행렬과 복소수

by I Seul Bee

이 글은 『미적분학 첫걸음』 0장 5절의 내용입니다.  (미적분학 첫걸음 차례 보기)

행렬과 복소수는 별개의 개념인 것처럼 보이지만 서로 밀접한 관련이 있다. 실제로 복소수는 특별한 형태의 \(2\times 2\) 실행렬로 나타낼 수 있다. 이 절에서는 \(2\times 2\) 행렬의 기본 연산을 살펴본 뒤 이를 이용하여 복소수를 정의하자.

행렬

행렬(matrix)이란 수를 직사각형 모양으로 배열한 뒤 괄호로 묶어 나타낸 것이다. 예를 들어 \(2\)개의 행과 \(2\)개의 열을 가진 \(2\times 2\) 실행렬(real matrix)은 다음과 같이 나타낸다. \[ A= \left[ \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right]. \] 여기서 \(a_{ij}\)는 \(i\)째 행 \(j\)째 열의 성분(entry)이며, 그 값은 실수이다.

\(A\)와 \(B\)가 \(2\times 2\) 행렬이고 \[ A= \left[ \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right], \qquad B= \left[ \begin{array}{cc} b_{11} & b_{12}\\ b_{21} & b_{22} \end{array} \right] \] 라고 하자. 모든 \(i,j\)에 대하여 \(a_{ij}=b_{ij}\)일 때 \(A=B\)라고 한다.

\(k\)가 실수일 때 \(k\)와 행렬 \(A\)의 스칼라배(scalar multiplication)를 다음과 같이 정의한다. \[ kA= \left[ \begin{array}{cc} ka_{11} & ka_{12}\\ ka_{21} & ka_{22} \end{array} \right]. \] 두 행렬의 합은 다음과 같이 정의한다. \[ A+B= \left[ \begin{array}{cc} a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12}\\ a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} \end{array} \right]. \]

두 행렬의 곱 \(AB\)는 다음과 같이 정의한다. \[ AB= \left[ \begin{array}{cc} a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21} & a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22} \\ a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21} & a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22} \end{array} \right]. \] 즉 \(AB\)의 \(ij\)-성분은 \[ (AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{2}a_{ik}b_{kj} \] 이다.

행렬 \(A\)의 행과 열을 서로 바꾸어 얻은 행렬 \[ A^{\mathrm{T}} = \left[ \begin{array}{cc} a_{11} & a_{21}\\ a_{12} & a_{22} \end{array} \right] \] 를 \(A\)의 전치행렬(transpose)이라고 부른다.

정리 0.5.1.

\(A,\) \(B,\) \(C\)가 \(2\times 2\) 실행렬일 때 다음이 성립한다.

  1. \(A+B=B+A\).
  2. \((A+B)+C=A+(B+C)\).
  3. \((AB)C=A(BC)\).
  4. \(A(B+C)=AB+AC\).
  5. \((A+B)C=AC+BC\).

증명.

(1), (2)는 행렬의 각 성분을 비교하고 실수의 덧셈에 대한 교환법칙과 결합법칙을 적용하면 얻어진다.

(3) \(A=[a_{ij}],\) \(B=[b_{ij}],\) \(C=[c_{ij}]\)라고 하자. 임의의 \(i,j\)에 대하여 \[ \begin{aligned} ((AB)C)_{ij} &= \sum_{k=1}^{2}(AB)_{ik}c_{kj}\\ &= \sum_{k=1}^{2} \left( \sum_{\ell=1}^{2}a_{i\ell}b_{\ell k} \right)c_{kj}\\ &= \sum_{\ell=1}^{2} a_{i\ell} \left( \sum_{k=1}^{2}b_{\ell k}c_{kj} \right)\\ &= (A(BC))_{ij}. \end{aligned} \] 따라서 \((AB)C=A(BC)\)이다.

(4) 임의의 \(i,j\)에 대하여 \[ \begin{aligned} (A(B+C))_{ij} &= \sum_{k=1}^{2}a_{ik}(b_{kj}+c_{kj})\\ &= \sum_{k=1}^{2}a_{ik}b_{kj} + \sum_{k=1}^{2}a_{ik}c_{kj}\\ &= (AB+AC)_{ij}. \end{aligned} \] 따라서 \(A(B+C)=AB+AC\)이다.

(5)도 같은 방법으로 \[ \begin{aligned} ((A+B)C)_{ij} &= \sum_{k=1}^{2}(a_{ik}+b_{ik})c_{kj}\\ &= \sum_{k=1}^{2}a_{ik}c_{kj} + \sum_{k=1}^{2}b_{ik}c_{kj}\\ &= (AC+BC)_{ij} \end{aligned} \] 이므로 \((A+B)C=AC+BC\)이다.

일반적으로 행렬의 합 \(A+B\)는 \(A\)와 \(B\)의 행의 개수와 열의 개수가 각각 같을 때 정의된다. 행렬의 곱 \(AB\)는 \(A\)의 열의 개수와 \(B\)의 행의 개수가 같을 때 정의된다.

행렬의 곱셈은 일반적으로 교환법칙을 만족시키지 않는다. 즉 두 행렬 \(A,B\)에 대하여 \[ AB=BA \] 가 항상 성립하는 것은 아니다. 그러나 아래에서 정의할 복소수에 해당하는 특별한 행렬들 사이에서는 곱셈의 교환법칙이 성립한다.

복소수

복소수(complex number)란 다음과 같은 꼴의 \(2\times 2\) 실행렬을 이른다. \[ \left[ \begin{array}{rr} a & -b\\ b & a \end{array} \right], \qquad a,b\in\mathbb{R}. \] 복소수 전체의 집합을 \(\mathbb{C}\)로 나타낸다.

특히 복소수 \[ \boldsymbol{i} = \left[ \begin{array}{rr} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{array} \right] \] 을 허수단위(imaginary unit)이라고 부른다.

각 실수 \(a\)를 복소수 \[ \left[ \begin{array}{cc} a & 0\\ 0 & a \end{array} \right] \] 와 동일시하기로 하자. 특히 실수 \(1\)은 항등행렬 \[ 1= \left[ \begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{array} \right] \] 과 동일시된다. 이때 \[ \boldsymbol{i}^{\,2} = \left[ \begin{array}{rr} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{rr} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rr} -1 & 0\\ 0 & -1 \end{array} \right] = -1. \]

따라서 임의의 복소수는 \[ a+b\boldsymbol{i}, \qquad a,b\in\mathbb{R}, \] 의 꼴로 나타낼 수 있다. 실제로 \[ \begin{aligned} \left[ \begin{array}{rr} a & -b\\ b & a \end{array} \right] &= a \left[ \begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{array} \right] + b \left[ \begin{array}{rr} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{array} \right]\\ &= a+b\boldsymbol{i}. \end{aligned} \] 또한 이러한 표현은 유일하다. 실제로 \[ a+b\boldsymbol{i} = c+d\boldsymbol{i} \] 이면 이에 대응하는 두 행렬의 성분이 모두 같으므로 \[ a=c, \qquad b=d \] 이다.

\(z=a+b\boldsymbol{i}\)이고 \(a,b\in\mathbb{R}\)일 때, \(a\)를 \(z\)의 실수부(real part)라고 부르고 \(b\)를 \(z\)의 허수부(imaginary part)라고 부른다.

복소수의 합과 곱은 행렬의 합과 곱으로부터 얻어진다. \(z_1=a_1+b_1\boldsymbol{i}\), \(z_2=a_2+b_2\boldsymbol{i}\)라고 하면 \[ \begin{aligned} z_1+z_2 &= \left[ \begin{array}{rr} a_1 & -b_1\\ b_1 & a_1 \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{rr} a_2 & -b_2\\ b_2 & a_2 \end{array} \right] \\[5pt] &= \left[ \begin{array}{rr} a_1+a_2 & -(b_1+b_2)\\ b_1+b_2 & a_1+a_2 \end{array} \right] \\[5pt] &= (a_1+a_2)+(b_1+b_2)\boldsymbol{i}, \\[10pt] z_1z_2 &= \left[ \begin{array}{rr} a_1 & -b_1\\ b_1 & a_1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{rr} a_2 & -b_2\\ b_2 & a_2 \end{array} \right] \\[5pt] &= \left[ \begin{array}{rr} a_1a_2-b_1b_2 & -(a_1b_2+a_2b_1)\\ a_1b_2+a_2b_1 & a_1a_2-b_1b_2 \end{array} \right] \\[5pt] &= (a_1a_2-b_1b_2) + (a_1b_2+a_2b_1)\boldsymbol{i}. \end{aligned} \]

마지막 식은 \(z_1\)과 \(z_2\)를 서로 바꾸어도 변하지 않으므로 \[ z_1z_2=z_2z_1 \] 이다. 따라서 일반적인 행렬과 달리 복소수에 해당하는 이 특별한 행렬들은 곱셈에 대하여 교환법칙을 만족시킨다.

복소켤레와 역원

\(z=a+b\boldsymbol{i}\)일 때 \[ \overline{z}=a-b\boldsymbol{i} \] 를 \(z\)의 복소켤레(complex conjugate)라고 부른다. 행렬의 관점에서 보면 \[ z= \left[ \begin{array}{rr} a & -b\\ b & a \end{array} \right] \] 이므로 \[ z^{\mathrm{T}} = \left[ \begin{array}{rr} a & b\\ -b & a \end{array} \right] = \overline{z}. \] 즉 복소수에 해당하는 행렬의 전치는 복소켤레에 해당한다.

또한 \[ z\overline{z} = (a+b\boldsymbol{i})(a-b\boldsymbol{i}) = a^2+b^2. \] 따라서 \(z\ne0\)이면 \(a\)와 \(b\)가 동시에 \(0\)일 수 없으므로 \[ a^2+b^2>0. \] 그러므로 \[ z^{-1} = \frac{a-b\boldsymbol{i}}{a^2+b^2} \] 로 놓으면 \[ zz^{-1}=z^{-1}z=1 \] 이다. 따라서 \(0\)이 아닌 모든 복소수는 곱셈에 대한 역원을 가진다.

이와 같이 복소수는 실수의 덧셈과 곱셈의 성질을 그대로 가지면서 \[ \boldsymbol{i}^{\,2}=-1 \] 을 만족시키는 새로운 수 \(\boldsymbol{i}\)를 포함하는 수 체계를 이룬다. 실제 계산에서는 복소수를 행렬로 생각할 필요 없이, 실수 \(a,b\)에 대하여 \[ a+b\boldsymbol{i} \] 의 꼴로 나타내고 \(\boldsymbol{i}^{\,2}=-1\)을 이용하여 계산하면 된다.