절대수렴과 조건수렴

증명.

먼저 \[ \sum_{n=1}^{\infty}|a_n| \] 이 수렴한다고 하자. 모든 \(n\)에 대하여 \[ 0\le a_n^+\le|a_n|, \qquad 0\le a_n^-\le|a_n| \] 이므로 비교 판정법에 의하여 \[ \sum_{n=1}^{\infty}a_n^+, \qquad \sum_{n=1}^{\infty}a_n^- \] 가 모두 수렴한다.

거꾸로 이 두 급수가 모두 수렴한다고 하자. 그러면 \[ |a_n|=a_n^++a_n^- \] 이므로 무한급수의 선형성에 의하여 \[ \sum_{n=1}^{\infty}|a_n| = \sum_{n=1}^{\infty}a_n^+ + \sum_{n=1}^{\infty}a_n^- \] 도 수렴한다. 따라서 \[ \sum_{n=1}^{\infty}a_n \] 은 절대수렴한다.

증명.

보조정리 2.3.1에 의하여 \[ \sum_{n=1}^{\infty}a_n^+ \quad\text{와}\quad \sum_{n=1}^{\infty}a_n^- \] 가 모두 수렴한다. 그런데 \[ a_n=a_n^+-a_n^- \] 이므로 무한급수의 선형성에 의하여 \[ \sum_{n=1}^{\infty}a_n = \sum_{n=1}^{\infty}a_n^+ - \sum_{n=1}^{\infty}a_n^- \] 이 수렴한다.

증명.

재배열된 급수의 \(N\)번째 부분합을 \[ T_N = \sum_{k=1}^{N}a_{r_k} \] 라고 하자. \(r_1,\ldots,r_N\) 가운데 가장 큰 값을 \(m\)이라고 하면 모든 항이 음이 아니므로 \[ T_N \le \sum_{k=1}^{m}a_k \le S. \] 따라서 \(\left\{T_N\right\}\)은 단조증가하면서 위로 유계이므로 어떤 실수 \(T\)에 수렴하고 \[ T\le S. \]

반대로 양의 정수 \(m\)을 고정하자. \(r\)가 일대일 대응이므로 \(1,2,\ldots,m\)은 각각 재배열된 수열의 어느 위치엔가 나타난다. 따라서 충분히 큰 \(N\)을 택하면 \[ \{1,2,\ldots,m\} \subseteq \{r_1,r_2,\ldots,r_N\}. \] 모든 항이 음이 아니므로 \[ \sum_{k=1}^{m}a_k \le T_N \le T. \] \(m\rightarrow\infty\)로 보내면 \[ S\le T. \] 따라서 \[ S=T. \]

증명.

급수 \[ \sum_{n=1}^{\infty}|a_n| \] 은 음이 아닌 항으로 이루어진 수렴급수이고 \[ \left\{|a_{r_n}|\right\} \] 은 \(\left\{|a_n|\right\}\)의 재배열이다. 따라서 앞의 보조정리에 의하여 \[ \sum_{n=1}^{\infty}|a_{r_n}| = \sum_{n=1}^{\infty}|a_n| < \infty. \] 그러므로 재배열된 급수도 절대수렴한다.

또한 보조정리 2.3.1에 의하여 \[ \sum_{n=1}^{\infty}a_n^+, \qquad \sum_{n=1}^{\infty}a_n^- \] 가 모두 수렴한다. \(\left\{a_{r_n}^+\right\}\)과 \(\left\{a_{r_n}^-\right\}\)은 각각 이 두 수열의 재배열이므로 \[ \sum_{n=1}^{\infty}a_{r_n}^+ = \sum_{n=1}^{\infty}a_n^+ \] 이고 \[ \sum_{n=1}^{\infty}a_{r_n}^- = \sum_{n=1}^{\infty}a_n^-. \] 따라서 \[ \begin{aligned} \sum_{n=1}^{\infty}a_{r_n} &= \sum_{n=1}^{\infty}a_{r_n}^+ - \sum_{n=1}^{\infty}a_{r_n}^-\\ &= \sum_{n=1}^{\infty}a_n^+ - \sum_{n=1}^{\infty}a_n^-\\ &= \sum_{n=1}^{\infty}a_n. \end{aligned} \]

증명.

먼저 조건수렴하는 급수의 양의 항들의 합과 음의 항들의 절댓값의 합이 모두 양의 무한대로 발산함을 보이자.

\[ S_N=\sum_{n=1}^{N}a_n, \qquad A_N=\sum_{n=1}^{N}|a_n| \] 이라고 하자. 원래 급수는 수렴하므로 어떤 실수 \(S\)에 대하여 \[ S_N\rightarrow S. \] 반면 절대수렴하지 않으므로 음이 아닌 항으로 이루어진 급수 \[ \sum_{n=1}^{\infty}|a_n| \] 은 양의 무한대로 발산한다. 따라서 \[ A_N\rightarrow\infty. \]

또한 \[ P_N = \sum_{n=1}^{N}a_n^+ = \frac{A_N+S_N}{2} \] 이고 \[ Q_N = \sum_{n=1}^{N}a_n^- = \frac{A_N-S_N}{2}. \] 따라서 \[ P_N\rightarrow\infty, \qquad Q_N\rightarrow\infty. \] 즉 양의 항들의 합은 양의 무한대로 발산하고, 음의 항들의 절댓값의 합도 양의 무한대로 발산한다.

원래 급수에 나타나는 양의 항들을 원래의 순서대로 \[ p_1,p_2,p_3,\ldots \] 라고 하고, 음의 항들을 \[ -q_1,-q_2,-q_3,\ldots \qquad (q_j>0) \] 라고 하자. 그러면 \[ \sum_{j=1}^{\infty}p_j=\infty, \qquad \sum_{j=1}^{\infty}q_j=\infty. \] 또한 원래 급수가 수렴하므로 \(a_n\rightarrow0\)이고, 따라서 \[ p_j\rightarrow0, \qquad q_j\rightarrow0. \]

이제 다음과 같이 항을 재배열한다. 사용하지 않은 양의 항들을 원래 순서대로 하나씩 더하여 부분합이 \(A\)보다 커질 때까지 계속한다. 그다음 사용하지 않은 음의 항들을 원래 순서대로 하나씩 더하여 부분합이 \(A\)보다 작아질 때까지 계속한다. 다시 양의 항을 더하여 \(A\)를 넘고, 다시 음의 항을 더하여 \(A\) 아래로 내려가는 과정을 반복한다.

양의 항을 더한 직후의 부분합들을 \(U_1,U_2,\ldots\), 음의 항을 더한 직후의 부분합들을 \(V_1,V_2,\ldots\)라고 하자. 각 단계에서 \(A\)를 처음 넘어서는 순간 멈추므로, 충분히 큰 \(j\)에 대하여 \[ 0

재배열 과정에서 양의 항과 음의 항을 계속 새로 사용하므로 \[ i_j\rightarrow\infty, \qquad \ell_j\rightarrow\infty. \] 따라서 \[ p_{i_j}\rightarrow0, \qquad q_{\ell_j}\rightarrow0, \] 이고 \[ U_j\rightarrow A, \qquad V_j\rightarrow A. \]

양의 항을 더하는 동안의 모든 중간 부분합은 바로 앞의 \(V_j\)와 다음 \(U_{j+1}\) 사이에 있고, 음의 항을 더하는 동안의 모든 중간 부분합은 \(U_j\)와 \(V_j\) 사이에 있다. 따라서 재배열된 급수의 모든 부분합은 \(A\)에 수렴한다.

이 과정은 양의 항과 음의 항을 각각 원래 순서대로 모두 사용한다. 원래 급수에 \(0\)인 항이 있다면 그 항들도 과정 중에 차례로 삽입하면 된다. \(0\)인 항은 부분합의 값을 바꾸지 않는다. 따라서 이렇게 얻은 급수는 원래 급수의 실제 재배열이고 그 합은 \(A\)이다.