유클리드 공간

by I Seul Bee

이 글은 『미적분학 첫걸음』 0장 8절의 내용입니다.  (미적분학 첫걸음 차례 보기)

벡터공간

\(d\)가 양의 정수라고 하자. 실수 집합 \(\mathbb{R}\)의 \(d\)중 데카르트 곱 \[ \mathbb{R}^d = \underbrace{\mathbb{R}\times\mathbb{R}\times\cdots\times\mathbb{R}}_{d\text{개}} \] 을 생각하자. 그리고 \[ \mathbf{x} = (x_1,\,x_2,\,\cdots,\,x_d), \qquad \mathbf{y} = (y_1,\,y_2,\,\cdots,\,y_d) \] 가 \(\mathbb{R}^d\)의 원소이고 \(k\)가 실수라고 하자. 이때 벡터합 \(\mathbf{x}+\mathbf{y}\)와 스칼라배 \(k\mathbf{x}\)를 다음과 같이 정의한다. \[ \begin{align} \mathbf{x}+\mathbf{y} &= (x_1+y_1,\,x_2+y_2,\,\cdots,\,x_d+y_d), \\[6pt] k\mathbf{x} &= (kx_1,\,kx_2,\,\cdots,\,kx_d). \end{align} \] 이러한 연산이 주어진 \(\mathbb{R}^d\)를 실수 위의 벡터공간으로 생각할 수 있다. \(\mathbb{R}^d\)의 원소를 벡터(vector)라고 부르고, 실수를 스칼라(scalar)라고 부른다.

\(\mathbf{v}\in\mathbb{R}^d\)라고 하자. 편의상 \((-1)\mathbf{v}\)를 간단히 \(-\mathbf{v}\)로 나타낸다. 또한 모든 성분이 \(0\)인 벡터 \[ \mathbf{0} = (0,\,0,\,\cdots,\,0) \] 을 영벡터(zero vector)라고 부른다. \(\mathbf{0}\)은 벡터의 덧셈에 대한 항등원이고, \(-\mathbf{v}\)는 덧셈에 대한 \(\mathbf{v}\)의 역원이다.

\(\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z}\in\mathbb{R}^d\)이고 \(a,b\in\mathbb{R}\)일 때 다음이 성립한다.

  • \(\mathbf{x}+(\mathbf{y}+\mathbf{z})=(\mathbf{x}+\mathbf{y})+\mathbf{z}\).
  • \(\mathbf{x}+\mathbf{y}=\mathbf{y}+\mathbf{x}\).
  • \(\mathbf{x}+\mathbf{0}=\mathbf{x}\).
  • \(\mathbf{x}+(-\mathbf{x})=\mathbf{0}\).
  • \(a(b\mathbf{x})=(ab)\mathbf{x}\).
  • \(1\mathbf{x}=\mathbf{x}\).
  • \(a(\mathbf{x}+\mathbf{y})=a\mathbf{x}+a\mathbf{y}\).
  • \((a+b)\mathbf{x}=a\mathbf{x}+b\mathbf{x}\).

각 등식은 벡터의 각 성분에 실수의 덧셈과 곱셈에 관한 법칙을 적용하면 직접 확인할 수 있다.

이를 일반화할 수 있다. \(K\)가 체(field)라고 하자. 여기서 체란 덧셈과 곱셈이 정의되어 있고, 덧셈과 곱셈의 항등원과 역원, 분배법칙 등 체의 공리를 만족시키는 집합이다. 집합 \(V\)에 두 연산 \[ + : V\times V\rightarrow V, \qquad \cdot : K\times V\rightarrow V \] 가 주어져 있고 위의 여덟 성질을 만족시키면 \(V\)를 \(\boldsymbol{K}\) 위의 벡터공간(vector space over \(K\))이라고 부른다. 이때 \(V\)의 원소를 벡터, \(K\)의 원소를 스칼라라고 부른다.

기저와 차원

\(V\)가 \(K\) 위의 벡터공간이고 \[ \mathbf{v}_1,\, \mathbf{v}_2,\, \ldots,\, \mathbf{v}_d \] 가 \(V\)의 벡터라고 하자. \(V\)의 모든 벡터 \(\mathbf{v}\)가 \[ \mathbf{v} = a_1\mathbf{v}_1 + a_2\mathbf{v}_2 + \cdots + a_d\mathbf{v}_d \] 의 꼴로 유일하게 표현되면 \[ \mathbf{v}_1,\, \mathbf{v}_2,\, \ldots,\, \mathbf{v}_d \] 를 \(V\)의 기저(basis)라고 부른다.

유한 개의 벡터로 이루어진 기저를 갖는 벡터공간을 유한차원 벡터공간(finite-dimensional vector space)이라고 부른다. 유한차원 벡터공간에서는 어떤 기저를 택하더라도 기저를 이루는 벡터의 개수가 같다. 이 사실은 선형대수학의 기본정리 가운데 하나이며, 여기서는 증명 없이 사용한다. 따라서 기저를 이루는 벡터의 개수를 \(V\)의 차원(dimension)이라고 부르고 \[ \dim V \] 와 같이 나타낸다.

영벡터만으로 이루어진 벡터공간 \(\{\mathbf{0}\}\)에는 공집합을 기저로 두고 그 차원을 \(0\)으로 정의한다.

\(\mathbb{R}^d\)에서 \(i\)번째 성분만 \(1\)이고 나머지 성분은 모두 \(0\)인 벡터를 \[ \mathbf{e}_i = (0,\,\ldots,\,0,\,1,\,0,\,\ldots,\,0) \] 라고 하자. 그러면 \[ \mathbf{e}_1,\, \mathbf{e}_2,\, \ldots,\, \mathbf{e}_d \] 를 \(\mathbb{R}^d\)의 표준기저(standard basis)라고 부른다. 실제로 \[ \mathbf{x} = (x_1,\,x_2,\,\ldots,\,x_d) \] 이면 \[ \mathbf{x} = x_1\mathbf{e}_1 + x_2\mathbf{e}_2 + \cdots + x_d\mathbf{e}_d \] 이고, 이러한 표현은 유일하다. 따라서 \[ \dim\mathbb{R}^d=d. \] 표준기저의 각 벡터를 표준단위벡터(standard unit vector)라고 부르기도 한다.

예를 들어 \[ \mathbb{R}^2: \qquad \mathbf{e}_1=(1,\,0), \qquad \mathbf{e}_2=(0,\,1), \] 이고 \[ \mathbb{R}^3: \qquad \mathbf{e}_1=(1,\,0,\,0), \qquad \mathbf{e}_2=(0,\,1,\,0), \qquad \mathbf{e}_3=(0,\,0,\,1) \] 이다.

무한 개의 벡터로 이루어진 기저도 정의할 수 있으며, 이에 따라 무한차원 벡터공간도 생각할 수 있다. 그러나 그와 관련된 논의는 이 책의 범위를 벗어나므로 여기서는 유한차원 벡터공간만 다룬다.

선형변환

\(V\)와 \(W\)가 같은 체 \(K\) 위의 벡터공간이고 \(T:V\rightarrow W\)가 함수라고 하자. \(V\)의 임의의 벡터 \(\mathbf{x},\mathbf{y}\)와 스칼라 \(k\)에 대하여 \[ \begin{align} T(\mathbf{x}+\mathbf{y}) &= T(\mathbf{x})+T(\mathbf{y}), \\[6pt] T(k\mathbf{x}) &= kT(\mathbf{x}) \end{align} \] 가 성립하면 \(T\)를 선형변환(linear transformation)이라고 부른다.

\(T:V\rightarrow W\)가 일대일 대응인 선형변환이면 \(T\)를 동형사상(isomorphism)이라고 부른다. \(V\)와 \(W\) 사이에 동형사상이 존재하면 \(V\)와 \(W\)가 동형(isomorphic)이라고 말한다.

정리. (동형인 유한차원 벡터공간의 차원)

유한차원 벡터공간 \(V\)와 \(W\)가 동형이면 \[ \dim V=\dim W \] 이다.

증명.

\(T:V\rightarrow W\)가 동형사상이고 \[ \mathbf{v}_1,\, \ldots,\, \mathbf{v}_d \] 가 \(V\)의 기저라고 하자. \(T\)가 위로의 함수이므로 임의의 \(\mathbf{w}\in W\)에 대하여 \(T(\mathbf{v})=\mathbf{w}\)인 \(\mathbf{v}\in V\)가 존재한다. 어떤 스칼라 \(a_1,\ldots,a_d\)에 대하여 \[ \mathbf{v} = a_1\mathbf{v}_1+\cdots+a_d\mathbf{v}_d \] 이므로 \(T\)의 선형성에 의하여 \[ \mathbf{w} = a_1T(\mathbf{v}_1) +\cdots+ a_dT(\mathbf{v}_d). \]

또한 \[ a_1T(\mathbf{v}_1)+\cdots+a_dT(\mathbf{v}_d) = b_1T(\mathbf{v}_1)+\cdots+b_dT(\mathbf{v}_d) \] 라고 하자. 선형성을 이용하면 \[ T\left( (a_1-b_1)\mathbf{v}_1 +\cdots+ (a_d-b_d)\mathbf{v}_d \right) = T(\mathbf{0}). \] \(T\)가 일대일 함수이므로 \[ (a_1-b_1)\mathbf{v}_1 +\cdots+ (a_d-b_d)\mathbf{v}_d = \mathbf{0}. \] 기저에 의한 표현의 유일성에 따라 \[ a_i=b_i \qquad (i=1,\ldots,d) \] 이다. 따라서 \[ T(\mathbf{v}_1),\ldots,T(\mathbf{v}_d) \] 는 \(W\)의 기저이고 \[ \dim W=d=\dim V \] 이다.

점곱과 유클리드 공간

\(\mathbf{x},\mathbf{y}\in\mathbb{R}^d\)이고 \[ \mathbf{x} = (x_1,\,x_2,\,\ldots,\,x_d), \qquad \mathbf{y} = (y_1,\,y_2,\,\ldots,\,y_d) \] 라고 하자. 이때 \(\mathbf{x}\)와 \(\mathbf{y}\)의 점곱(dot product) 또는 표준내적(standard inner product)을 다음과 같이 정의한다. \[ \mathbf{x}\cdot\mathbf{y} = x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_dy_d. \]

표준내적이 주어진 벡터공간 \(\mathbb{R}^d\)를 \(\boldsymbol{d}\)차원 유클리드 공간(Euclidean \(d\)-space) 또는 간단히 유클리드 공간이라고 부른다.

벡터 \(\mathbf{x}\)의 노름(norm) 또는 길이(length)를 \[ \lVert\mathbf{x}\rVert = \sqrt{\mathbf{x}\cdot\mathbf{x}} = \sqrt{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_d^2} \] 로 정의한다. 길이가 \(1\)인 벡터를 단위벡터(unit vector)라고 부른다.

노름은 임의의 \(\mathbf{x}\in\mathbb{R}^d\)와 \(a\in\mathbb{R}\)에 대하여 \[ \lVert\mathbf{x}\rVert\ge0, \qquad \lVert\mathbf{x}\rVert=0 \Longleftrightarrow \mathbf{x}=\mathbf{0}, \qquad \lVert a\mathbf{x}\rVert = |a|\,\lVert\mathbf{x}\rVert \] 을 만족시킨다.

정리. (Cauchy-Schwarz 부등식과 삼각부등식)

\(\mathbf{x},\mathbf{y}\in\mathbb{R}^d\)이면 다음이 성립한다. \[ |\mathbf{x}\cdot\mathbf{y}| \le \lVert\mathbf{x}\rVert \lVert\mathbf{y}\rVert \] 그리고 \[ \lVert\mathbf{x}+\mathbf{y}\rVert \le \lVert\mathbf{x}\rVert+\lVert\mathbf{y}\rVert. \]

증명.

먼저 \(\mathbf{y}=\mathbf{0}\)이면 첫 번째 부등식은 자명하다. 이제 \(\mathbf{y}\ne\mathbf{0}\)이라고 하자. 실수 \[ t = \frac{\mathbf{x}\cdot\mathbf{y}} {\mathbf{y}\cdot\mathbf{y}} \] 를 생각하면 \[ 0 \le \lVert\mathbf{x}-t\mathbf{y}\rVert^2. \] 오른쪽을 전개하면 \[ \begin{aligned} 0 &\le \lVert\mathbf{x}\rVert^2 - 2t(\mathbf{x}\cdot\mathbf{y}) + t^2\lVert\mathbf{y}\rVert^2 \\ &= \lVert\mathbf{x}\rVert^2 - \frac{(\mathbf{x}\cdot\mathbf{y})^2} {\lVert\mathbf{y}\rVert^2}. \end{aligned} \] 따라서 \[ (\mathbf{x}\cdot\mathbf{y})^2 \le \lVert\mathbf{x}\rVert^2 \lVert\mathbf{y}\rVert^2, \] 즉 \[ |\mathbf{x}\cdot\mathbf{y}| \le \lVert\mathbf{x}\rVert \lVert\mathbf{y}\rVert \] 이다.

이제 \[ \begin{aligned} \lVert\mathbf{x}+\mathbf{y}\rVert^2 &= \lVert\mathbf{x}\rVert^2 + 2\mathbf{x}\cdot\mathbf{y} + \lVert\mathbf{y}\rVert^2 \\ &\le \lVert\mathbf{x}\rVert^2 + 2\lVert\mathbf{x}\rVert \lVert\mathbf{y}\rVert + \lVert\mathbf{y}\rVert^2 \\ &= \left( \lVert\mathbf{x}\rVert + \lVert\mathbf{y}\rVert \right)^2. \end{aligned} \] 양변이 음이 아니므로 제곱근을 취하면 \[ \lVert\mathbf{x}+\mathbf{y}\rVert \le \lVert\mathbf{x}\rVert+\lVert\mathbf{y}\rVert \] 이다.

\(\mathbf{x}\)와 \(\mathbf{y}\)가 영벡터가 아니라고 하자. Cauchy-Schwarz 부등식에 의하여 \[ -1 \le \frac{\mathbf{x}\cdot\mathbf{y}} {\lVert\mathbf{x}\rVert\lVert\mathbf{y}\rVert} \le 1. \] 또한 코사인함수는 구간 \([0,\pi]\)에서 \([-1,1]\)의 각 값을 정확히 한 번씩 갖는다. 이 삼각함수의 성질을 이용하여 \[ \cos\theta = \frac{\mathbf{x}\cdot\mathbf{y}} {\lVert\mathbf{x}\rVert\lVert\mathbf{y}\rVert}, \qquad 0\le\theta\le\pi \] 를 만족시키는 유일한 \(\theta\)를 \(\mathbf{x}\)와 \(\mathbf{y}\) 사이의 각이라고 정의한다. 즉 \[ \mathbf{x}\cdot\mathbf{y} = \lVert\mathbf{x}\rVert \lVert\mathbf{y}\rVert \cos\theta. \] \(d=2\) 또는 \(d=3\)일 때 이 정의는 기하학적인 두 벡터 사이의 각과 일치한다.

\(\mathbf{x}\cdot\mathbf{y}=0\)이면 \(\mathbf{x}\)와 \(\mathbf{y}\)가 직교한다(orthogonal)고 말하고 \[ \mathbf{x}\perp\mathbf{y} \] 와 같이 나타낸다. 이 정의에 따르면 영벡터는 모든 벡터와 직교한다.

어떤 스칼라 \(k\)가 존재하여 \[ \mathbf{x}=k\mathbf{y} \] 또는 \[ \mathbf{y}=k\mathbf{x} \] 가 성립하면 \(\mathbf{x}\)와 \(\mathbf{y}\)가 평행하다(parallel)고 말한다. 이 책에서는 영벡터도 모든 벡터와 평행한 것으로 약속한다. 두 벡터가 평행하면 \[ \mathbf{x}\cdot\mathbf{y} = \pm \lVert\mathbf{x}\rVert \lVert\mathbf{y}\rVert \] 가 성립한다.

가위곱

\(\mathbf{x},\mathbf{y}\in\mathbb{R}^3\)이고 \[ \mathbf{x} = (x_1,\,x_2,\,x_3), \qquad \mathbf{y} = (y_1,\,y_2,\,y_3) \] 라고 하자. 두 벡터의 가위곱(cross product) 또는 외적을 다음과 같이 정의한다. \[ \mathbf{x}\times\mathbf{y} = \left( x_2y_3-x_3y_2,\, x_3y_1-x_1y_3,\, x_1y_2-x_2y_1 \right). \]

가위곱은 두 벡터에 모두 직교한다. 실제로 \[ \begin{aligned} (\mathbf{x}\times\mathbf{y})\cdot\mathbf{x} &= x_1(x_2y_3-x_3y_2) + x_2(x_3y_1-x_1y_3) + x_3(x_1y_2-x_2y_1) \\ &=0. \end{aligned} \] 같은 방법으로 \[ (\mathbf{x}\times\mathbf{y})\cdot\mathbf{y}=0 \] 이므로 \[ \mathbf{x}\times\mathbf{y}\perp\mathbf{x}, \qquad \mathbf{x}\times\mathbf{y}\perp\mathbf{y}. \]

\(\mathbb{R}^3\)의 표준기저 벡터는 \[ \mathbf{e}_1\times\mathbf{e}_2=\mathbf{e}_3, \qquad \mathbf{e}_2\times\mathbf{e}_3=\mathbf{e}_1, \qquad \mathbf{e}_3\times\mathbf{e}_1=\mathbf{e}_2 \] 를 만족시킨다.

영벡터가 아닌 벡터들이 서로 다른 두 벡터마다 직교하면 그 벡터들을 직교족(orthogonal family)이라고 부른다. 직교족의 각 벡터가 모두 단위벡터이면 정규직교족(orthonormal family)이라고 부른다. 따라서 \[ \mathbf{e}_1,\, \mathbf{e}_2,\, \mathbf{e}_3 \] 는 \(\mathbb{R}^3\)의 정규직교족이며 동시에 표준기저이다.