이 글은 『미적분학 첫걸음』 1장 5절의 내용입니다. (미적분학 첫걸음 차례 보기)
유계수열
\(E\)가 실수의 집합이라고 하자. 모든 \(x\in E\)에 대하여 \[ x\le M \] 을 만족시키는 실수 \(M\)이 존재하면 \(E\)가 위로 유계(bounded above)라고 말하고 \(M\)을 \(E\)의 상계라고 부른다. 반대로 모든 \(x\in E\)에 대하여 \[ m\le x \] 를 만족시키는 실수 \(m\)이 존재하면 \(E\)가 아래로 유계(bounded below)라고 말하고 \(m\)을 \(E\)의 하계(lower bound)라고 부른다.
집합 \(E\)가 위로 유계이면서 아래로 유계이면 \(E\)가 유계(bounded)라고 말한다. 이것은 어떤 양수 \(B\)가 존재하여 모든 \(x\in E\)에 대하여 \[ |x|\le B \] 가 성립하는 것과 동치이다.
예를 들어 닫힌구간 \[ I=[-3,\,4] \] 에 대하여 모든 \(x\in I\)에서 \[ |x|\le4 \] 이므로 \(I\)는 유계이다. 한편 \[ J=\left\{x\in\mathbb{R}\,\middle|\,x\ge3\right\} \] 은 위로 유계가 아니지만 아래로 유계이다. 또한 모든 음의 실수의 집합은 위로 유계이지만 아래로 유계가 아니다.
보기 1.5.1.
- 집합 \[ A=\left\{x\in\mathbb{R}\,\middle|\,-4\le x < 5\right\} \] 는 유계이다.
- \(\mathbb{R}\)의 임의의 유한부분집합은 유계이다.
- \(\mathbb{N}\)은 아래로 유계이지만 위로는 유계가 아니다. 따라서 \(\mathbb{N}\)은 유계가 아니다.
- \(\mathbb{Q}\)는 위로 유계가 아니며 아래로도 유계가 아니다.
수열의 유계성도 같은 방법으로 정의한다. \(\left\{a_n\right\}\)이 실수열이라고 하자.
- 어떤 실수 \(m\)이 존재하여 모든 첨자 \(n\)에 대하여 \[ m\le a_n \] 이면 \(\left\{a_n\right\}\)이 \(m\)에 의하여 아래로 유계라고 말한다.
- 어떤 실수 \(M\)이 존재하여 모든 첨자 \(n\)에 대하여 \[ a_n\le M \] 이면 \(\left\{a_n\right\}\)이 \(M\)에 의하여 위로 유계라고 말한다.
- \(\left\{a_n\right\}\)이 위로 유계이면서 아래로 유계이면 \(\left\{a_n\right\}\)을 유계수열(bounded sequence)이라고 부른다.
따라서 \(\left\{a_n\right\}\)이 유계수열일 필요충분조건은 어떤 양수 \(B\)가 존재하여 모든 첨자 \(n\)에 대하여 \[ |a_n|\le B \] 가 성립하는 것이다.
보기 1.5.2.
- 수열 \(\left\{n\right\}\)은 위로 유계가 아니지만 아래로 유계이다.
- 수열 \[ \left\{\frac{n+1}{n}\right\} \] 은 유계이다. 실제로 모든 양의 정수 \(n\)에 대하여 \[ 1\le\frac{n+1}{n}\le2 \] 이다.
- 수열 \(\left\{(-1)^n\right\}\)은 유계이다. 실제로 \[ -1\le(-1)^n\le1 \] 이다.
- 수열 \(\left\{(-2)^n\right\}\)은 위로 유계가 아니고 아래로도 유계가 아니다.
- 임의의 상수수열은 유계이다.
정리 1.5.1. (수렴하는 수열의 유계성)
실수열이 수렴하면 그 수열은 유계수열이다.
증명.
\(\left\{a_n\right\}\)이 \(L\)에 수렴한다고 하자. 수렴의 정의에서 \(\epsilon=1\)로 놓으면 어떤 첨자 \(N\)이 존재하여 \(n\ge N\)인 모든 첨자 \(n\)에 대하여 \[ |a_n-L| < 1 \] 이다. 따라서 \[ |a_n| \le |a_n-L|+|L| < |L|+1. \]
한편 \(N\)보다 앞에 있는 항은 유한 개뿐이다. 그 항들의 절댓값과 \(|L|+1\) 가운데 가장 큰 값을 \(M\)이라고 하자. 그러면 모든 첨자 \(n\)에 대하여 \[ |a_n|\le M. \] 따라서 \(\left\{a_n\right\}\)은 유계수열이다.
주의. 유계인 수열이 모두 수렴하는 것은 아니다. 예를 들어 \[ a_n=(-1)^n \] 이면 \(\left\{a_n\right\}\)은 유계이지만 수렴하지 않고 진동한다.
단조수열
유계인 실수열이 항상 수렴하는 것은 아니다. 그러나 유계인 실수열이 단조수열이면 반드시 수렴한다.
\(\left\{a_n\right\}\)이 실수열이라고 하자. 이때 다음과 같이 정의한다.
- 모든 첨자 \(n\)에 대하여 \[ a_n\le a_{n+1} \] 이면 \(\left\{a_n\right\}\)이 단조증가한다(increases monotonically)고 말한다.
- 모든 첨자 \(n\)에 대하여 \[ a_n\ge a_{n+1} \] 이면 \(\left\{a_n\right\}\)이 단조감소한다(decreases monotonically)고 말한다.
- 단조증가하는 수열과 단조감소하는 수열을 통틀어 단조수열(monotone sequence)이라고 부른다.
보기 1.5.3.
- 수열 \(\left\{n\right\}\)은 단조증가한다.
- 수열 \[ \left\{\frac{n+1}{n}\right\} \] 은 단조감소한다.
- 수열 \(\left\{(-1)^n\right\}\)은 단조증가하지도 않고 단조감소하지도 않는다.
- 임의의 상수수열은 단조증가하면서 동시에 단조감소한다.
공집합이 아닌 실수의 집합 \(E\)가 아래로 유계라고 하자. \(E\)의 모든 하계 중 가장 큰 값을 \(E\)의 최대하계(greatest lower bound) 또는 하한(infimum)이라고 부르고 \[ \inf E \] 와 같이 나타낸다. 실수계의 최소상계 성질에 의하여 최대하계도 존재한다. 실제로 \[ \inf E = -\sup\{-x\mid x\in E\}. \]
정리 1.5.2. (단조수렴 정리)
- 단조증가하면서 위로 유계인 실수열은 수렴한다. 그 극한은 그 수열의 항들로 이루어진 집합의 최소상계이다.
- 단조감소하면서 아래로 유계인 실수열은 수렴한다. 그 극한은 그 수열의 항들로 이루어진 집합의 최대하계이다.
따라서 단조이면서 유계인 실수열은 수렴한다.
증명.
(1) \(\left\{a_n\right\}\)이 단조증가하면서 위로 유계라고 하자. 수열의 항들로 이루어진 집합을 \[ E=\{a_n\} \] 이라고 하고 \[ L=\sup E \] 라고 하자. 실수계의 최소상계 성질에 의하여 \(L\)은 존재한다.
양수 \(\epsilon\)이 임의로 주어졌다고 하자. \(L-\epsilon\)은 \(E\)의 상계가 될 수 없다. 만약 상계라면 \(L\)보다 작은 상계가 존재하게 되어 \(L\)이 최소상계라는 사실에 모순이기 때문이다. 따라서 어떤 첨자 \(N\)이 존재하여 \[ L-\epsilon < a_N. \]
수열이 단조증가하므로 \(n\ge N\)이면 \[ a_N\le a_n. \] 또한 \(L\)은 \(E\)의 상계이므로 \[ a_n\le L. \] 따라서 \(n\ge N\)이면 \[ L-\epsilon < a_N \le a_n \le L, \] 즉 \[ |a_n-L| < \epsilon. \] 그러므로 \[ a_n\rightarrow L. \]
(2) \(\left\{a_n\right\}\)이 단조감소하면서 아래로 유계라고 하자. 다음 수열을 생각하자. \[ b_n=-a_n. \] 그러면 \(\left\{b_n\right\}\)은 단조증가하면서 위로 유계이다. 따라서 (1)에 의하여 어떤 실수 \(M\)에 수렴한다. 정리 1.3.1에 의하여 \[ a_n=-b_n\rightarrow-M. \] 또한 \(-M\)은 \(\{a_n\}\)의 최대하계이다. 따라서 단조감소하면서 아래로 유계인 수열도 자신의 최대하계에 수렴한다.
단조수렴 정리는 극한값을 미리 알지 못하는 상태에서 수열의 수렴을 증명할 때 특히 유용하다.
예제 1.5.4. 수열 \(\left\{a_n\right\}\)이 다음과 같이 주어졌다고 하자. \[ a_1=1, \qquad a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}. \] 이때 \(\left\{a_n\right\}\)이 수렴함을 보이고 그 극한값을 구하시오.
풀이. 먼저 모든 양의 정수 \(n\)에 대하여 \[ 1\le a_n\le2 \] 임을 보이자. \(a_1=1\)이므로 \(n=1\)에서는 성립한다. 어떤 \(n\)에 대하여 \[ 1\le a_n\le2 \] 라고 가정하면 \[ 1 < \sqrt{3} \le a_{n+1} = \sqrt{2+a_n} \le \sqrt4 = 2. \] 따라서 수학적 귀납법에 의하여 모든 \(n\)에 대하여 \[ 1\le a_n\le2. \] 특히 \(\left\{a_n\right\}\)은 위로 유계이다.
또한 \[ \begin{aligned} a_{n+1}^2-a_n^2 &= 2+a_n-a_n^2\\ &= (2-a_n)(a_n+1)\\ &\ge0. \end{aligned} \] \(a_n\)과 \(a_{n+1}\)이 모두 양수이므로 \[ a_{n+1}\ge a_n. \] 따라서 \(\left\{a_n\right\}\)은 단조증가한다.
그러므로 단조수렴 정리에 의하여 \(\left\{a_n\right\}\)은 수렴한다. 그 극한을 \(L\)이라고 하자. 수열에서 유한 개의 처음 항을 제거해도 극한은 변하지 않으므로 \[ \lim_{n\rightarrow\infty}a_{n+1}=L. \] 정리 1.3.1을 이용하면 \[ \begin{aligned} L &= \lim_{n\rightarrow\infty}a_{n+1}\\ &= \lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt{2+a_n}\\ &= \sqrt{ 2+\lim_{n\rightarrow\infty}a_n }\\ &= \sqrt{2+L}. \end{aligned} \] 따라서 \[ L^2=L+2, \] 즉 \[ (L-2)(L+1)=0. \] 모든 \(a_n\ge1\)이므로 정리 1.3.2에 의하여 \(L\ge1\)이다. 따라서 \[ L=2. \] 그러므로 \[ \lim_{n\rightarrow\infty}a_n=2. \]
수열이 귀납적으로 정의되어 있을 때에는 먼저 수열이 수렴한다는 사실을 확인한 뒤 극한법칙을 적용해야 한다. 수렴 여부를 확인하지 않고 극한값에 관한 방정식만 세우면 잘못된 결론을 얻을 수 있다.
보기 1.5.5. 수열 \(\left\{b_n\right\}\)이 \[ b_1=b_2=1, \qquad b_{n+2}=b_{n+1}+b_n \] 으로 주어졌다고 하자.
만약 \(\left\{b_n\right\}\)이 수렴한다고 가정하고 그 극한을 \(L\)이라고 하면 \[ \begin{aligned} L &= \lim_{n\rightarrow\infty}b_{n+2}\\ &= \lim_{n\rightarrow\infty}(b_{n+1}+b_n)\\ &= L+L = 2L. \end{aligned} \] 따라서 \(L=0\)을 얻게 된다. 그러나 이것은 수열이 수렴한다는 잘못된 가정에서 얻은 결론이다.
실제로 모든 항은 \(1\) 이상이고, \(n\ge2\)일 때 \[ b_{n+1} = b_n+b_{n-1} \ge b_n+1. \] 따라서 귀납적으로 \[ b_n\ge n-1 \qquad(n\ge2) \] 이다. 그런데 \[ n-1\rightarrow\infty \] 이므로 극한의 순서 보존 성질에 의하여 \[ b_n\rightarrow\infty. \] 따라서 \(\left\{b_n\right\}\)은 수렴하지 않고 양의 무한대에 발산한다.