상극한과 하극한

\(\left\{a_n\right\}\)이 \(a_n = (-1)^n\)으로 정의된 실수열이라고 하자. 이 수열은 수렴하지 않는다. 그러나 이 수열의 두 부분수열 \(\left\{ a_{2n}\right\}\)과 \(\left\{a_{2n+1}\right\}\)을 살펴보면 \(n\,\rightarrow\,\infty\)일 때 \[a_{2n} \,\rightarrow\,1 \quad\text{and}\quad a_{2n+1} \,\rightarrow\,-1\] 로서 각각 \(1\)과 \(-1\)에 수렴한다. 더욱이, 만약 \(\left\{a_{r_n}\right\}\)이 \(\left\{a_n\right\}\)의 부분수열이고 어떤 값에 수렴하다면 그 극한값은 \(1\)보다 클 수 없고 \(-1\)보다 작을 수 없다. 이러한 관점에서 \(1\)과 \(-1\)을 각각 \(\left\{a_n\right\}\)의 상극한, 하극한이라고 부른다.

실수열의 상극한과 하극한이 개념을 더 정확하게 살펴보자.

수열의 집적점

\(\left\{a_n\right\}\)이 실수열이고 \(\lambda\)가 실수라고 하자. 만약 \(\left\{a_n\right\}\)의 부분수열 \(\left\{a_{r_n}\right\}\)이 존재하여 이 부분수열이 \(\lambda\)에 수렴하면 \(\lambda\)를 \(\left\{a_n\right\}\)의 집적점(cluster point)이라고 부른다.

\(\left\{a_n\right\}\)이 유계인 실수열이라고 하자. 그리고 양수 \(M\)이 \(\left\lvert a_n \right\rvert\)의 상계라고 하자. 즉 임의의 \(n\)에 대하여 \( \left\lvert a_n \right\rvert \le M\)이라고 하자.

\(I = [-M, \,M]\)이라고 하면 이 닫힌구간을 길이가 같은 두 닫힌구간으로 쪼갠 \([-M ,\, 0]\)과 \([0,\,M]\) 중 적어도 하나는 \(\left\{a_n\right\}\)의 항을 무한히 많이 가진다. 그 구간을 \(I_0 = \left[x_0 ,\, y_0 \right]\)이라고 하자. 다시 \(I_0\)를 두 닫힌구간으로 쪼갠 \[\left[x_0 ,\, \frac{x_0 + y_0}{2} \right] \quad\text{and}\quad \left[\frac{x_0 + y_0}{2} ,\, y_0 \right]\] 중 적어도 하나는 \(\left\{a_n\right\}\)의 항을 무한히 많이 가진다. 그 구간을 \(I_1 = \left[x_1 ,\, y_1 \right]\)이라고 하자. 이 과정을 반복하면 닫힌구간열 \[I_0 ,\, I_1 ,\, I_2 ,\, \cdots\] 를 얻는다. \(I_n = \left[ x_n ,\, y_n \right]\)이라고 하자. 구간 \(I_n\)의 길이는 \(2^{-n} M\)이며 \(\left\{a_n\right\}\)의 항을 무한히 많이 가진다.

\(I_1\)에 속하는 항을 하나 잡아서 \(a_{m_1} \in I_1\)이라고 하자. 다음으로 \[a_{m_2}\in I_2 \quad\text{and}\quad m_1 < m_2 \] 를 모두 만족시키는 정수 \(m_2\)를 택하자. 귀납적으로, 정수 \(m_k\)가 주어졌을 때 \[a_{m_{k+1}}\in I_{k+1} \quad\text{and}\quad m_k < m_{k+1} \] 을 모두 만족시키는 정수 \(m_{k+1}\)을 택하자.

\(I_n\)의 왼쪽 끝점으로 만든 수열 \(\left\{x_n\right\}\)은 단조증가하고, \(I_n\)의 오른쪽 끝점으로 만든 수열 \(\left\{y_n\right\}\)은 단조감소한다. 또한 이 두 수열은 유계이다. 그러므로 단조수렴 정리에 의하여 이 두 수열은 수렴한다. 그 극한값을 각각 \(X,\) \(Y\)라 하자. \(n\,\rightarrow\,\infty\)일 때 구간 \(I_n\)의 길이가 \(0\)에 수렴하므로 \(\left\lvert x_n - y_n \right\rvert \,\rightarrow\,0\)이다. 즉 \(\left\{x_n\right\}\)과 \(\left\{y_n\right\}\)은 같은 값에 수렴한다. 그러므로 \(X=Y\)이다. 이 값을 \(\lambda = X = Y\)라고 하자. 임의의 \(n\)에 대하여 \[x_n \le a_{m_n} \le y_n\] 이므로 조임 정리에 의하여 \(\left\{a_{m_n}\right\}\)은 \(\lambda\)에 수렴한다. 즉 \(\left\{a_n\right\}\)은 수렴하는 부분수열을 가진다.

이로써 다음 정리를 얻는다.

참고. 위 정리의 역은 성립하지 않는다. 예컨대 \[r_n = (-2)^n + 2^n\] 이라고 하면 수열 \(\left\{ r_n \right\}\)은 \(0\)을 집적점으로 갖지만 \(\left\{r_n\right\}\)은 유계가 아니다.

상극한과 하극한

\(\left\{a_n \right\}\)이 유계인 실수열이라고 하자. 그리고 \(\left\{a_n \right\}\)의 집적점들의 모임을 \(C\)라고 하자. 그러면 \(C\)는 공집합이 아니며 최댓값과 최솟값을 가진다. 이때 \(C\)의 최댓값을 \(\left\{a_n \right\}\)의 상극한(limit superior)이라고 부르고, \(C\)의 최솟값을 \(\left\{a_n \right\}\)의 하극한(limit inferior)이라고 부른다.

\(\left\{a_n\right\}\)의 상극한이 \(\overline{L}\)인 것을 기호로 \[\varlimsup _{n\rightarrow\infty} a_n = \overline{L}\] 또는 \[\limsup _{n\rightarrow\infty} a_n = \overline{L}\] 과 같이 나타내며, \(\left\{a_n\right\}\)의 하극한이 \(\underline{L}\)인 것을 기호로 \[\varliminf _{n\rightarrow\infty} a_n = \underline{L}\] 또는 \[\liminf _{n\rightarrow\infty} a_n = \underline{L}\] 과 같이 나타낸다.

유계가 아닌 실수열의 상극한과 하극한을 다음과 같이 정의한다.

• 만약 \(\left\{ a_n \right\}\)이 위로 유계가 아니면 \[\varlimsup_{n\rightarrow\infty} a_n = \infty\]라고 정의한다.
• 만약 \(\left\{ a_n \right\}\)이 아래로 유계가 아니면 \[\varliminf_{n\rightarrow\infty} a_n = -\infty\]라고 정의한다.
• 만약 \(\left\{ a_n \right\}\)이 양의 무한대로 발산하면 \[\varliminf_{n\rightarrow\infty} a_n = \infty\]라고 정의한다.
• 만약 \(\left\{ a_n \right\}\)이 음의 무한대로 발산하면 \[\varlimsup_{n\rightarrow\infty} a_n = -\infty\]라고 정의한다.

이로써 상극한과 하극한은 임의의 수열에 대하여 정의된다. 이것은 앞에서 살펴본 극한이 진동하는 수열에 대해서는 정의되지 않았던 것과는 다른 성질이다.

다음 정리는 상극한과 하극한의 정의부터 곧바로 유도되는 성질이다.

더욱이 수열의 상극한과 하극한은 수열의 수렴과 관련하여 다음과 같은 성질을 가진다.

위 정리는 주어진 유계수열이 수렴하지 않음을 보일 때 유용하다. 다음 예를 보자.