이 글은 『미적분학 첫걸음』 4장 5절의 내용입니다. (미적분학 첫걸음 차례 보기)
벡터함수의 극한은 벡터수열의 극한과 크게 다르지 않다.
\(\vecf : D \rightarrow \vecR ^d\)가 벡터함수이고 \(c\)가 \(D\)의 집적점이라고 하자. 만약 \[\lim_{x\rightarrow c} \lvert \vecf (x) - \vecL \rvert = 0\] 을 만족시키는 벡터 \(\vecL \in \vecR ^d\)가 존재하면
“\(c\)에서 \(\vecf (x)\)가 \(\vecL\)에 수렴한다”
또는
“\(x\)가 \(c\)에 다가갈 때 \(\vecf (x)\)가 \(\vecL\)에 수렴한다”
또는
“\(x\)가 \(c\)에 다가갈 때 \(\vecf (x)\)가 \(\vecL\)에 다가간다”
라고 말한다. 이때 \(\vecL\)을 ‘\(c\)에서 \(\vecf\)의 극한’이라고 부르며, 이 상황을 기호로 \[\lim_{x\rightarrow c} \vecf (x) = \vecL\] 또는 \[\vecf (x) \rightarrow \vecL \quad\text{as}\quad x\rightarrow c\] 와 같이 나타낸다.
정리 4.5.1. (벡터함수의 극한의 성분별 계산)
\(f_1,\) \(f_2,\) \(f_3\)이 \(D\)에서 정의된 실수값 함수이고 \(c\)가 \(D\)의 집적점이라고 하자. \(\vecf\)가 \(D\)에서 \[\vecf (x) = (f_1 (x) ,\, f_2 (x) ,\, f_3 (x))\] 로 정의된 벡터함수라고 하자. 이때 \(\vecf (x)\)가 \(c\)에서 벡터 \((L_1 ,\, L_2 ,\, L_3 )\)에 수렴하기 위한 필요충분조건은 \(f_1 (x),\) \(f_2 (x) ,\) \(f_3 (x)\)가 \(c\)에서 각각 \(L_1 ,\) \(L_2 ,\) \(L_3\)에 수렴하는 것이다. \(\vecf\)의 공역이 2차원이거나 4차원 이상일 때에도 마찬가지로 성립한다.
보기 4.5.2.
- \(\vecf : \vecR \rightarrow \vecR ^3\)가 \[\vecf (x) = (2x+3 ,\, x-4 ,\, 1-x)\] 로 주어졌다고 하자. 그러면 \(-2\)에서 \(\vecf\)의 극한은 \[\lim_{x\rightarrow -2} \vecf (x) = \left( \lim_{x\rightarrow -2}(2x+3) ,\, \lim_{x\rightarrow -2}(x-4) ,\, \lim_{x\rightarrow -2}(1-x) \right) = (-1,\,-6,\,3)\] 이다.
- \(\vecf : \vecR ^2 \rightarrow \vecR ^2\)가 \[\vecf (x,\,y) = (f_1 (x,\,y) ,\, f_2 ( x,\,y))\] 로 주어져 있고, \[f_1 (x,\,y) = x+2y , \quad f_2 ( x,\,y) = -x+3y\] 라고 하자. 그러면 \((2,\,1)\)에서 \(\vecf\)의 극한은 \[\lim_{(x,\,y)\rightarrow (2,\,1)} \vecf (x,\,y) = \left( \lim_{(x,\,y)\rightarrow (2,\,1)} f_1 (x,\,y) ,\, \lim_{(x,\,y)\rightarrow (2,\,1)} f_2 ( x,\,y) \right) = (4,\,1)\] 이다.
\(f\)가 복소함수이고 \[f(x+y \imI ) = u (x,\,y) + v(x,\,y) \imI\] 로 주어졌다고 하자. 여기서 \(u\)와 \(v\)는 각각 \(\vecR ^2\)의 부분집합인 \(D\)를 정의역으로 갖고 \(\vecR ^2\)를 공역으로 갖는 함수이다. \(a,\) \(b,\) \(A,\) \(B\)가 실수이고 \(z_0 = a+b \imI\)라고 하자. 그러면 \[\lim_{z\rightarrow z_0} f(z) = A+B \imI\] 이기 위한 필요충분조건은 \[\lim_{(x,\,y) \rightarrow (a,\,b)} u(x,\,y) = A \quad\text{and}\quad \lim_{(x,\,y)\rightarrow (a,\,b)} v(x,\,y) = B\] 가 성립하는 것이다.
보기 4.5.2. 다음 예에서 \(x\)와 \(y\)는 실수 변수이다.
- 만약 \(u(x,\,y \imI ) = x-2y\)이면 \[\lim_{z\rightarrow 1-2 \imI} u(z) = \lim_{(x,\,y) \rightarrow (1,\,-2)} u(x+y \imI ) = 5\] 이다.
- 함수 \(f : \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}\)가 \[f(x+y\imI ) = u(x+y\imI ) + v(x+y\imI ) \imI \] 로 정의되어 있고, \[u(x+y\imI ) = x-2y ,\quad v(x+y\imI ) =3x+4y\] 라고 하자. 그러면 \(1-2\imI\)에서 \(f\)의 극한은 \[\begin{align} \lim_{z\rightarrow 1-2\imI} f(z) &= \lim _ {(x,\,y) \rightarrow (1,\,-2)} \left\{ u(x+y\imI ) + v(x+y\imI )\imI \right\} \\[4pt] &= \lim_{(x,\,y)\rightarrow (1,\,-2)} u(x+y\imI ) + \lim_{(x,\,y)\rightarrow (1,\,-2)} v(x+y\imI )\imI \\[4pt] &= 5- \imI \end{align}\] 이다.
- 함수 \(g : \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}\)가 \[g(x+y\imI ) = (x^2 + y^2 ) - (x+y) \imI\] 로 주어졌다고 하자. 그러면 \(3+2\imI\)에서 \(g\)의 극한은 \[\begin{align} \lim_{z \rightarrow 3+2\imI} g(z) &= \lim_{(x,\,y)\rightarrow (3,\,2)} (x^2 + y^2 ) - \lim_{(x,\,y)\rightarrow (3,\,2)} (x+y) \imI = 13-5 \imI \end{align}\] 이다.