유계수열과 단조수열

by I Seul Bee

이 글은 『미적분학 첫걸음』 1장 5절의 내용입니다.  (미적분학 첫걸음 차례 보기)

유계수열

닫힌구간 \(I = [-3,\,4]\)를 생각해 보자. 명백히 임의의 \(x\in I\)에 대하여 \(\lvert x \rvert \le 4\)가 성립한다. 이러한 맥락에서 “\(I\)는 유계(bounded)이다”라고 말한다.

이번에는 집합 \(J = \left\{ x \,\vert\, x \ge 3 \right\}\)를 생각해 보자. [임의의 \(x\in J\)에 대하여 \(\lvert x \rvert \le B\)]를 만족시키는 실수 \(B\)는 존재하지 않는다. 이때 “\(J\)는 유계가 아니다”라고 말한다. 비록 \(J\)가 유계인 집합은 아니지만, 만약 \(m\)이 \(3\) 이하인 실수라면 [임의의 \(x\in J\)에 대하여 \(x \ge m\)]이 성립한다. 이러한 맥락에서 “\(J\)는 \(m\)에 의하여 아래로 유계(bounded below)이다”라고 말한다.

만약 \(K\)가 모든 음의 실수의 집합이고 \(M\)이 \(0\) 이상인 실수라면 [임의의 \(x\in K\)에 대하여 \(x\le M\)]이 성립한다. 이러한 맥락에서 “\(K\)는 \(M\)에 의하여 위로 유계(bounded above)이다”라고 말한다.

보기 1.5.1.

  1. 집합 \(A=\left\{ x\in\mathbb{R} \,\vert\, -4 \le x < 5 \right\}\)는 유계이다.
  2. \(\mathbb{R}\)의 임의의 유한부분집합은 유계이다.
  3. \(\mathbb{N}\)은 아래로 유계이지만 위로는 유계가 아니다. 그러므로 \(\mathbb{N}\)은 유계가 아니다.
  4. \(\mathbb{Q}\)는 위로 유계가 아니며 아래로도 유계가 아니다.

수열의 유계성도 집합과 마찬가지로 정의된다. 즉 \(\left\{a_n\right\}\)이 실수열일 때 다음과 같이 정의한다.

  • 만약 실수 \(m\)이 존재하여 [임의의 \(n\)에 대하여 \(a_n \ge m\)]을 만족시키면 “\(\left\{a_n\right\}\)은 \(m\)에 의하여 아래로 유계(bounded below)이다” 또는 간단히 “\(\left\{a_n\right\}\)은 아래로 유계이다”라고 말한다.
  • 만약 실수 \(M\)이 존재하여 [임의의 \(n\)에 대하여 \(a_n \le M\)]을 만족시키면 “\(\left\{a_n\right\}\)은 \(M\)에 의하여 위로 유계(bounded above)이다” 또는 간단히 “\(\left\{a_n\right\}\)은 위로 유계이다”라고 말한다.
  • \(\left\{a_n\right\}\)이 위로 유계이면서 아래로 유계이면 “\(\left\{a_n\right\}\)은 유계(bounded)이다”라고 말하고 \(\left\{a_n\right\}\)을 유계수열(bounded sequence)이라고 부른다.

보기 1.5.2.

  1. 수열 \(\left\{ n \right\}\)은 위로 유계가 아니지만 아래로는 유계이다.
  2. 수열 \(\left\{\frac{n+1}{n}\right\}\)은 유계이다. 왜냐하면 임의의 양의 정수 \(n\)에 대하여 \[0\le\frac{n+1}{n}\le 1\]이기 때문이다.
  3. 수열 \(\left\{ (-1)^n \right\}\)은 유계이다. 왜냐하면 임의의 정수 \(n\)에 대하여 \[-1 \le (-1)^n \le 1\]이기 때문이다.
  4. 수열 \(\left\{ (-2)^n\right\}\)은 위로 유계가 아니고 아래로도 유계가 아니다.
  5. 임의의 상수수열은 유계이다.
\(\left\{ a_n \right\}\)이 \(L\)에 수렴하는 실수열이라고 하자. \(n\)이 커짐에 따라 \(a_n\)은 \(L\)에 한없이 가까이 다가가므로, 유한 개를 제외한 \(n\)에 대해서 \[L-1 \le a_n \le L+1\] 이 성립한다. 즉 자연수 \(N\)이 존재하여 [\(n > N\)일 때마다 \(L - 1 \le a_n \le L+1 \)]이 성립한다. \(N+1\)개의 수 \[\left\lvert a_1 \right\rvert ,\,\, \left\lvert a_2 \right\rvert ,\,\, \left\lvert a_3 \right\rvert ,\,\, \cdots ,\,\, \left\lvert a_N \right\rvert ,\,\, \lvert L \rvert +1\] 중에서 가장 큰 값을 택하여 \(M\)이라고 하자. 그러면 임의의 \(n\)에 대하여 \[\left\lvert a_n \right\rvert \le M\] 이 성립한다. 이로써 다음 정리를 얻는다.

정리 1.5.1. (수렴하는 수열의 유계성)

만약 실수열이 수렴하면, 그 수열은 유계수열이다.

주의. 유계인 수열이 모두 수렴하는 것은 아니다. 예컨대 \(a_n = (-1)^n\)이라고 하면 수열 \(\left\{ a_n \right\}\)은 유계이지만 수렴하지 않고 진동한다.

단조수열

유계인 실수열이 항상 수렴하는 것은 아니다. 하지만 유계인 실수열이 ‘단조’수열이라면 그 수열은 수렴한다. 이것을 증명하기 위하여 몇 가지 개념을 도입한다.

\(\left\{ a_n \right\}\)이 실수열이라고 하자. 이때 다음과 같이 정의한다.

  • 임의의 \(n\)에 대하여 \(a_n \le a_{n+1}\)이 성립하면, “\(\left\{a_n\right\}\)이 단조증가한다(increases monotonically)”라고 말한다.
  • 임의의 \(n\)에 대하여 \(a_n \ge a_{n+1}\)이 성립하면, “\(\left\{a_n\right\}\)이 단조감소한다(decreases monotonically)”라고 말한다.
  • 단조증가하는 수열과 단조감소하는 수열을 통틀어 단조수열(monotonic sequence)이라고 부른다.

보기 1.5.3.

  1. 수열 \(\left\{ n \right\}\)은 단조증가한다.
  2. 수열 \(\left\{ \frac{n+1}{n} \right\}\)은 단조감소한다.
  3. 수열 \(\left\{ (-1)^n \right\}\)은 단조증가하지도 않고 단조감소하지도 않는다.
  4. 임의의 상수수열은 단조증가하면서 단조감소한다.

\(\left\{ a_n \right\}\)이 단조증가하면서 위로 유계인 수열이라고 하자. [임의의 \(n\)에 대하여 \(a_n \le M\)]을 만족시키는 수 \(M\) 중에서 가장 작은 것을 택하자. (그러한 \(M\)을 \(\left\{ a_n \right\}\)의 최소상계라고 부른다.) 그러면 \(\left\{a_n \right\}\)은 \(M\)에 수렴한다. 왜냐하면, 만약 \(\left\{a_n \right\}\)이 \(M\)에 수렴하지 않는다면 [임의의 \(n\)에 대하여 \(a_n \le M\)]을 만족시키는 더 작은 수 \(M\)을 택할 수 있기 때문이다.

같은 방법으로, 만약 \(\left\{ b_n \right\}\)이 단조감소하고 아래로 유계인 실수열이라면 \(\left\{ b_n \right\}\)이 수렴함을 보일 수 있다. [이 경우 \(\left\{ b_n \right\}\)은 자신의 최대하계에 수렴한다.]

이로써 다음 정리를 얻는다.

정리 1.5.2. (단조수렴 정리)

단조이면서 유계인 실수열은 수렴한다.

단조수렴 정리는 극한값을 알지 못하는 상태에서 수열의 수렴을 증명할 때 유용하게 사용된다.

예제 1.5.4. 수열 \(\left\{a_n\right\}\)이 다음과 같이 주어졌다고 하자. \[a_1 = 1 \quad \text{and} \quad a_{n+1} = \sqrt{2+a_n}.\] 이때 \(\left\{a_n\right\}\)이 수렴함을 보이고, 그 극한값을 구하시오.

풀이. \(a_1 = 1 \le 2\)이고 \[a_n \le 2 \quad\Rightarrow\quad a_{n+1} = \sqrt{2+a_n} \le \sqrt{2+2} = 2\] 이므로, 수학적 귀납법에 의하여 임의의 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_n \le 2\)이다. 더욱이 \(\left\{a_n \right\}\)의 모든 항이 \(0\) 이상이고 \[\left( a_{n+1}\right)^2 = 2+a_n \ge a_n + a_n = 2a_n \ge a_n \cdot a_n = \left(a_n \right)^2\] 이므로 \(\left\{a_n\right\}\)은 단조증가한다. 따라서 단조수렴 정리에 의하여 \(\left\{a_n\right\}\)은 수렴한다.

\(\left\{a_n\right\}\)의 극한값을 \(L\)이라고 하자. 그러면 \[L = \lim_{n\rightarrow\infty} a_n = \lim_{n\rightarrow\infty}a_{n+1} = \sqrt{2+\lim_{n\rightarrow\infty} a_n} = \sqrt{2+L}\] 이 성립한다. 그런데 \(L \ge 0\)이므로 이 등식으로부터 \(L=2\)를 얻는다. 그러므로 \(\left\{a_n\right\}\)은 \(2\)에 수렴한다.

수열이 귀납적으로 정의되어 있을 때, 수열이 수렴한다는 사실을 밝히지 않고 극한값을 구하면 잘못된 결론을 얻을 수 있다. 다음 예를 보자.

보기 1.5.5. 수열 \(\left\{ b_n \right\}\)이 다음과 같이 주어졌다고 하자. \[b_1 = b_2 = 1 \quad\text{and}\quad b_{n+2} = b_{n+1} + b_n .\] 만약 \(\left\{ b_n \right\}\)이 수렴한다고 가정하고(물론 잘못된 가정이다) 그 극한값을 \(L\)이라고 하면 다음 등식이 성립한다. \[L = \lim_{n\rightarrow\infty}b_{n+2} = \lim_{n\rightarrow\infty}\left(b_{n+1} + b_n\right) = \lim _ {n\rightarrow\infty} b_{n+1} + \lim_{n\rightarrow\infty} b_n = L+L = 2L\] 이 등식 \(L = 2L\)을 풀면 \(L=0\)을 얻는다. 그러나 임의의 \(n\)에 대하여 \(b_n \ge n-1\)이므로, \(\left\{ b_n \right\}\)은 수렴하지 않고 양의 무한대로 발산한다.

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