이 글은 『미적분학 첫걸음』 4장 4절의 내용입니다. (미적분학 첫걸음 차례 보기)
\(D\)가 \(\vecR^d\)의 부분집합이고 \(\vecc\)가 \(D\)의 집적점이라고 하자. 즉 세 조건
- \(n\rightarrow\infty\)일 때 \(\vecc_n \rightarrow \vecc ,\)
- 임의의 \(n\)에 대하여 \(\vecc_n \ne \vecc ,\)
- 임의의 \(n\)에 대하여 \(\vecc_n \in D\)
를 모두 만족시키는 수열 \(\left\{ \vecc_n \right\}\)이 존재한다고 하자.
이제 함수 \(f: D \rightarrow \mathbb{R}\)가 주어졌다고 하자. 만약 \(\vecx\)가 \(\vecx \ne \vecc\)이면서 \(\vecc\)에 한없이 가까이 다가갈 때 함숫값 \(f(\vecx )\)이 \(L\)에 한없이 가까이 다가가면
“\(\vecc\)에서 \(f(\vecx )\)가 \(L\)에 수렴한다”
또는
“\(\vecx\)가 \(\vecc\)에 다가갈 때 \(f(\vecx )\)가 \(L\)에 수렴한다”
또는
“\(\vecx\)가 \(\vecc\)에 다가갈 때 \(f(\vecx )\)가 \(L\)에 다가간다”
라고 표현한다. 이때 \(L\)을 ‘\(\vecc\)에서 \(f\)의 극한’이라고 부른다. 이것을 기호로 \[\lim_{\vecx\rightarrow\vecc} f(\vecx ) = L\] 또는 \[f(\vecx ) \rightarrow L \quad \text{as} \quad \vecx \rightarrow \vecc\] 와 같이 나타낸다.
변수가 하나인 함수의 극한을 구할 때 사용했던 법칙들을 변수가 여러 개인 함수의 극한을 구할 때 사용할 수 있다. 다음 세 보기를 통해 이 사실을 확인하자.
보기 4.4.1. \[\lim_{(x,\,y)\rightarrow (0,\,1)} \frac{x-xy+3}{x^2 y + 5xy - y^3} = \frac{0-0\times 1 + 3}{0^2 \times 1 + 5 \times 0 \times 1 - 1^3} = -3. \]
보기 4.4.2. \[\lim_{(x,\,y)\rightarrow (3,\,-4)} \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{25} = 5.\]
보기 4.4.3. \[\begin{align} \lim_{(x,\,y)\rightarrow (0,\,0)} \frac{x^2 -xy}{\sqrt{x} - \sqrt{y}} &= \lim_{(x,\,y)\rightarrow (0,\,0)} \frac{(x^2 - xy)(\sqrt{x} + \sqrt{y})}{(\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y} )} \\[4pt] &= \lim_{(x,\,y)\rightarrow (0,\,0)} \frac{x(x-y)(\sqrt{x} + \sqrt{y})}{x-y} \\[4pt] &= \lim_{(x,\,y)\rightarrow (0,\,0)} x(\sqrt{x} + \sqrt{y}) \\[4pt] &= 0 \times (\sqrt{0} + \sqrt{0} ) =0 . \end{align}\]
다음 예제는 조임 정리를 이용하여 다변수함수의 극한을 구하는 예이다.
예제 4.4.4. 다음 극한을 구하시오. \[\lim_{(x,\,y)\rightarrow (0,\,0)} \frac{4xy^2}{x^2 +y^2}\]
풀이. \(x^2 + y^2 \ne 0\)일 때 \[\begin{align} \left\lvert \frac{4xy^2}{x^2 + y^2} \right\rvert &= \frac{4\lvert x \rvert y^2}{x^2 + y^2} \\[4pt] &\le \frac{4\lvert x \rvert (x^2 + y^2 )}{x^2 + y^2} \\[4pt] &= 4\lvert x \rvert \\[4pt] &= 4\sqrt{x^2} \\[4pt] &\le 4\sqrt{x^2 + y^2} \\[4pt] &= 4\lvert (x,\,y) \rvert \end{align}\] 이므로 \[ -4 \lvert ( x,\,y) \rvert \le \frac{4xy^2}{x^2 + y^2} \le 4\lvert (x,\,y) \rvert \] 이다. 그러므로 조임 정리에 의하여 \((x,\,y)\rightarrow (0,\,0)\)일 때 \[\frac{4xy^2}{x^2 + y^2} \rightarrow 0\] 이다.
변수가 실수일 때는 한 점에 다가가는 경로가 두 가지이므로 두 개의 극한, 즉 좌극한과 우극한을 생각할 수 있다. 그러나 변수가 두 개 이상인 경우, 즉 함수의 정의역이 \(\vecR^d\)이고 \(d \ge 2\)인 경우, 변수가 한 점에 다가가는 경로가 여러 가지이다. 이 사실을 이용하여 함수의 극한이 수렴하지 않음을 보일 수 있다. 다음 두 예제를 살펴보자.
예제 4.4.5. \(\displaystyle f(x,\,y) = \frac{y}{x}\)일 때 극한 \(\displaystyle \lim_{(x,\,y)\rightarrow (0,\,0)} f(x,\,y)\)를 조사하시오.
풀이. \(y=x\)이면서 \(x\rightarrow 0\)이면, \[(x,\,y) = (x,\,x) \rightarrow (0,\,0)\] 이면서 \[f(x,\,y) = \frac{y}{x} = \frac{x}{x} \rightarrow 1\] 이다. 반면 \(y=-x\)이면서 \(x\rightarrow 0\)이면, \[(x,\,y) = (x,\,-x) \rightarrow (0,\,0)\] 이면서 \[f(x,\,y) = \frac{y}{x} = - \frac{x}{x} \rightarrow -1\] 이다. 즉 \((x,\,y)\rightarrow (0,\,0)\)일 때 함숫값 \(f(x,\,y)\)은 하나의 값에 다가가지 않는다. 그러므로 \(f\)는 \((0,\,0)\)에서 수렴하지 않는다.
예제 4.4.6. \(\displaystyle f(x,\,y) = \frac{2x^2 y}{x^4 + y^2}\)일 때 극한 \(\displaystyle \lim_{(x,\,y)\rightarrow (0,\,0)} f(x,\,y)\)를 조사하시오.
풀이. \(y=x^2\)이면서 \(x\rightarrow 0\)이면, \((x,\,y)\rightarrow (0,\,0)\)이면서 \[f(x,\,y) = \frac{2x^2 y}{x^4 + y^2} = \frac{2x^4}{2x^4}=1 \rightarrow 1\] 이다. 반면 \(y=2x^2\)이면서 \(x\rightarrow 0\)이면, \((x,\,y)\rightarrow (0,\,0)\)이면서 \[f(x,\,y) = \frac{2x^2 y}{x^4 + y^2} = \frac{4x^4}{5x^4}=\frac{4}{5} \rightarrow \frac{4}{5}\] 이다. 즉 \((x,\,y)\rightarrow (0,\,0)\)일 때 함숫값 \(f(x,\,y)\)은 하나의 값에 다가가지 않는다. 그러므로 \(f\)는 \((0,\,0)\)에서 수렴하지 않는다.
다변수함수의 연속성도 일변수함수의 연속성과 마찬가지로 정의된다. 더욱이 연속함수의 유계성, 연속함수의 최대 최소 정리 등 일변수함수가 가지는 성질을 다변수함수도 가진다.
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