기본 초월함수의 미분

사칙계산과 제곱근을 유한 번 사용하여 나타낼 수 있는 함수를 대수적 함수라고 부르며, 대수적 함수가 아닌 함수를 초월함수라고 부른다. 삼각함수, 지수함수, 로그함수는 대표적인 초월함수이다. 보통 ‘초등함수’ 또는 ‘기본 초월함수’라고 하면 이들 세 종류의 초월함수를 이른다.

이 포스트에서는 삼각함수, 지수함수, 로그함수의 미분법을 살펴본다.

삼각함수의 미분

예제 3.2.6과 예제 3.2.7에서 다음 두 공식을 유도하였다. \[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x} = 1,\quad \lim_{x\rightarrow 0} \frac{1-\cos x}{x} =0.\] 이 극한을 이용하여 삼각함수의 미분 공식을 유도해 보자.

먼저 사인의 도함수는 다음과 같다. \[\begin{align} \frac{d}{dx}\sin x &= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\sin (x+\Delta x) - \sin x}{\Delta x} \\[4pt] &= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\sin x \cos \Delta x + \cos x \sin \Delta x - \sin x}{\Delta x} \\[4pt] &= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\cos x \sin \Delta x - \sin x ( 1- \cos \Delta x)}{\Delta x} \\[4pt] &= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \left\{ \cos x \cdot \frac{\sin \Delta x}{\Delta x}\right\} - \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \left\{ \sin x \cdot \frac{1-\cos \Delta x}{\Delta x}\right\} \\[6pt] &= \cos x \cdot 1 - \sin x \cdot 0 \\[6pt] &= \cos x. \end{align}\] 코사인과 탄젠트의 도함수는 사인의 도함수로부터 유도된다. \[\begin{align} \frac{d}{dx} \cos x &= \frac{d}{dx} \sin \left( x+ \frac{\pi}{2}\right) \\[4pt] &= \cos \left( x+\frac{\pi}{2}\right) \\[6pt] &= - \sin x , \\[8pt] \frac{d}{dx} \tan x &= \frac{d}{dx} \left\{ \frac{\sin x}{\cos x}\right\} \\[4pt] &= \frac{\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot (-\sin x)}{(\cos x)^2} \\[4pt] &= \frac{1}{(\cos x)^2} \\[6pt] &= \sec^2 x . \end{align}\] 다른 삼각함수(시컨트, 코시컨트, 코탄젠트)의 도함수도 같은 방법으로 유도된다.

지수함수와 로그함수의 극한

지수함수와 로그함수의 도함수를 유도하기 위해 필요한 극한을 살펴 보자. 2장 2절(양항급수)에서 자연상수를 다음과 같이 정의하였다. \[\lim_{n\rightarrow\infty} \left( 1+\frac{1}{n}\right)^n = e.\] 여기서 자연수 \(n\)을 실수 \(x\)로 바꾼 함수의 극한도 같은 값에 수렴함이 알려져 있다. 즉 \[\lim_{x\rightarrow\infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^x = e\] 이다. 만약 위 극한에서 \(x\)를 \(1/t\)로 바꾸면 \(x\rightarrow\infty\)인 극한이 \(t\rightarrow 0^+\)인 우극한으로 바뀌어 다음 등식을 얻는다. \[\lim_{t\rightarrow 0^+} (1+t)^{\frac{1}{t}} = e.\] 만약 \(t < 0\)이고 \(s = -t\)이면 \[\begin{align} \lim_{t\rightarrow 0^-} (1+t)^{\frac{1}{t}} &= \lim_{s\rightarrow 0^+} (1-s)^{-\frac{1}{s}} \\[4pt] &= \lim_{s\rightarrow 0^+} \left( \frac{1}{1-s} \right)^{\frac{1}{s}} \\[4pt] &= \lim_{s\rightarrow 0^+} \left( 1+ \frac{s}{1-s} \right)^{\frac{1}{s}} \\[4pt] &= \lim_{s\rightarrow 0^+} \left\{ \left( 1+ \frac{s}{1-s} \right)^{\frac{1-s}{s}} \right\} ^{\frac{1}{1-s}} . \end{align}\] 이다. 그런데 \(s\rightarrow 0^+\)일 때 \[\frac{s}{1-s} \rightarrow 0^+ ,\quad \frac{1}{1-s} \rightarrow 1\] 이므로 \[\lim_{t\rightarrow 0^-} (1+t)^{\frac{1}{t}} = \lim_{s\rightarrow 0^+} \left\{ \left( 1+ \frac{s}{1-s} \right)^{\frac{1-s}{s}} \right\} ^{\frac{1}{1-s}} = e^1 =e\] 를 얻는다.

밑이 \(e\)인 지수함수 \(y=e^x\)을 자연지수함수(natural exponential function) 또는 간단히 지수함수라고 부른다. 또한 밑이 \(e\)인 로그함수를 자연로그함수(natural logarithmic function)라고 부르고 \(\ln x\)와 같이 나타낸다. 즉 \[\ln x = \log_e x \quad\text{for} \,\, x > 0\] 이다.

자연로그함수와 자연지수함수는 서로 역함수 관계이다. 즉 \(x > 0\)일 때 \[y=\ln x \quad \Longleftrightarrow \quad x=e^y\] 이다.

지수함수와 로그함수의 성질을 밝힐 때 자주 사용되는 극한 공식이 있다. 그 중 첫 번째는 다음과 같다. \[\begin{align} \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\ln (1+x)}{x} &= \lim_{x\rightarrow 0} \frac{1}{x} \ln (1+x) \\[4pt] &= \lim_{x\rightarrow 0} \ln (1+x)^{\frac{1}{x}} \\[4pt] &= \ln e \\[6pt] &= 1. \end{align}\] 두 번째 극한 공식은 다음과 같다. \[\lim_{x\rightarrow 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1.\] 이 등식을 유도해 보자. \(t = e^x -1\)이라고 하면 \(e^x = 1+t\)이고 \(x = \ln (1+t)\)이다. 더욱이 \(t\rightarrow 0\)일 때 \(x\rightarrow 0\)이다. 그러므로 \[\begin{align} \lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^x -1}{x} &= \lim_{t\rightarrow 0} \frac{t}{\ln(1+t)} \\[4pt] &= \lim_{t\rightarrow 0} \frac{1}{\, \displaystyle\frac{\ln (1+t)}{t} \,} \\[4pt] &= \frac{1}{\displaystyle\lim_{t\rightarrow 0} \ln (1+t)^{\frac{1}{t}} } \\[4pt] &= \frac{1}{\ln e} \\[6pt] &= 1 \end{align}\] 이다.

지수함수와 로그함수의 미분

\(a > 0,\) \(a\ne 1\)이라고 하자. 자연로그함수와 자연지수함수가 서로 역함수 관계이므로 다음을 얻는다. \[\begin{align} y=e^{x\ln a} \quad &\Longleftrightarrow \quad \ln y = x \ln a \\[6pt] &\Longleftrightarrow \quad x = \frac{\ln y}{\ln a} = \log_a y \\[6pt] &\Longleftrightarrow \quad y=a^x . \end{align}\] 그러므로 다음 공식을 얻는다.

이제 지수함수와 로그함수의 미분 공식을 유도하자.

먼저 자연지수함수의 도함수는 다음과 같다. \[\begin{align} \frac{d}{dx} e^x &= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{e^{x+\Delta x} - e^x}{\Delta x} \\[4pt] &= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{e^x ( e^{\Delta x} -1)}{\Delta x} \\[4pt] &= e^x \cdot \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{e^{\Delta x} -1}{\Delta x} \\[6pt] &= e^x \cdot 1 \\[6pt] &= e^x . \end{align}\] 그런데 \(a > 0,\) \(a\ne 1\)일 때 \(a^x = e^{x\ln a}\)이므로, 자연지수함수의 미분 공식으로부터 다음을 얻는다. \[\frac{d}{dx} a^x = \frac{d}{dx} e^{x\ln a} = e^{x\ln a} \cdot \ln a = a^x \ln a .\] 다음으로 자연로그함수의 도함수는 다음과 같다. \[\begin{align} \frac{d}{dx}\ln x &= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\ln (x+\Delta x) - \ln x}{\Delta x} \\[4pt] &= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{1}{\Delta x} \ln \left( 1+ \frac{\Delta x}{x}\right) \\[4pt] &= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \ln \left( 1+ \frac{\Delta x}{x} \right)^{\frac{1}{\Delta x}} \\[4pt] &= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \ln \left\{ \left( 1+ \frac{\Delta x}{x} \right)^{\frac{x}{\Delta x}} \right\} ^{\frac{1}{x}} \\[4pt] &= \frac{1}{x} \cdot \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \ln \left( 1+ \frac{\Delta x}{x} \right) ^{\frac{x}{\Delta x}} \\[4pt] &= \frac{1}{x} \cdot \ln e \\[4pt] &= \frac{1}{x}. \end{align}\] 그런데 \(a > 0,\) \(a \ne 1,\) \(x > 0\)일 때 \[\log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}\] 이므로, 자연로그함수의 미분 공식으로부터 다음을 얻는다. \[\frac{d}{dx} \log_a x = \frac{d}{dx}\left\{ \frac{\ln x}{\ln a} \right\} = \frac{1}{x\ln a} .\]

참고

삼각함수, 지수함수, 로그함수의 미분과 관련된 더 자세한 내용을 보고 싶다면 다음 글을 참고하기 바란다.

• 삼각함수와 역삼각함수의 미분 (SASA Math)
• 지수함수와 로그함수의 미분 (SASA Math)