무한대를 포함한 극한

by I Seul Bee

이 글은 『미적분학 첫걸음』 3장 4절의 내용입니다.  (미적분학 첫걸음 차례 보기)

집합 \(D\)가 위로 유계가 아니라고 하고, 함수 \(f:D \rightarrow \mathbb{R}\)를 생각하자.

만약 \(x\)가 \(D\)에 속한 상태로 무한히 커질 때 \(f(x)\)가 하나의 값 \(L\)에 한 없이 가까이 다가간다면 “\(x\rightarrow\infty\)일 때 \(f(x)\)가 \(L\)에 수렴한다”라고 말한다. 이때 \(L\)을 양의 무한대에서 \(\boldsymbol{f(x)}\)의 극한이라고 부르며, 이 사실을 \[\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=L\] 또는 \[f(x) \rightarrow L \quad\text{as}\quad x\rightarrow\infty\] 와 같이 나타낸다.

만약 \(x\)가 \(D\)에 속한 상태로 무한히 커질 때 \(f(x)\)가 무한히 커지면 “\(x\rightarrow\infty\)일 때 \(f(x)\)가 양의 무한대로 발산한다”라고 말한다. 이 사실을 \[\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=\infty\] 또는 \[f(x) \rightarrow \infty \quad\text{as}\quad x\rightarrow\infty\] 와 같이 나타낸다.

만약 \(x\)가 \(D\)에 속한 상태로 무한히 커질 때 \(f(x)\)가 무한히 작아지면 “\(x\rightarrow\infty\)일 때 \(f(x)\)가 음의 무한대로 발산한다”라고 말한다. 이 사실을 \[\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)= -\infty\] 또는 \[f(x) \rightarrow -\infty \quad\text{as}\quad x\rightarrow\infty\] 와 같이 나타낸다.

\(f\)의 정의역 \(D\)가 아래로 유계가 아닌 경우, \(x \rightarrow -\infty\)인 극한도 마찬가지 방법으로 정의한다.

보기 3.4.1.

  1. 만약 \(f(x) = \frac{1}{x}\)이면 \[\lim_{x\rightarrow\infty}f(x) = 0 \quad\text{and}\quad \lim_{x\rightarrow -\infty} f(x) =0\] 이다.
  2. 만약 \(f(x) = \lfloor x \rfloor \)이면 \[\lim_{x\rightarrow\infty}f(x) = \infty \quad\text{and}\quad \lim_{x\rightarrow -\infty} f(x) = -\infty\] 이다.
  3. 만약 \(f(x) = e^x \sin x\)이면 \[\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x) = 0\] 이며, \(x\rightarrow -\infty\)일 때 \(f(x)\)는 진동한다.
  4. 만약 \(f(x) = \ln x\)이면 \[\lim_{x\rightarrow\infty}f(x) = \infty\] 이다. \(x\rightarrow -\infty\)일 때 \(f(x)\)의 극한은 정의되지 않는다. 왜냐하면 자연로그 함수의 정의역이 \((0,\,\infty )\)로서 아래로 유계이기 때문이다.
  5. 만약 \(f(x) = \tan^{-1} x\)이면 \[\lim_{x\rightarrow\infty}f(x) = \frac{\pi}{2} \quad\text{and}\quad \lim_{x\rightarrow -\infty} f(x) = -\frac{\pi}{2}\] 이다.

과제. \(x\rightarrow\infty\) 또는 \(x\rightarrow -\infty\)인 극한에 대하여 다음을 직접 해보자.

  1. 사칙계산과 관련된 극한의 대수적 성질을 기술하고, 예를 들어 설명해 보자.
  2. 수열 판정법을 기술해 보자.
  3. 부등식과 관련된 극한의 성질을 기술해 보자.
  4. 조임 정리를 기술하고, 예를 들어 설명해 보자.