집합의 연산

이 절에서는 집합의 표기법과 연산을 살펴보자. 여기서는 집합의 직관적 정의를 받아들인다.

집합과 원소

• 수학적 개체 \(a\)가 집합 \(A\)에 속할 때, 이것을 기호로 \(a\in A\)와 같이 나타낸다.
• 수학적 개체 \(a\)가 집합 \(A\)에 속하지 않을 때, 이것을 기호로 \(a\notin A\)와 같이 나타낸다.
• 두 집합 \(A,\) \(B\)가 같은 원소로 이루어져 있을 때, 이것을 기호로 \(A=B\)와 같이 나타낸다.
• \(A\)와 \(B\)가 집합이고 \(A\)에 속한 모든 원소가 \(B\)에 속할 때, “\(A\)가 \(B\)의 부분집합이다”라고 말하고, 이것을 기호로 \(A\subseteq B\)와 같이 나타낸다. (책에 따라서는 이것을 \(A\subset B\)와 같이 나타내기도 한다.)
• \(A\)와 \(B\)가 집합이고 \(A\subseteq B\)이지만 \(A\ne B\)일 때, “\(A\)가 \(B\)의 진부분집합이다”라고 말하고, 이것을 기호로 \(A\subsetneq B\)와 같이 나타낸다.
• 집합 \(A\)가 유한 개의 원소 \(x_1 ,\) \(x_2 ,\) \(\cdots ,\) \(x_n \)으로 이루어져 있을 때, 이것을 기호로 \[A = \left\{ x_1 ,\, x_2 ,\, \cdots ,\, x_n \right\}\] 와 같이 나타낸다.
• 집합 \(B\)가 \(U\)의 원소 중 성질 \(p(x)\)를 갖는 것들만으로 이루어져 있을 때, 이것을 기호로 \[B = \left\{ x\in U \,\vert\, p(x) \right\}\] 와 같이 나타낸다.

집합의 연산

\(A\)와 \(B\)가 집합이라고 하자. 이때 다음과 같이 정의한다.

• \(A\)와 \(B\)의 합집합(union)을 \[A\cup B = \left\{ x \,\vert\, x\in A \,\,\text{or}\,\, x\in B \right\}\] 로 정의한다.
• \(A\)와 \(B\)의 교집합(intersection)을 \[A\cap B = \left\{ x \,\vert\, x\in A \,\,\text{and}\,\, x\in B \right\}\] 로 정의한다.
• \(A\)에서 \(B\)를 뺀 차집합(difference)을 \[A\setminus B = \left\{ x \,\vert\, x\in A \,\,\text{and}\,\, x\notin B \right\}\] 로 정의한다.

집합 \(U\)를 전체집합과 같이 고정해 두고, \(U\)의 원소만으로 이루어진 집합을 논할 때가 있다. 이때 집합 \(A\)에 속하지 않은 원소들만 모은 집합을 \(A\)의 여집합(complement)이라고 부르고 \(A^c\)로 나타낸다. 즉 \(U\)가 전체집합일 때 \(A^c = U \setminus A\) 이다.

두 집합의 합집합과 교집합은 임의의 개수의 집합의 합집합과 교집합으로 확장할 수 있다. \(A_1 ,\) \(A_2 ,\) \(\cdots ,\) \(A_n\)이 집합일 때 다음과 같이 정의한다. \[\begin{align} \bigcup_{i=1}^{n} A_i &= A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n ,\\[6pt] \bigcap_{i=1}^{n} A_i &= A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n . \end{align}\] 또한 \(\left\{ A_i \,\vert\, i\in I\right\}\)가 집합들의 모임일 때 다음과 같이 정의한다. \[\begin{align} \bigcup_{i\in I} A_i &= \left\{ x\,\vert\, x\in A_i \text{ for at least one } i \in I \right\} ,\\[6pt] \bigcap_{i\in I} A_i &= \left\{ x\,\vert\, x\in A_i \text{ for all } i \in I \right\} . \end{align}\]

데카르트 곱

\(A\)와 \(B\)가 집합일 때, \(A\)와 \(B\)의 데카르트 곱(Cartesian product)을 다음과 같이 정의한다. \[A \times B = \left\{ (x,\,y) \,\vert\, x\in A \text{ and } y\in B \right\}.\] 또한 \(A_1 ,\) \(A_2 ,\) \(\cdots ,\) \(A_n\)이 집합일 때 다음과 같이 정의한다. \[\prod_{i=1}^{n} A_i = A_1 \times A_2 \times \cdots \times A_n = \left\{ \left( x_1 ,\, x_2 ,\, \cdots ,\, x_n \right) \,\vert\, x_i \in A_i \text{ for all } i\in I \right\}.\] 만약 \(A_1 = A_2 = \cdots = A_n = A\)이면 다음과 같이 정의한다. \[A^n = \prod_{i=1}^n A = \left\{ \left( x_1 ,\, x_2 ,\,\cdots ,\, x_n \right) \,\vert\, x_i \in A \text{ for all } i \in I \right\}.\]