분 \(\int_a^\infty f(x)dx\)가 발산한다”라고 표현하기도 한다. 즉 (2)와 같은 표현은 이상적분 그 자체를 나타내기도 하고 수렴하는 이상적분의 값을 나타내기도 한다.

적분 구간이 아래로 유계가 아닌 경우의 이상적분도 앞에서와 같은 방식으로 정의한다.

함수 \(g\)가 구간 \((-\infty ,\,\, b ]\)에서 정의된 함수이고 이 구간에서 국소적으로 적분 가능할 때, 극한 \[\lim_{a\rightarrow -\infty} \int_a^b g(x) dx\tag{5}\] 로 정의되는 이상적분을 \[\int_{-\infty}^b g(x) dx\tag{6}\] 와 같이 나타낸다.

적분 구간이 위로 유계가 아니고 아래로도 유계가 아닌 경우의 이상적분은 두 이상적분의 합으로 정의한다. 즉 함수 \(h\)가 \((-\infty ,\,\, \infty )\)에서 정의된 함수이고 이 구간에서 국소적으로 적분 가능할 때, 이상적분 \[\int_{-\infty} ^{\infty} h(x) dx\tag{7}\] 를, 적당한 점 \(c\)를 기준으로 구간을 자른 두 적분의 합 \[\int_{-\infty} ^{c} h(x) dx + \int_{c} ^{\infty} h(x) dx\tag{8}\] 로 정의한다. 여기서 (8)의 두 이상적분이 모두 수렴할 때만 (7)의 이상적분이 수렴하는 것으로 정의하고, 그 이외에는 (7)의 이상적분이 발산하는 것으로 정의한다.

한 점 \(c\)에 대하여 (8)의 두 이상적분이 수렴한다면, \(c\)의 값을 다른 것으로 바꾸어도 (8)의 두 이상적분은 모두 수렴하며, \(c\)의 값과 상관 없이 (8)의 값은 일정하다. 그러므로 (8)의 두 이상적분이 수렴하는 경우 이상적분 (7)의 값은 \(c\)의 값과 상관 없이 잘 정의된다.

(7)의 이상적분이 양의 무한대로 발산하거나 음의 무한대로 발산하는 경우를 정의하는 것은 상당히 까다롭다. 왜냐하면 (7)은 두 극한의 합으로 정의되기 때문이다. 이 글에서는 정의하지 않겠다. [만약 이 글을 보고 (7)의 이상적분이 양의 무한대로 발산하는 경우와 음의 무한대로 발산하는 경우를 명확하게 정의하고 싶다는 생각이 들었다면 수학 전공을 추천한다.]

위 보기 4에서 주의할 점이 있다. 함수 \[h(x)=\frac{2x}{1+x^2}\] 가 기함수(그래프가 원점에 대하여 대칭인 함수)이므로 구간 \((-\infty ,\,\, \infty )\)에서 함수 \(h\)를 적분하면 그 값이 \(0\)이 될 것 같은 ‘느낌’이 든다. 즉 \[\begin{aligned} \lim_{b\rightarrow\infty} \int_{-b}^{b} \frac{2x}{1+x^2} dx &= \lim_{b\rightarrow\infty} \bigg[ \ln (1+x^2 ) \bigg]_{-b}^{b} \\[6pt] &= \lim_{b\rightarrow\infty} (\ln (1+b^2 ) - \ln (1+b^2 )) \\[6pt] &= \lim_{b\rightarrow\infty} 0 = 0 \end{aligned}\] 이므로 \[\int_{-\infty}^{\infty} \frac{2x}{1+x^2} dx = 0\] 일 것 같다. 하지만 이러한 계산은 옳지 않다. 왜냐하면 이중극한 \[\lim_{\begin{gathered}a\rightarrow -\infty \\ b\rightarrow\infty \end{gathered}} \int_a^b h(x) dx \] 에서 \(a\)가 작아지는 속도와 \(b\)가 커지는 속도가 항상 일치하는 것은 아니기 때문이다. 이러한 이유 때문에 (8)의 두 이상적분이 모두 수렴할 때만 (7)이 수렴하는 것으로 정의한다.

유계가 아닌 함수의 이상적분

\(a\)와 \(b\)가 실수이고 \(a < b\)이며 함수 \(f\)가 구간 \((a,\,\,b]\)에서 정의되어 있고 \(f\)가 \((a,\,\,b]\)에서 국소적으로 적분 가능하다고 하자. 또한 \(f\)가 \(a\)의 근처에서 유계가 아니라고 하자. 만약 극한 \[\lim_{c\rightarrow a+} \int_{c}^{b} f(x) dx\tag{11}\] 가 수렴하면, “구간 \((a,\,\,b]\)에서 \(f\)의 이상적분이 수렴한다”라고 말하고, 그 극한을 다음과 같이 나타낸다. \[\int_{a}^{b} f(x) dx \tag{12}\] 이 극한의 값을 \((a,\,\,b]\)에서 \(f\)의 이상적분이라고 부른다.

(12)와 같은 적분에서 점 \(a\)를 이상적분 (12)의 특이점(singularity)이라고 부른다.

한편 (11)의 극한이 발산하면 “구간 \((a,\,\,b]\)에서 \(f\)의 이상적분이 발산한다”라고 말한다. (11)의 극한의 양의 무한대로 발산하는 경우 \[\int_{a}^{b} f(x) dx = \infty\] 와 같이 나타내며, (11)의 극한의 음의 무한대로 발산하는 경우 \[\int_{a}^{b} f(x) dx = - \infty\] 와 같이 나타낸다.

편의상 “\((a,\,\,b]\)에서 \(f\)의 이상적분이 수렴한다”라는 표현을 “\([a,\,\,b]\)에서 \(f\)의 이상적분이 수렴한다”라고 표현하기도 하고 “이상적분 \(\int_{a}^{b} f(x) dx\)가 수렴한다”라고 표현하기도 한다. 발산하는 이상적분도 이와 같이 융통성있게 표현한다. 즉 (12)와 같은 표현은 이상적분 그 자체를 나타내기도 하고 수렴하는 이상적분의 값을 나타내기도 한다.

적분 구간의 오른쪽 끝점이 특이점인 경우에도 앞에서와 같은 방식으로 정의한다.

즉 함수 \(g\)가 구간 \([a,\,\,b)\)에서 정의되어 있고 이 구간에서 국소적으로 적분 가능하며 \(b\) 근처에서 유계가 아닐 때, 극한 \[\lim_{d\rightarrow b-} \int_a^d g(x) dx\tag{15}\] 로 정의되는 이상적분을 \[\int_a^b g(x) dx\tag{16}\] 와 깉이 나타낸다.

특이점이 적분 구간의 내부에 있는 경우의 이상적분은 두 이상적분의 합으로 정의한다. 즉 \(a < u < b\)이고 함수 \(h\)가 \([a ,\,\,u ) \cup (u ,\,\, b]\)에서 정의되어 있으며 이 집합에서 국소적으로 적분 가능할 때, 이상적분 \[\int_{a}^{b} h(x) dx \tag{17}\] 를 두 적분의 합 \[\int_{a}^{u} h(x) dx + \int_{u}^{b} h(x) dx \tag{18}\] 로 정의한다. 여기서 (18)의 두 이상적분이 모두 수렴할 때만 (17)의 이상적분이 수렴하는 것으로 정의하고, 그 외에는 (17)의 이상적분이 발산하는 것으로 정의한다.

이상적분의 수렴 판정법 (적분 구간의 길이가 무한인 경우)

이상적분의 정의를 사용하여 이상적분이 수렴하는지 판별하려면 닫힌 구간에서 정적분을 구한 뒤 극한을 취해야 한다. 하지만 이러한 방법으로 이상적분이 수렴하는지 여부를 판정하는 것이 항상 가능한 것은 아니다. 다음 적분을 살펴보자. \[\int_1^\infty e^{-x^2} dx \tag{22}\] 위 적분에서 피적분함수 \(f(x) = e^{-x^2}\)의 역도함수는 초등함수(유리함수, 무리함수, 지수함수, 로그함수, 삼각함수를 유한 번 결합하여 나타낼 수 있는 함수)가 아님이 알려져 있다. 그러므로 (22)와 같은 이상적분이 수렴하는지 판정하려면 정적분을 직접 계산하지 않는 다른 방법을 사용해야 한다.

이제 다음과 같이 정의된 함수 \(F\)를 생각하자. \[F(x) = \int_1 ^x e^{-t^2} dt \quad (x \ge 1 ) \tag{23}\] \(t \ge 1\)일 때 \(e^{-t^2} > 0\)이므로, \(F\)는 \([1 ,\,\,\infty )\)에서 증가하는 함수이다. 한편 \(t\ge 1\)일 때 \[e^{-t^2} \le e^{-t}\] 이다. 그런데 \[\lim_{x\rightarrow\infty} \int_1^x e^{-t} dt = \lim_{x\rightarrow\infty} \left( \frac{1}{e} - \frac{1}{e^x}\right) = \frac{1}{e}\] 이므로, \(x \ge 1\)인 임의의 \(x\)에 대하여 \[F(x) = \int_1^x e^{-t^2} dt \le \int_1^x e^{-t} dt \le \frac{1}{e}\] 이다. 즉 \(F\)는 \([1,\,\,\infty )\)에서 유계이다. 이로써 함수 \(F\)가 구간 \([1,\,\,\infty )\)에서 증가하면서 유계임을 밝혔다. 그렇다면 \(x\rightarrow\infty\)일 때 \(F(x)\)가 수렴할까? 그에 대한 답은 다음과 같다.

(23)에서 정의한 함수 \(F\)가 \([1,\,\,\infty )\)에서 증가하고 위로 유계이므로, 보조정리 1에 의하여 \(x\rightarrow\infty\)일 때 \(F(x)\)는 수렴한다. 즉 \[\lim_{x\rightarrow\infty} \int_1^x e^{-t^2} dt\] 가 수렴한다. 그러므로 이상적분 \[\int_1^\infty e^{-x^2} dx\tag{22}\] 가 수렴한다.

이상적분 (22)가 수렴함을 증명한 과정을 일반화하면 다음 두 정리를 얻는다.

이번에는 다음과 같은 이상적분을 살펴보자. \[\int_{1}^{\infty} \frac{x+1}{x^3 + \sin x^2} dx \tag{28}\] 피적분함수 \[f(x) = \frac{x+1}{x^3 + \sin x^2}\tag{29}\] 가 구간 \([1,\,\,\infty )\)에서 연속이므로, \(f\)는 \([1,\,\,\infty )\)에서 국소적으로 적분 가능하다. 그러나 \(f\)의 역도함수를 구하는 일은 쉽지 않아 보인다. \(f\)의 역도함수를 구하는 대신 비교 판정법(정리 3)을 사용하기 위해 \(f(x) \le g(x)\)이면서 \(\int_1^\infty g(x) dx\)가 수렴하는 함수 \(g\)를 찾거나, \(0\le h(x) \le f(x)\)이면서 \(\int_1^\infty h(x) dx\)가 발산하는 함수 \(h\)를 찾는 것을 시도해볼 수 있다.

여기서는 다른 방법을 사용하겠다. (29)의 우변을 보면, \(x\rightarrow\infty\)일 때 분자는 \(x\)와 비슷한 정도로 커지고 분모는 \(x^3\)과 비슷한 정도로 커진다. 여기에서 힌트를 얻어 \[g(x) = \frac{x}{x^3} = \frac{1}{x^2}\] 이라고 하자. 그러면 \(x\rightarrow\infty\)일 때 \[\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{ (x+1) x^2 }{ x^3 + \sin x^2 } \,\rightarrow \, 1\] 이다. 그러므로 \(x\)가 충분히 큰 값이라면 \[1 - \frac{1}{2} < \frac{f(x)}{g(x)} < 1 + \frac{1}{2}\] 이라고 할 수 있다. 더 정확하게 말하면, \(\epsilon = \frac{1}{2}\)로 두었을 때, 실수 \(X\)가 존재하여 \[x > X \quad\Longrightarrow\quad \left\lvert \frac{f(x)}{g(x)} \right\rvert < \epsilon\] 즉 \[x > X \quad\Longrightarrow\quad 1- \frac{1}{2} < \frac{f(x)}{g(x)} < 1+ \frac{1}{2}\] 을 만족시킨다. (여기서 \(X\)는 구간 \([1,\,\,\infty)\)의 점이다.) \(x > X\)일 때 \[ f(x) < \frac{3}{2} g(x)\] 이고, 이상적분 \[\int_{X}^\infty \frac{3}{2} g(x) dx = \int_{X}^\infty \frac{3}{2x^2} dx\] 가 수렴하므로, 정리 3에 의하여 이상적분 \[\int_X^\infty f(x) dx = \int_{X}^{\infty} \frac{x+1}{x^3 + \sin x^2} dx \tag{29}\] 도 수렴한다. 함수 \(f\)가 구간 \([1,\,\,X]\)에서 연속이므로, 위 이상적분의 아래끝을 \(X\) 대신 \(1\)로 바꾸어도 수렴한다는 사실은 변하지 않는다. 즉 \[\int_1^\infty f(x)dx = \int_1 ^X f(x) dx + \int_X^\infty f(x) dx\] 이며, 이 이상적분은 수렴한다.

지금까지 살펴본 내용을 일반화하면 다음 정리를 얻는다.

극한비교 판정법을 사용하여 이상적분의 수렴, 발산을 판정하는 예를 살펴보자.

정리 4의 증명 과정을 변형하면 다음과 같은 따름정리를 얻을 수 있다.

이상적분의 수렴 판정법 (함수가 유계가 아닌 경우)

보조정리 1과 정리 2~4는 다음과 같이 유계가 아닌 함수의 이상적분에 사용할 수 있는 형태로 바꿀 수 있다.

다음 세 정리는 증명하지 않고 소개한다. (그렇다고 해서 증명을 하지 않고 사용해도 된다는 뜻은 아니므로, 직접 증명해 보기 바란다.) 다음 세 정리에서 \(a < b\)인 것으로 약속한다.

이상적분을 활용하는 예: 감마 함수

이상적분을 활용하는 예로서 감마 함수를 살펴보자. 감마 함수는 양수 \(x\)에 대하여 다음과 같이 정의된 함수 \(\Gamma\)이다. \[\Gamma (x) = \int_0^\infty t^{x-1} e^{-t} dt .\tag{44}\] 감마 함수는 차례곱 \(n!\)을 실수 범위로 확장한 함수이다. (단, 모든 실수에 대하여 정의되는 것은 아니다.) 우리의 목표는 임의의 양수 \(x\)에 대하여 감마 함수가 수렴한다는 사실을 밝히고, 임의의 자연수 \(n\)에 대하여 \(\Gamma (n) = (n-1)!\)임을 밝히는 것이다.

별다른 언급이 없으면 감마 함수의 설명이 끝날 때까지 \(x\)는 양수를 나타내는 것으로 약속한다.

우선 다음과 같은 극한을 살펴보자. \[\lim_{t\rightarrow\infty} \frac{t^{x-1}}{e^{t/2}}\tag{45}\] \(t\rightarrow\infty\)일 때, 밑이 \(1\)보다 큰 지수함수는 어떠한 다항함수보다도 빠르게 증가하므로, 위 극한 (45)는 \(0\)에 수렴한다. 그러므로 다음을 만족시키면서 \(1\)보다 큰 실수 \(N\)이 존재한다. \[t \ge N \quad\Longrightarrow\quad \frac{t^{x-1}}{e^{t/2}} \le 1.\] 위 식의 오른쪽 부등식의 양변에 \(e^{-t/2}\)을 곱하면 다음 식을 얻는다. \[t \ge N \quad\Longrightarrow\quad t^{x-1} e^{-t} \le e^{-t/2}. \tag{46}\] 이제 \(N\)을 고정시키고, \(\Gamma\)를 세 개의 적분으로 쪼개자. \[\begin{aligned} \Gamma_1 (x) &= \int_0^1 t^{x-1} e^{-t} dt , \\[6pt] \Gamma_2 (x) &= \int_1^N t^{x-1} e^{-t} dt , \\[6pt] \Gamma_3 (x) &= \int_N^\infty t^{x-1} e^{-t} dt . \end{aligned}\] \(0\le t \le 1\)일 때 \[0\le t^{x-1} e^{-t} \le t^{x-1}\] 이고, \[\int_0^1 t^{x-1} dt = \lim_{a\rightarrow 0+} \left[ \frac{t^x}{x} \right]_{t=a}^{t=1} = \frac{1}{x}\] 이므로 비교 판정법에 의하여 \(\Gamma_1 (x)\)가 수렴한다.

다음으로 \(\Gamma_2 (x)\)는 이상적분이 아닌 정적분이다.

끝으로 \(\Gamma_3 (x)\)가 수렴함을 보이자. \(t\ge N\)일 때 (46)에 의하여 \[0 \le t^{x-1} e^{-t} \le e^{-t/2}\] 이고, \[\int_N^\infty e^{-t/2} dt = \lim_{b\rightarrow\infty} \bigg[ -2e^{-t/2} \bigg]_N^b = 2e^{-N/2}\] 이므로 비교 판정법에 의하여 \(\Gamma_3 (x)\)가 수렴한다.

이로써 다음 사실을 증명하였다.

이제 감마 함수가 차례곱 함수의 성질을 가지고 있음을 보이자. 부분적분법을 사용하여 적분을 계산하면 \[\begin{aligned} \Gamma (x+1) &= \int_0^\infty t^x e^{-t} dt \\[6pt] &= \lim_{b\rightarrow\infty} \left( \bigg[ -t^x e^{-t} \bigg]_{t=0}^{t=b} + \int_0^b xt^{x-1} e^{-t} dt \right) \\[6pt] &= 0+ x\int_0^\infty t^{x-1} e^{-x} dt \\[6pt] &= x\Gamma(x) \end{aligned}\] 이므로 \[\Gamma(x+1) = x\Gamma (x)\tag{47}\] 이다. 또한 \[\Gamma (1) = \int_0^\infty t^{1-1} e^{-t} dt = \int_0^\infty e^{-t} dt = 1\tag{48}\] 이다. 이제 \[\begin{aligned} \Gamma (2) &= 1\times \Gamma (1) = 1\times 1 = 1 = 1! ,\\[6pt] \Gamma (3) &= 2\times \Gamma (2) = 2\times 1! = 2! ,\\[6pt] \Gamma (4) &= 3\times \Gamma (3) = 3\times 2! = 3! ,\\[6pt] \,&\vdots \end{aligned}\] 이며, (47)과 (48)을 결합하고 수학적 귀납법을 사용하면 다음과 같은 결과를 얻는다.

맺음말

이 글에서는 이상적분을 정의하고 이상적분의 판정법을 살펴보았으며, 이상적분을 활용하는 예로서 감마 함수를 살펴보았다.

이 글에서 살펴본 판정법은 적분 구간이 위로 유계가 아닌 경우와 적분 구간의 오른쪽 끝점이 특이점인 경우, 그리고 함숫값이 양수인 경우만 살펴보았다. 하지만 적분 구간이 아래로 유계가 아닌 경우, 적분 구간의 왼쪽 끝점이나 구간의 안쪽에 있는 점이 특이점인 경우, 함숫값이 음수인 경우에도 이 글에서 살펴본 판정법과 비슷한 형태의 판정법을 사용할 수 있다.

한편, 변수가 하나인 실숫값 함수의 적분뿐만 아니라 중적분, 선적분, 면적분도 이상적분도 정의할 수 있다. 수학에 관심 있는 사람이라면 이와 같은 내용을 찾아보기 바란다.