좌극한과 우극한

점 \(c\)에서 함수 \(f\)의 극한을 생각할 때, \(x\)가 \(c\)의 왼쪽으로부터 \(c\)에 다가가는 경우와 \(x\)가 \(c\)의 오른쪽으로부터 \(c\)에 다가가는 경우를 생각할 수 있다.

\(f:D \rightarrow \mathbb{R}\)가 함수이고 \(c\)가 \(D\)의 점이라고 하자.

만약 \(x\)가 \(x < c\)를 유지한 채로 \(c\)에 다가갈 때 \(f(x)\)가 하나의 값 \(L\)에 다가가면, \(L\)을 \(c\)에서 \(f(x)\)의 좌극한(left-sided limit)이라고 부르고, 이 상황을 기호로 \[\lim_{x\rightarrow c^-} f(x) =L\] 또는 \[f(x) \rightarrow L \quad \text{as} \quad x \rightarrow c^-\] 와 같이 나타낸다.

만약 \(x\)가 \(c < x\)를 유지한 채로 \(c\)에 다가갈 때 \(f(x)\)가 하나의 값 \(M\)에 다가가면, \(M\)을 \(c\)에서 \(f(x)\)의 우극한(right-sided limit)이라고 부르고, 이 상황을 기호로 \[\lim_{x\rightarrow c^+} f(x) = M\] 또는 \[f(x) \rightarrow M \quad \text{as} \quad x \rightarrow c^+\] 와 같이 나타낸다.

좌극한과 우극한을 통틀어 한 방향 극한(one-sided limits)이라고 부른다.

\(c\)에서 \(f:D\rightarrow \mathbb{R}\)의 좌극한이 정의되려면 \(x\)가 \(D\)에 속하면서 \(c\)의 왼쪽에서 다가갈 수 있어야 한다. 즉 \(c\)가 \((-\infty ,\, c) \cap D\)의 집적점이어야 한다. 마찬가지로 \(c\)에서 \(f\)의 우극한이 정의되려면 \(c\)가 \((c,\,\infty ) \cap D\)의 집적점이어야 한다.

한 방향 극한이 발산하는 경우도 수렴하는 경우와 마찬가지 방법으로 정의한다.

다음 정리는 한 방향 극한의 정의에 의하여 자명하게 성립한다. (증명은 상위 과정에서 하겠다.)

수열의 극한의 단조수렴 정리처럼 함수의 극한도 단조수렴을 생각할 수 있다.

함수 \(f\)가 열린구간 \(I=(a,\,b)\)에서 정의되었다고 하자. [물론 \(a < b\)라고 가정한다.] 그리고 \(f\)가 \(I\)에서 단조증가한다고 하자. 즉 임의의 \(s,\,t\in I\)에 대하여 \[s\le t \quad\Rightarrow\quad f(s) \le f(t)\] 가 성립한다고 하자.

이제 \(c\in I\)가 임의로 주어졌다고 하자.

“모든 \(x\in (a,\,c)\)에 대하여 \(f(x)\le L\)”

을 만족시키는 \(L\) 중에서 가장 작은 것을 택하자. 그러면 \(x\rightarrow c^-\)일 때 \(f(x)\)는 \(L\)에 수렴한다. 왜냐하면, 만약 \(f(x)\)가 \(L\)에 수렴하지 않는다면, “모든 \(x\in (a,\,c)\)에 대하여 \(f(x)\le L\)”을 만족시키는 더 작은 \(L\)을 택할 수 있기 때문이다.

마찬가지로 “모든 \(x\in (c,\,b)\)에 대하여 \(f(x)\ge M\)”을 만족시키는 가장 큰 \(M\)을 택하면 \(x\rightarrow c^+\)일 때 \(f(x)\)가 \(M\)에 수렴한다.

\(f\)가 \(I\)에서 단조감소한다고 하여도 같은 논법으로 \(c\)에서 \(f\)의 좌극한과 우극한이 모두 수렴한다는 결론을 끌어낼 수 있다.

이로써 다음 정리를 증명하였다.