좌극한과 우극한

점 $c$에서 함수 $f$의 극한을 생각할 때, $x$가 $c$의 왼쪽으로부터 $c$에 다가가는 경우와 $x$가 $c$의 오른쪽으로부터 $c$에 다가가는 경우를 생각할 수 있다.

$f:D\to \mathbb{R}$가 함수이고 $c$가 $D$의 점이라고 하자.

만약 $x$가 $x<c$를 유지한 채로 $c$에 다가갈 때 $f(x)$가 하나의 값 $L$에 다가가면, $L$을 $c$에서 $f(x)$의 좌극한(left-sided limit)이라고 부르고, 이 상황을 기호로 $$\underset{x\to c^{-}}{lim}f(x)=L$$ 또는 $$f(x)\to L\text{as}x\to c^{-}$$ 와 같이 나타낸다.

만약 $x$가 $c<x$를 유지한 채로 $c$에 다가갈 때 $f(x)$가 하나의 값 $M$에 다가가면, $M$을 $c$에서 $f(x)$의 우극한(right-sided limit)이라고 부르고, 이 상황을 기호로 $$\underset{x\to c^{+}}{lim}f(x)=M$$ 또는 $$f(x)\to M\text{as}x\to c^{+}$$ 와 같이 나타낸다.

좌극한과 우극한을 통틀어 한 방향 극한(one-sided limits)이라고 부른다.

$c$에서 $f:D\to \mathbb{R}$의 좌극한이 정의되려면 $x$가 $D$에 속하면서 $c$의 왼쪽에서 다가갈 수 있어야 한다. 즉 $c$가 $(-\mathrm{\infty },c)\cap D$의 집적점이어야 한다. 마찬가지로 $c$에서 $f$의 우극한이 정의되려면 $c$가 $(c,\mathrm{\infty })\cap D$의 집적점이어야 한다.

한 방향 극한이 발산하는 경우도 수렴하는 경우와 마찬가지 방법으로 정의한다.

다음 정리는 한 방향 극한의 정의에 의하여 자명하게 성립한다. (증명은 상위 과정에서 하겠다.)

수열의 극한의 단조수렴 정리처럼 함수의 극한도 단조수렴을 생각할 수 있다.

함수 $f$가 열린구간 $I=(a,b)$에서 정의되었다고 하자. [물론 $a<b$라고 가정한다.] 그리고 $f$가 $I$에서 단조증가한다고 하자. 즉 임의의 $s,t\in I$에 대하여 $$s\le t\Rightarrow f(s)\le f(t)$$ 가 성립한다고 하자.

이제 $c\in I$가 임의로 주어졌다고 하자.

“모든 $x\in (a,c)$에 대하여 $f(x)\le L$”

을 만족시키는 $L$ 중에서 가장 작은 것을 택하자. 그러면 $x\to c^{-}$일 때 $f(x)$는 $L$에 수렴한다. 왜냐하면, 만약 $f(x)$가 $L$에 수렴하지 않는다면, “모든 $x\in (a,c)$에 대하여 $f(x)\le L$”을 만족시키는 더 작은 $L$을 택할 수 있기 때문이다.

마찬가지로 “모든 $x\in (c,b)$에 대하여 $f(x)\ge M$”을 만족시키는 가장 큰 $M$을 택하면 $x\to c^{+}$일 때 $f(x)$가 $M$에 수렴한다.

$f$가 $I$에서 단조감소한다고 하여도 같은 논법으로 $c$에서 $f$의 좌극한과 우극한이 모두 수렴한다는 결론을 끌어낼 수 있다.

이로써 다음 정리를 증명하였다.