역도함수와 부정적분

by I Seul Bee

이 글은 『미적분학 첫걸음』 5장 5절의 내용입니다.  (미적분학 첫걸음 차례 보기)

역도함수와 부정적분

\(I\)가 길이가 양수인 구간이고 \(F\)와 \(f\)가 \(I\)에서 정의된 실숫값 함수라고 하자. 만약 \(F\)가 \(I\)에서 미분 가능하고, \(I\)의 임의의 점 \(x\)에 대하여 \(F ' (x) = f(x)\)를 만족시키면 \(F\)를 \(I\)에서 \(f\)의 역도함수(antiderivative)라고 부른다.

한 함수의 역도함수가 하나로 정해지지는 않는다. 예컨대 \[f(x)= \cos x\] 이면 \[\begin{align} F_1 (x) &= \sin x , \\[5pt] F_2 (x) &= \sin x + 4 ,\\[5pt] F_3 (x) &= \sin x - \pi \end{align}\] 는 모두 \(f\)의 역도함수를 정의한다.

일반적으로, \(F_1\)과 \(F_2\)이 구간 \(I\)에서 \(f\)의 역도함수이면 \(I\)의 모든 점 \(x\)에 대하여 \(F_1 ' (x) = F_2 ' (x)\)이므로 \(F_1\)과 \(F_2\)는 \(I\)에서 상수 차이이다.

정리 5.5.1. (역도함수의 일반형)

함수 \(F\)가 구간 \(I\)에서 함수 \(f\)의 한 역도함수이면, \(I\)에서 \(f\)의 역도함수의 일반형(general antiderivative)은 \[F(x) +C\] 꼴이다. 여기서 \(C\)는 임의의 상수이다.

참고. 위 정리에서 \(I\)가 구간이 아니라면 \(C\)는 국소적 상수(locally constant)이다. 예컨대 \[I_1 = [0,\,1] ,\,\, I_2 = [2,\,3] ,\,\, I = I_1 \cup I_2\] 이고 \[\begin{align} f(x) &= 3x^2 ,\\[5pt] F_1 (x) &= x^3 , \\[5pt] F_2 (x) &= \begin{cases} x^3 \quad &\text{if}\,\, x\in I_1 ,\\[5pt] x^3 +1 \quad &\text{if}\,\, x\in I_2 \end{cases} \end{align}\] 라고 하면 \(F_1\)과 \(F_2\)는 상수 차이가 아니지만 두 함수 모두 \(f\)의 역도함수이다. 만약 함수 \(C\)를 \[C (x) = \begin{cases} 0 \quad &\text{if}\,\, x\in I_1 ,\\[5pt] 1 \quad &\text{if}\,\, x\in I_2 \end{cases}\] 이라고 정의하면 \(C\)는 국소적 상수이고 \[F_2 (x) = F_1 (x) +C(x) \] 와 같이 나타낼 수 있다.

보기 5.5.1.

\(\mathbb{R}\)에서 \(f(x)= \sin x\)의 역도함수의 일반형을 구해 보자. 먼저 \[F_1 (x) = -\cos x\] 라고 하면 \[\frac{d}{dx} F_1 (x) = \frac{d}{dx}(-\cos x)=\sin x\] 이므로 \(F\)는 \(f\)의 한 역도함수이다. 그러므로 \(f\)의 역도함수의 일반형은 \[F(x) = -\cos x +C\] 이다. 여기서 \(C\)는 임의의 상수이다.

함수 \(f\)의 모든 역도함수들의 모임을 \(f\)의 부정적분(indefinite integral)이라고 부르고 \[\int f(x) dx\] 와 같이 나타낸다. 여기서 \(\int\)는 적분기호(integral sign)이다. 위와 같은 표현에서 \(f\)를 피적분함수(integrand)라고 부르며, \(x\)를 적분변수(variable of integration)라고 부른다.

보기 5.5.2. 다음 예에서 \(C\)는 국소적 상수이다.

  1. \(\displaystyle \int 3x \,dx = \frac{3}{2} x^2 +C , \)
  2. \(\displaystyle \int \sin x \,dx = -\cos x +C , \)
  3. \(\displaystyle \int \left( e^t + \sec^2 t + \frac{1}{t} \right) \,dt = e^t + \tan t - \frac{1}{t^2} +C . \)

미분방정식과 초깃값 문제

함수 \(f(x)\)의 역도함수를 구하는 것은 등식 \[\frac{dy}{dx} = f(x)\] 를 만족시키는 함수 \(y(x)\)를 구하는 것과 같다. 이러한 방정식을 미분방정식(differential equation)이라고 부른다. 위와 같은 형태의 미분방정식을 풀기 위해서는 \(f(x)\)의 역도함수를 구해야 한다. 미분방정식을 푸는 과정에서 나타나는 상수를 \[y \left( x_0 \right) = y_0\] 와 같이 정할 수 있는데, 이와 같이 상수를 정하는 조건을 초기조건(initial condition)이라고 부른다. 초기조건이 주어진 미분방정식을 초깃값 문제(initial value problem)라고 부른다.

보기 5.5.3. 다음 초깃값 문제의 해를 구하시오.

  1. \(\displaystyle \frac{dy}{dx} = 2x-7 ,\quad y(2) =0.\)
  2. \(\displaystyle \frac{ds}{dt} = 1+\cos t ,\quad s(\pi) =1.\)
  3. \(\displaystyle \frac{d^2 s}{dt^2} = \frac{3t}{8} ,\quad \left. \frac{ds}{dt} \right\vert_{t=4} = 3 ,\quad s(4)=4.\)

풀이.

  1. 만약 \(f(x) = x^2 -7x\)이면 \(f ' (x) = 2x-7\)이므로 \(2x-7\)의 역도함수의 일반형은 \[y = x^2 - 7x +C\] 꼴이다. 여기서 \(C\)는 상수이다. \(x=2,\) \(y=0\)을 대입하면 \[0=2^2 - 14 +C\] 이므로 \(C=10\)이다. 그러므로 주어진 초깃값 문제의 해는 \[y=x^2 - 7x +10\]이다.
  2. \(1+\cos t\)의 역도함수의 일반형은 \[s = t- \sin t +C\] 꼴이다. 여기서 \(C\)는 상수이다. \(t = \pi,\) \(s=1\)을 대입하면 \[1 = \pi - \sin \pi +C\] 이므로 \(C = 1-\pi\)이다. 그러므로 주어진 초깃값 문제의 해는 \[s = t-\sin t + 1 - \pi\] 이다.
  3. \(3t/8\)의 역도함수의 일반형은 \[\frac{ds}{dt} = \frac{3t^2}{16} +C_1\] 꼴이다. 여기서 \(C_1\)은 상수이다. \(t=4,\) \(ds/dt = 3\)을 대입하면 \[3 = 3+C_1\] 이므로 \(C_1 =0\)이다. 따라서 \[\frac{ds}{dt} = \frac{3t^2}{16}\] 이다. 이 함수의 역도함수의 일반형을 구하면 \[s = \frac{t^3}{16} +C_2\] 이다. 여기서 \(C_2\)는 상수이다. 이 식에 \(t=4,\) \(s=4\)를 대입하면 \(C_2 =0\)을 얻는다.
    그러므로 주어진 초깃값 문제의 해는 \[s = \frac{t^3}{16}\] 이다.