이 글은 『미적분학 첫걸음』 2장 4절의 내용입니다. (미적분학 첫걸음 차례 보기)
무한급수 \[ \sum_{n=1}^{\infty}c_n \] 에서 이웃한 두 항의 부호가 계속 번갈아 나타나면 이 급수를 교대급수(alternating series)라고 부른다. 특히 양수열 \(\left\{a_n\right\}\)에 대하여 \[ \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}a_n = a_1-a_2+a_3-a_4+\cdots \] 는 교대급수이다. 모든 항의 부호를 반대로 한 \[ \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^na_n \] 도 물론 교대급수이며, 두 급수의 수렴 여부는 같다.
교대급수 판정법
정리 2.4.1. (교대급수 판정법, Alternating Series Test)
\(\left\{a_n\right\}\)이 양수열이고 단조감소한다고 하자. 이때 무한급수 \[ \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}a_n \] 이 수렴할 필요충분조건은 \[ \lim_{n\rightarrow\infty}a_n=0 \] 인 것이다.
증명.
먼저 급수가 수렴한다고 하자. 일반항 판정법에 의하여 \[ (-1)^{n-1}a_n\rightarrow0. \] 따라서 \[ a_n = \left| (-1)^{n-1}a_n \right| \rightarrow0. \] 그러므로 \(a_n\rightarrow0\)은 필요조건이다.
이제 \[ a_n\rightarrow0 \] 이라고 가정하고 급수가 수렴함을 보이자. 부분합을 \[ S_n = \sum_{k=1}^{n}(-1)^{k-1}a_k \] 라고 하자.
짝수 번째 부분합에 대하여 \[ \begin{aligned} S_{2n+2} &= S_{2n} +a_{2n+1}-a_{2n+2}\\ &\ge S_{2n} \end{aligned} \] 이다. 따라서 \(\left\{S_{2n}\right\}\)은 단조증가한다.
한편 홀수 번째 부분합에 대하여 \[ \begin{aligned} S_{2n+3} &= S_{2n+1} -a_{2n+2}+a_{2n+3}\\ &\le S_{2n+1} \end{aligned} \] 이다. 따라서 \(\left\{S_{2n+1}\right\}\)은 단조감소한다.
또한 \[ S_{2n} \le S_{2n+1} \] 이고 \[ S_2 \le S_{2n} \le S_{2n+1} \le S_1. \] 따라서 \(\left\{S_{2n}\right\}\)은 위로 유계이고, \(\left\{S_{2n+1}\right\}\)은 아래로 유계이다. 단조수렴 정리에 의하여 두 수열은 각각 어떤 실수 \(L\), \(M\)에 수렴한다.
그런데 \[ S_{2n+1}-S_{2n}=a_{2n+1}\rightarrow0 \] 이므로 \[ M-L=0. \] 따라서 \[ L=M. \] 짝수 번째 부분합과 홀수 번째 부분합이 같은 값에 수렴하므로 전체 부분합수열 \(\left\{S_n\right\}\)도 그 값에 수렴한다. 따라서 주어진 교대급수는 수렴한다.
보기 2.4.1. 교대급수 판정법을 이용하면 다음 두 급수가 수렴함을 알 수 있다. \[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}, \qquad \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt n}. \]
실제로 \[ \frac1n\rightarrow0, \qquad \frac1{\sqrt n}\rightarrow0 \] 이고 두 수열은 단조감소한다.
한편 절댓값을 취한 급수는 각각 \[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac1n, \qquad \sum_{n=1}^{\infty}\frac1{\sqrt n} \] 이다. 이들은 각각 \(p=1\), \(p=\frac12\)인 \(p\)-급수이므로 모두 발산한다. 따라서 원래 두 급수는 모두 조건수렴한다.
보기 2.4.2. 다음 무한급수가 수렴하도록 하는 실수 \(x\)의 범위를 구하시오. \[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}. \]
풀이. 먼저 \[ |x| < 1 \] 이라고 하자. 절댓값 급수의 일반항을 \[ b_n=\frac{|x|^n}{n} \] 이라고 하면 \[ \frac{b_{n+1}}{b_n} = |x|\frac{n}{n+1} \rightarrow |x| < 1. \] 따라서 비 판정법에 의하여 \[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{|x|^n}{n} \] 이 수렴한다. 그러므로 원래 급수는 절대수렴한다.
이제 \[ |x|>1 \] 이라고 하자. 이 경우 \[ \frac{|x|^{n+1}/(n+1)}{|x|^n/n} = |x|\frac{n}{n+1} \rightarrow |x|>1. \] 따라서 \(|x|^n/n\)은 \(0\)에 수렴하지 않는다. 그러므로 \[ \frac{x^n}{n} \] 도 \(0\)에 수렴하지 않으며, 일반항 판정법에 의하여 주어진 급수는 발산한다.
\(x=1\)이면 \[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac1n \] 이므로 발산한다.
\(x=-1\)이면 \[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}. \] 이 급수는 모든 항의 부호를 바꾸면 \[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n} \] 이 되므로 교대급수 판정법에 의하여 수렴한다.
따라서 주어진 무한급수가 수렴할 필요충분조건은 \[ -1\le x < 1 \] 이다.
교대급수의 오차 추정
\(\left\{a_n\right\}\)이 양수열이고 단조감소하며 \[ a_n\rightarrow0 \] 이라고 하자. 교대급수 \[ S = \sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k-1}a_k \] 의 \(n\)번째 부분합을 \[ S_n = \sum_{k=1}^{n}(-1)^{k-1}a_k \] 라고 하자.
정리 2.4.1의 증명에서 \[ S_{2m}\le S\le S_{2m+1} \] 임을 알 수 있다.
\(n\)이 짝수이면 \[ S_n\le S\le S_{n+1} = S_n+a_{n+1}, \] 따라서 \[ 0\le S-S_n\le a_{n+1}. \]
\(n\)이 홀수이면 \[ S_{n+1}\le S\le S_n \] 이고 \[ S_n-S_{n+1}=a_{n+1} \] 이므로 \[ 0\le S_n-S\le a_{n+1}. \]
두 경우를 합치면 다음 결과를 얻는다.
따름정리 2.4.2. (교대급수의 오차 추정)
\(\left\{a_n\right\}\)이 양수열이고 단조감소하며 \[ a_n\rightarrow0 \] 이라고 하자. 또한 \[ S = \sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k-1}a_k, \qquad S_n = \sum_{k=1}^{n}(-1)^{k-1}a_k \] 라고 하자. 그러면 \[ |S-S_n| \le a_{n+1}. \] 즉 교대급수를 \(n\)번째 항까지 계산했을 때 생기는 오차의 절댓값은 첫 번째 생략된 항의 절댓값보다 크지 않다.
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