함수

\(S\)와 \(T\)가 집합이라고 하자. 이때 \(f:S \rightarrow T\)가 함수(function)라 함은 \(S\)의 각 원소 \(s\)를 빠짐 없이 \(T\)의 하나의 원소 \(t\)에 대응시킨 것이다. 여기서 \(s\)에 대응된 원소를 \(f\)에 의한 \(s\)의 함숫값이라고 부르고 \(f(s)\)와 같이 나타낸다. 함수 \(f:S \rightarrow T\)를 간단히 \(f\)라고 나타내기도 한다. 집합 \(S\)를 \(f\)의 정의역(domain)이라고 부르고, 집합 \(T\)를 \(f\)의 공역(codomain)이라고 부른다.

함수 \(f : S \rightarrow T\)의 치역(range, image)을 다음과 같이 정의한다. \[\operatorname{ran} (f) = \operatorname{Im} (f) = \left\{ t\in T \,\vert\, \exists s \in S \,:\,\, t=f(s) \right\}.\] \(f : S \rightarrow T\)와 \(g : T \rightarrow U\)가 함수일 때, 합성함수(composition) \(g \circ f : S \rightarrow U\)를 \[(g\circ f)(s) = g(f(s)) \quad\text{for all}\,\,\, s\in S\] 를 만족시키는 함수인 것으로 정의한다.

\(f:S\rightarrow T\)가 함수라고 하자. 이때 다음과 같이 정의한다.

• \(S\)의 모든 원소 \(x_1 ,\) \(x_2\)에 대하여 \[x_1 \ne x_2 \quad\Longrightarrow\quad f\left(x_1 \right) \ne f\left(x_2 \right)\] 가 성립하면, \(f\)를 일대일 함수(one-to-one) 또는 단사함수(injective function)라고 부른다.
• \(\operatorname{ran}(f) = T\)이면, \(f\)를 위로의 함수(onto function) 또는 전사함수(surjective function)라고 부른다.
• \(f\)가 일대일 함수이면서 위로의 함수이면, \(f\)를 일대일 대응(one-to-one correspondence) 또는 전단사함수(bijective function)라고 부른다.

\(f:S\rightarrow T\)가 함수라고 하자. 만약 함수 \(g:T \rightarrow S\)가 존재하여 \[g \circ f = I_S \quad\text{and}\quad f\circ g = I_T\] 를 모두 만족시키면, \(f\)를 가역함수(invertible function)라고 부르고, \(g\)를 \(f\)의 역함수(inverse function)라고 부른다. 이 정의에서 \(I_S\)와 \(I_T\)는 \[\begin{gather} I_S (x) = x \,\,\,\text{for}\,\,\, x\in S ,\\[6pt] I_T (y) = y \,\,\,\text{for}\,\,\, y\in T \end{gather}\] 로 정의된 항등함수이다.

역함수의 정의에 의하면, \(g\)가 \(f\)의 역함수일 필요충분조건은 \(f\)가 \(g\)의 역함수인 것이다.