연속함수의 성질

by I Seul Bee

이 글은 『미적분학 첫걸음』 4장 2절의 내용입니다.  (미적분학 첫걸음 차례 보기)

정리 3.2.1에서 수열의 극한과 함수의 극한의 관계를 살펴 보았다. 함수의 연속성이 함수의 극한을 사용하여 정의되므로, 함수의 연속성 또한 수열의 극한과 밀접하게 관련되어 있다. 다음 정리를 살펴 보자.

정리 4.2.1. (수열 연속, 점열 연속, Sequential Continuity)

\(f:D \rightarrow \mathbb{R}\)가 함수이고 \(c\)가 \(D\)의 집적점이면서 \(D\)의 원소라고 하자. 이때 \(c\)에서 \(f\)가 연속이기 위한 필요충분조건은 두 조건

  • \(n\rightarrow\infty\)일 때 \(x_n \rightarrow c,\)
  • 임의의 \(n\)에 대하여 \(x_n \in D\)
를 모두 만족시키는 모든 수열 \(\left\{x_n \right\}\)에 대하여 수열 \(\left\{ f(x_n ) \right\}\)이 \(f(c)\)에 수렴하는 것이다.

수열 연속을 이용하면 함수의 극한이 수렴하지 않음을 쉽게 보일 수 있다. 다음 예를 보자.

보기 4.2.2. 함수 \(f:D \rightarrow \mathbb{R}\)가 다음과 같이 주어졌다고 하자. \[f(x) = \begin{cases} \displaystyle\sin\frac{1}{x} & \quad \text{if} \,\, x\ne 0 , \\[4pt] 0 & \quad \text{if} \,\, x=0 . \end{cases}\] 수열 \(\left\{ s_n \right\}\)과 \(\left\{ t_n \right\}\)을 다음과 같이 정의하자. \[s_n = \frac{1}{n\pi} ,\quad \, t_n = \frac{2}{(4n+1)\pi} .\] 그러면 \(n\rightarrow\infty\)일 때 \(s_n \rightarrow 0\)이고 \(t_n \rightarrow 0\)이다. 그런데 \[\lim_{n\rightarrow\infty} f(s_n) = \lim_{n\rightarrow\infty} \sin(n\pi ) = \lim_{n\rightarrow\infty} 0 =0\] 이고 \[\lim_{n\rightarrow\infty} f(t_n) = \lim_{n\rightarrow\infty} \sin \frac{(4n+1)\pi}{2} = \lim_{n\rightarrow\infty}\sin\left( 2n\pi + \frac{\pi}{2}\right) = \lim_{n\rightarrow\infty} 1 = 1\] 이다. 만약 \(f\)가 \(0\)에서 연속이라면 이 두 극한이 일치해야 한다. 그런데 \(0\ne 1\)이므로, \(f\)는 \(0\)에서 연속이 아니다.

다음은 함수가 불연속이기 때문에 발생하는 현상을 설명한 것이다.

보기 4.2.3.

함수 \(f(x) = \lfloor x \rfloor\)라고 하고 \[x_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{9}{10^k}\] 라고 하자. 그러면 \[\lim_{n\rightarrow\infty} = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{9}{10^k} = 0.999 \cdots = 1\] 이다. 그러므로 \[f\left(\lim_{n\rightarrow\infty} x_n \right) = f(0.999 \cdots ) = \lfloor 0.999 \cdots \rfloor = \lfloor 1 \rfloor = 1\] 이다. 그러나 \[\lim_{n\rightarrow\infty} f( x_n ) = \lim_{n\rightarrow\infty} \left\lfloor \sum_{k=1}^n \frac{9}{10^k} \right\rfloor = \lim_{n\rightarrow\infty} 0 = 0\] 이므로 \[\lfloor 0.999 \cdots \rfloor \ne \lim_{n\rightarrow\infty} \lfloor \,\underbrace{0.999 \cdots 9}_{n\,\,\text{times}} \,\rfloor \] 이다. 양변이 일치하지 않는 이유는 최대정수함수가 \(1\)에서 연속이 아니기 때문이다.

정리 4.2.1을 이용하면 다음 두 정리를 얻는다.

정리 4.2.2. (합성함수의 극한)

함수 \(f:A \rightarrow B\)와 \(g:B\rightarrow C\)가 주어졌다고 하자. 그리고 \(c\)가 \(A\)의 집적점이라고 하자. 또한 \(x\rightarrow c\)일 때 \(f(x)\)가 \(L\)에 수렴하고, \(L\in B\)이며 \(g\)가 \(L\)에서 연속이라고 하자. 그러면 \[\lim_{x\rightarrow c} g(f(x)) = g\left( \lim_{x\rightarrow c} f(x)\right) = g(L).\] 이 성립한다.

정리 4.2.3. (합성함수의 연속성)

함수 \(f:A \rightarrow B\)와 \(g:B\rightarrow C\)가 주어졌다고 하자. 그리고 \(c\)가 \(A\)의 집적점이라고 하자. 만약 \(f\)가 \(c\)에서 연속이고 \(g\)가 \(g(c)\)에서 연속이면, 합성함수 \(g\circ f\)가 \(c\)에서 연속이다.

보기 4.2.4. \(n\)이 양의 정수이고 \(f(x)=x^n\)이며 \(g(x)=\sin x\)라고 하자. \(f\)와 \(g\)가 모두 연속함수이므로 \[(f\circ g)(x) = \sin^n x\] 로 주어진 합성함수 \(f\circ g\) 또한 연속함수이다.

보기 4.2.5. \(f(x) = \lfloor x \rfloor\)이고 \(g(x)=x^2\)이라고 하자.

\(g\)가 연속함수이고 \(f\)가 정수가 아닌 점에서 연속이므로 합성함수 \(g\circ f\)가 정수가 아닌 점에서 연속이다.

만약 \(n\)이 정수라면 \[\lim_{x\rightarrow n^-} (g\circ f)(x) = g\left(\lim_{x\rightarrow n^-} f(x)\right) = (n-1)^2\] 이고 \[\lim_{x\rightarrow n^+} (g\circ f)(x) = g\left(\lim_{x\rightarrow n^+} f(x) \right) = n^2\] 이다. \((n-1)^2 \ne n^2\)이므로, \(x\rightarrow n\)일 때 \(g\circ f\)가 수렴하지 않는다. 그러므로 \(g\circ f\)가 \(n\)에서 불연속이다.