지수함수와 로그함수

by I Seul Bee

이 글은 『미적분학 첫걸음』 0장 7절의 내용입니다.  (미적분학 첫걸음 차례 보기)

거듭제곱

\(a\)가 복소수이고 \(n\)이 양의 정수일 때, 양의 정수 지수를 갖는 거듭제곱을 다음과 같이 정의한다. \[ a^1=a, \qquad a^{n+1}=a^n\cdot a. \] 또한 \(a\ne0\)일 때 \[ a^0=1, \qquad a^{-n}=\frac{1}{a^n} \] 으로 정의한다. 따라서 \(0\)의 \(0\)제곱과 음의 정수 제곱은 이 정의에 포함시키지 않는다.

이제 밑이 양의 실수인 경우 지수를 유리수와 실수로 확장하자. 앞 절의 최소상계 성질로부터 다음 사실을 증명할 수 있으며, 여기서는 이 결과를 증명 없이 사용한다.

양의 \(n\)제곱근의 존재성과 유일성.

\(a>0\)이고 \(n\)이 양의 정수이면 \[ b^n=a \] 를 만족시키는 양의 실수 \(b\)가 유일하게 존재한다.

이 유일한 양의 실수 \(b\)를 \(a\)의 양의 \(n\)제곱근이라고 부르고 \[ a^{1/n}=b \] 와 같이 나타낸다. 즉 \[ a^{1/n}=b \quad\Longleftrightarrow\quad \left(a=b^n\ \text{and}\ b>0\right). \]

\(a>0\)이고 \(m\)이 정수, \(n\)이 양의 정수일 때 \[ a^{m/n} = \left(a^{1/n}\right)^m \] 으로 정의한다. 이 정의는 유리수를 나타내는 분수의 선택과 관계없다. 실제로 \[ \frac{m}{n}=\frac{p}{q} \] 라고 하고 \[ c=a^{1/(nq)} \] 라고 하자. 그러면 \[ (c^q)^n=a, \qquad (c^n)^q=a \] 이므로 양의 \(n\)제곱근과 \(q\)제곱근의 유일성에 의하여 \[ c^q=a^{1/n}, \qquad c^n=a^{1/q}. \] 따라서 \(mq=np\)를 이용하면 \[ \left(a^{1/n}\right)^m = c^{qm} = c^{np} = \left(a^{1/q}\right)^p. \] 그러므로 \(a^r\)은 모든 유리수 \(r\)에 대하여 잘 정의된다.

마지막으로 지수를 임의의 실수로 확장하자. 앞 절의 최소상계 성질로부터 아르키메데스 성질과 유리수의 조밀성을 얻을 수 있다. 이 절에서는 이 두 결과도 증명 없이 사용한다.

\(a>1\)이고 \(r\)가 실수일 때 \[ a^r = \sup \left\{ a^q \,\middle|\, q\in\mathbb{Q},\ q < r \right\} \] 로 정의한다. 위 집합은 공집합이 아니고 위로 유계이므로 최소상계가 존재한다.

만약 \[ 0 < a < 1 \] 이면 \[ a^r = \frac{1}{(1/a)^r} \] 로 정의하고, \(a=1\)이면 \[ 1^r=1 \] 로 정의한다.

이 실수 지수의 정의가 앞에서 정의한 유리수 지수와 일치하고, 다음 지수 법칙을 만족시킨다는 것은 최소상계의 성질을 이용하여 증명할 수 있다. 그 증명은 이 절의 범위를 넘어가므로 여기서는 생략한다.

정리 0.7.1. (지수 법칙)

\(a>0,\) \(b>0\)이고 \(r,s\)가 실수일 때 다음이 성립한다.

  1. \(a^r a^s=a^{r+s}\).
  2. \((ab)^r=a^r b^r\).
  3. \(\left(a^r\right)^s=a^{rs}\).

지수함수

\(a>0\)이면 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(a^x\)이 정의되고 \[ a^x>0. \] 따라서 \[ f:\mathbb{R}\rightarrow(0,\infty), \qquad f(x)=a^x \] 로 함수를 정의할 수 있다.

이 책에서는 \(a>0\)이고 \(a\ne1\)일 때 함수 \[ f(x)=a^x \] 를 밑이 \(\boldsymbol{a}\)인 지수함수(exponential function of base \(a\))라고 부른다. \(a=1\)이면 \(f(x)=1\)인 상수함수가 된다.

실수 지수의 구성과 최소상계 성질로부터 다음 사실을 증명할 수 있으며, 여기서는 증명 없이 사용한다.

  • \(a>1\)이면 \(x\mapsto a^x\)은 엄밀히 증가한다.
  • \(0 < a < 1\)이면 \(x\mapsto a^x\)은 엄밀히 감소한다.
  • \(a>0\)이고 \(a\ne1\)이면 \[ x\mapsto a^x \] 은 \(\mathbb{R}\)에서 \((0,\infty)\)로의 일대일 대응이다.

로그함수

\(a>0\)이고 \(a\ne1\)이라고 하자. 지수함수 \[ x\mapsto a^x \] 은 \(\mathbb{R}\)에서 \((0,\infty)\)로의 일대일 대응이므로 역함수를 가진다.

\(x>0\)일 때 \(a^y=x\)를 만족시키는 유일한 실수 \(y\)를 \[ \log_a x \] 로 나타낸다. 즉 \[ y=\log_a x \quad\Longleftrightarrow\quad a^y=x. \] 함수 \[ \log_a:(0,\infty)\rightarrow\mathbb{R} \] 를 밑이 \(\boldsymbol{a}\)인 로그함수(logarithmic function of base \(a\))라고 부른다.

로그함수는 지수함수의 역함수이므로 \(a>1\)이면 엄밀히 증가하고, \[ 0 < a < 1 \] 이면 엄밀히 감소한다.

지수함수와 로그함수는 모두 연속함수이다. 연속의 정의와 이 사실의 증명은 4장에서 살펴볼 것이다.

로그함수가 지수함수의 역함수이므로 로그함수의 기본 성질은 지수 법칙으로부터 얻어진다.

정리 0.7.2. (로그 법칙)

\(a>0,\) \(a\ne1,\) \(b>0,\) \(b\ne1\)이고 \(x,y>0,\) \(r\in\mathbb{R}\)이라고 하자. 이때 다음이 성립한다.

  1. \(\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y\).
  2. \(\displaystyle \log_a\frac{x}{y}=\log_a x-\log_a y\).
  3. \(\log_a(x^r)=r\log_a x\).
  4. \(\displaystyle \log_b x=\frac{\log_a x}{\log_a b}\).

증명.

(1) \(u=\log_a x\), \(v=\log_a y\)라고 하자. 그러면 \[ x=a^u, \qquad y=a^v. \] 지수 법칙에 의하여 \[ xy=a^u a^v=a^{u+v}. \] 따라서 로그함수의 정의에 의하여 \[ \log_a(xy)=u+v = \log_a x+\log_a y. \]

(2) 같은 방법으로 \[ \frac{x}{y} = \frac{a^u}{a^v} = a^{u-v} \] 이므로 \[ \log_a\frac{x}{y} = u-v = \log_a x-\log_a y. \]

(3) \(u=\log_a x\)라고 하면 \(x=a^u\)이다. 따라서 지수 법칙에 의하여 \[ x^r = (a^u)^r = a^{ur}. \] 그러므로 \[ \log_a(x^r) = ur = r\log_a x. \]

(4) \(t=\log_b x\)라고 하자. 그러면 \[ b^t=x. \] 양변에 밑이 \(a\)인 로그를 취하고 (3)을 이용하면 \[ t\log_a b=\log_a x. \] \(b\ne1\)이므로 \(\log_a b\ne0\)이다. 따라서 \[ t = \frac{\log_a x}{\log_a b}. \] 즉 \[ \log_b x = \frac{\log_a x}{\log_a b}. \]