함수

by I Seul Bee

이 글은 『미적분학 첫걸음』 0장 2절의 내용입니다.  (미적분학 첫걸음 차례 보기)

이 절에서는 함수와 합성함수, 일대일 함수와 위로의 함수, 역함수의 뜻과 기본 성질을 살펴보자.

함수와 합성함수

\(S\)와 \(T\)가 집합이라고 하자. 이때 \(f:S \rightarrow T\)가 함수(function)라 함은 \(S\)의 각 원소 \(s\)에 \(T\)의 원소 \(t\)를 정확히 하나씩 대응시킨 것이다. 여기서 \(s\)에 대응된 원소를 \(f\)에 의한 \(s\)의 함숫값이라고 부르고 \(f(s)\)와 같이 나타낸다. 함수 \(f:S \rightarrow T\)를 간단히 \(f\)라고 나타내기도 한다. 집합 \(S\)를 \(f\)의 정의역(domain)이라고 부르고, 집합 \(T\)를 \(f\)의 공역(codomain)이라고 부른다.

두 함수 \(f,g:S\rightarrow T\)에 대하여 \(S\)의 모든 원소 \(s\)에서 \(f(s)=g(s)\)이면 \(f=g\)라고 한다.

함수 \(f:S \rightarrow T\)의 치역(range, image)을 다음과 같이 정의한다. \[ \operatorname{ran}(f) = \operatorname{Im}(f) = \left\{ t\in T \,\vert\, \exists s\in S : t=f(s) \right\}. \]

\(f:S \rightarrow T\)와 \(g:T \rightarrow U\)가 함수일 때, 합성함수(composition) \(g\circ f:S\rightarrow U\)를 \[ (g\circ f)(s)=g(f(s)) \quad\text{for all }s\in S \] 를 만족시키는 함수로 정의한다.

정리 0.2.1. (함수의 합성의 결합 성질)

세 함수 \(f:S\rightarrow T,\) \(g:T\rightarrow U,\) \(h:U\rightarrow V\)가 주어졌다고 하자. 이때 다음이 성립한다. \[ h\circ(g\circ f)=(h\circ g)\circ f. \] 즉 세 함수의 합성이 정의될 때, 괄호를 묶는 방법에 관계없이 그 결과는 동일한 함수이다.

증명.

\(s\in S\)라고 하자. 합성함수의 정의에 의하여 \[ \begin{aligned} \bigl(h\circ(g\circ f)\bigr)(s) &=h\bigl((g\circ f)(s)\bigr)\\ &=h(g(f(s))) \end{aligned} \] 이고 \[ \begin{aligned} \bigl((h\circ g)\circ f\bigr)(s) &=(h\circ g)(f(s))\\ &=h(g(f(s))). \end{aligned} \] 따라서 \(S\)의 모든 \(s\)에서 두 함수의 함숫값이 같으므로 \[ h\circ(g\circ f)=(h\circ g)\circ f \] 이다.

일대일 함수와 위로의 함수

\(f:S\rightarrow T\)가 함수라고 하자. 이때 다음과 같이 정의한다.

  • \(S\)의 모든 원소 \(x_1,\) \(x_2\)에 대하여 \[ x_1\ne x_2 \quad\Longrightarrow\quad f(x_1)\ne f(x_2) \] 가 성립하면, \(f\)를 일대일 함수(one-to-one) 또는 단사함수(injective function)라고 부른다.
  • \(\operatorname{ran}(f)=T\)이면, \(f\)를 위로의 함수(onto function) 또는 전사함수(surjective function)라고 부른다.
  • \(f\)가 일대일 함수이면서 위로의 함수이면, \(f\)를 일대일 대응(one-to-one correspondence) 또는 전단사함수(bijective function)라고 부른다.

정리 0.2.2.

함수 \(f:S\rightarrow T\)와 \(g:T\rightarrow U\)가 주어졌다고 하자.

  1. 만약 \(f\)와 \(g\)가 모두 일대일 함수이면 \(g\circ f\)도 일대일 함수이다.
  2. 만약 \(f\)와 \(g\)가 모두 위로의 함수이면 \(g\circ f\)도 위로의 함수이다.
  3. 만약 \(f\)와 \(g\)가 모두 일대일 대응이면 \(g\circ f\)도 일대일 대응이다.
  4. 만약 \(g\circ f\)가 일대일 함수이면 \(f\)도 일대일 함수이다.
  5. 만약 \(g\circ f\)가 위로의 함수이면 \(g\)도 위로의 함수이다.

증명.

(1) \(x_1,x_2\in S\)이고 \(x_1\ne x_2\)라고 하자. \(f\)가 일대일 함수이므로 \[ f(x_1)\ne f(x_2). \] 또한 \(g\)가 일대일 함수이므로 \[ g(f(x_1))\ne g(f(x_2)). \] 따라서 \(g\circ f\)는 일대일 함수이다.

(2) \(u\in U\)라고 하자. \(g\)가 위로의 함수이므로 \(g(t)=u\)를 만족시키는 \(t\in T\)가 존재한다. 또한 \(f\)가 위로의 함수이므로 \(f(s)=t\)를 만족시키는 \(s\in S\)가 존재한다. 따라서 \[ (g\circ f)(s)=g(f(s))=g(t)=u. \] 그러므로 \(g\circ f\)는 위로의 함수이다.

(3) \(f\)와 \(g\)가 일대일 대응이면 두 함수는 모두 일대일 함수이면서 위로의 함수이다. 따라서 (1)과 (2)에 의하여 \(g\circ f\)도 일대일 함수이면서 위로의 함수이므로 일대일 대응이다.

(4) \(x_1,x_2\in S\)이고 \(x_1\ne x_2\)라고 하자. \(g\circ f\)가 일대일 함수이므로 \[ (g\circ f)(x_1)\ne(g\circ f)(x_2). \] 만약 \(f(x_1)=f(x_2)\)라면 \[ g(f(x_1))=g(f(x_2)) \] 이므로 위 식과 모순이다. 따라서 \(f(x_1)\ne f(x_2)\)이고, \(f\)는 일대일 함수이다.

(5) \(u\in U\)라고 하자. \(g\circ f\)가 위로의 함수이므로 \[ g(f(s))=u \] 를 만족시키는 \(s\in S\)가 존재한다. \(t=f(s)\)라고 놓으면 \(t\in T\)이고 \(g(t)=u\)이다. 따라서 \(g\)는 위로의 함수이다.

역함수

집합 \(S\)에 대하여 함수 \(I_S:S\rightarrow S\)를 \[ I_S(s)=s \quad\text{for all }s\in S \] 로 정의하고, 이를 \(S\) 위의 항등함수(identity function)라고 부른다.

\(f:S\rightarrow T\)가 함수라고 하자. 만약 함수 \(g:T\rightarrow S\)가 존재하여 \[ g\circ f=I_S \quad\text{and}\quad f\circ g=I_T \] 를 모두 만족시키면, \(f\)를 가역함수(invertible function)라고 부르고, \(g\)를 \(f\)의 역함수(inverse function)라고 부른다.

역함수의 정의에 의하면, \(g\)가 \(f\)의 역함수일 필요충분조건은 \(f\)가 \(g\)의 역함수인 것이다.

정리 0.2.3.

함수 \(f:S\rightarrow T\)가 가역일 필요충분조건은 \(f:S\rightarrow T\)가 일대일 대응인 것이다. 이 경우 \(f\)의 역함수는 유일하다.

증명.

먼저 \(f\)가 가역이라고 하자. \(g:T\rightarrow S\)를 \(f\)의 역함수라고 하자. \(s_1,s_2\in S\)에 대하여 \(f(s_1)=f(s_2)\)이면 \[ s_1 =(g\circ f)(s_1) =g(f(s_1)) =g(f(s_2)) =(g\circ f)(s_2) =s_2. \] 따라서 \(f\)는 일대일 함수이다.

또한 \(t\in T\)라고 하자. 그러면 \[ t=(f\circ g)(t)=f(g(t)) \] 이므로 \(t\)는 \(f\)의 함숫값이다. 따라서 \(f\)는 위로의 함수이다. 그러므로 \(f\)는 일대일 대응이다.

거꾸로 \(f\)가 일대일 대응이라고 하자. \(f\)가 위로의 함수이므로 각 \(t\in T\)에 대하여 \(f(s)=t\)를 만족시키는 \(s\in S\)가 존재하고, \(f\)가 일대일 함수이므로 이러한 \(s\)는 유일하다. 따라서 각 \(t\in T\)에 그 유일한 \(s\)를 대응시키는 함수 \[ g:T\rightarrow S \] 를 정의할 수 있다. 이 정의에 의하여 \[ g(f(s))=s \quad\text{for all }s\in S \] 이고 \[ f(g(t))=t \quad\text{for all }t\in T. \] 따라서 \[ g\circ f=I_S, \qquad f\circ g=I_T, \] 이므로 \(f\)는 가역이다.

마지막으로 \(g_1,g_2:T\rightarrow S\)가 모두 \(f\)의 역함수라고 하자. 정리 0.2.1을 이용하면 \[ \begin{aligned} g_1 &=g_1\circ I_T\\ &=g_1\circ(f\circ g_2)\\ &=(g_1\circ f)\circ g_2\\ &=I_S\circ g_2\\ &=g_2. \end{aligned} \] 따라서 \(f\)의 역함수는 유일하다.

정리 0.2.3에 의하여 가역함수 \(f:S\rightarrow T\)의 역함수는 유일하므로 이를 \[ f^{-1}:T\rightarrow S \] 와 같이 나타낸다.