미적분학을 공부하다 보면 수렴하는 극한을 증명하는 예를 자주 볼 수 있다. 반면에 발산하는 극한을 증명하는 예는 상대적으로 자주 볼 수 없다. 이 포스트에서는 발산하는 극한을 증명하는 예를 살펴보자. 이 포스트에서 말하는 ‘함수’는 모두 공역이 실수 집합인 함수를 나타낸다. 무한대로 발산하는 극한 함수 \(f\)가 점 \(c\)의 근처에서 정의되었다고 하자. (엄밀히 말하면, 점 \(c\)가 \(f\)의 정의역의 집적점이라고 하자.) 만약 임의의 양수 \(M\)에 대하여, 양수 \(\delta\)가 존재하여, \( 0 < \lvert x-c \rvert < \delta\)인 정의역의 모든 \(x\)에 대하여 \(f(x) > M\)이 성립하면, …
\[ \newcommand{\vecu}{\mathrm{\bf{u}}} \newcommand{\vecv}{\mathrm{\bf{v}}} \newcommand{\vecw}{\mathrm{\bf{w}}} \newcommand{\vecx}{\mathrm{\bf{x}}} \newcommand{\vecy}{\mathrm{\bf{y}}} \newcommand{\vecz}{\mathrm{\bf{z}}} \newcommand{\veczero}{\mathrm{\bf{0}}} \] 동형의 의미 다음과 같은 집합 \(\mathbb{Z}_3\)을 생각해 보자. \[\mathbb{Z}_3 = \left\{ 0 ,\,\, 1,\,\,2 \right\}\] 이 집합 위에서 덧셈과 곱셈을 새롭게 정의해 보자. 즉 \(m\)과 \(n\)이 \(\mathbb{Z}_3\)의 원소일 때, 새로운 합 \(m+n\)을 \(m\)과 \(n\)의 합을 \(3\)으로 나눈 나머지로, 새로운 곱 \(mn\)을 \(m\)과 \(n\)의 곱을 \(3\)으로 나눈 나머지로 정의하자. 이와 같은 합과 곱을 표로 나타내면 다음 그림과 같다. 이와 같이 새롭게 정의된 합과 곱을 가진 집합 \(\mathbb{Z}_3\)은 체(field)의 조건을 모두 만족시킨다. 즉 …
다음과 같은 문제를 생각해 보자. 세 점을 지나는 그래프를 갖는 이차함수 \(a_1 ,\) \(a_2 ,\) \(a_3\)이 서로 다른 실수이고, \(b_1 ,\) \(b_2 ,\) \(b_3\)이 실수일 때, 그래프가 세 점 \((a_1 ,\, b_1 ),\) \((a_2 ,\, b_2 ),\) \((a_3 ,\, b_3 )\)을 모두 지나는 이차함수의 식을 어떻게 구할 것인가? 만약 이차함수의 식을 \(y = ax^2 + bx + c \)라고 둔다면, 위 문제는 다음 연립일차방정식에서 미지수 \(a,\) \(b,\) \(c\)를 찾는 문제가 된다. \[ \begin{cases} a \left( a_1 \right)^2 + b \left( …
\[ \newcommand{\vecu}{\mathrm{\bf{u}}} \newcommand{\vecv}{\mathrm{\bf{v}}} \newcommand{\vecw}{\mathrm{\bf{w}}} \newcommand{\vecx}{\mathrm{\bf{x}}} \newcommand{\vecy}{\mathrm{\bf{y}}} \newcommand{\vecz}{\mathrm{\bf{z}}} \] \(V\)와 \(W\)가 집합이고 \(f\)와 \(g\)가 \(V\)로부터 \(W\)로의 함수라고 하자. 정의역 \(V\)에 속하는 몇 개의 점 \(x\)에 대하여 \(f(x) = g(x)\)가 성립한다고 하더라도, \(V\) 전체에서 \(f(x) = g(x)\)가 성립한다는 보장은 없다. 그러나 함수가 벡터공간 사이에서 정의되어 있는 선형변환인 경우에는, 정의역의 기저 원소에 대해서 두 함수의 함숫값이 일치하면 두 함수는 완전히 같은 함수가 된다. 즉 다음 정리가 성립한다. 보조정리 1. \(V\)와 \(W\)가 벡터공간이고 \(B = \left\{ \vecv _j \,\vert\, j \in J \right\}\)가 \(V\)의 …
이란의 전통 월별 상환금 계산 방법 글쓴이: 페이만 밀란파(Peyman Milanfar) 옮긴이: 이슬비(designeralice＠daum.net) 최근에 나는 대출 금액의 월별 상환금을 추정하는 매우 빠르고 효과적인 방법을 배웠다. 이 방법은 아버지께서 가르쳐 주셨는데, 아버지께서는 19세기 이란에서 무역을 하셨던 할아버지로부터 배우셨다고 한다. 이 공식이 처음 만들어진 기원은 미스테리이지만, 이 방법은 이란을 포함한 많은 지역에서 사용되고 있다. 아버지께서 알려주신 공식은 다음과 같다. \[(\text{월별 상환금}) = \frac{1}{(\text{월수})} [(\text{원금}) + (\text{이자})].\] 여기서 이자는 다음과 같이 계산한다. \[(\text{이자}) = \frac{1}{2} (\text{원금}) \times (\text{연수}) \times (\text{연간이자율}).\] 월별 상환금의 참값을 \(C\)라고 …
무한급수 수렴판정을 하다 보면 삼각함수를 다루기 어려운 경우가 있다. 다음 무한급수를 살펴보자. \[\sum_{n=5}^{\infty} \left( \frac{1}{n} – \sin \frac{n+1}{n^2 – 5n + 4} \right ). \tag{1}\] \(n \rightarrow 0\)일 때 사인 함수 안에 있는 분수식이 \(0\)에 수렴하고, \(x=0\) 근처에서 \(\sin x\)는 \(x\)와 비슷하게 움직이므로, 위 무한급수에서 사인을 그냥 없애고 판정해도 될 것 같다. 즉 위 무한급수의 수렴 여부는 \[\sum_{n=5}^{\infty} \left( \frac{1}{n} – \frac{n+1}{n^2 -5n +4} \right)\] 의 수렴 여부와 같을 것 같다. 이렇게 두고 판정해 보면 결과가 ‘수렴’이 나오기는 한다. 그러나 …