이 글은 『미적분학 첫걸음』 1장 4절의 내용입니다. (미적분학 첫걸음 차례 보기)
실수열 \(\left\{a_n\right\}\)이 어떤 실수 \(a,\) \(r\)에 대하여 \[ a_n=ar^{\,n-n_0} \] 의 꼴로 나타나면 \(\left\{a_n\right\}\)을 등비수열(geometric sequence)이라고 부른다. 여기서 \(a=a_{n_0}\)를 초항, \(r\)를 공비(common ratio)라고 부른다. 등비수열의 극한은 공비 \(r\)에 따른 수열 \(\left\{r^n\right\}\)의 극한을 알면 조사할 수 있다. 이 결과는 뒤에서 무한급수와 거듭제곱급수의 성질을 밝힐 때 중요한 역할을 한다.
보조정리. (베르누이 부등식)
\(h>0\)이고 \(n\)이 양의 정수이면 \[ (1+h)^n\ge1+nh \] 이다.
증명.
수학적 귀납법을 사용하자. \(n=1\)일 때에는 \[ 1+h=1+h \] 이므로 성립한다. 어떤 양의 정수 \(n\)에 대하여 \[ (1+h)^n\ge1+nh \] 라고 가정하자. \(1+h>0\)이므로 \[ \begin{aligned} (1+h)^{n+1} &=(1+h)^n(1+h)\\ &\ge(1+nh)(1+h)\\ &=1+(n+1)h+nh^2\\ &\ge1+(n+1)h. \end{aligned} \] 따라서 모든 양의 정수 \(n\)에 대하여 베르누이 부등식이 성립한다.
정리 1.4.1. \(r\)가 실수일 때 다음이 성립한다.
- 만약 \(\lvert r\rvert < 1\)이면 수열 \(\left\{r^n\right\}\)은 \(0\)에 수렴한다.
- 만약 \(r=1\)이면 수열 \(\left\{r^n\right\}\)은 \(1\)에 수렴한다.
- 만약 \(r\le-1\)이면 수열 \(\left\{r^n\right\}\)은 진동한다.
- 만약 \(r>1\)이면 수열 \(\left\{r^n\right\}\)은 양의 무한대에 발산한다.
증명.
[1] 먼저 \[ 0 < r < 1 \] 이라고 하자. 다음과 같이 놓는다. \[ h=\frac{1}{r}-1. \] 그러면 \(h>0\)이고 \[ r=\frac{1}{1+h}. \] 베르누이 부등식에 의하여 \[ (1+h)^n\ge1+nh \] 이므로 \[ 0\le r^n = \frac{1}{(1+h)^n} \le \frac{1}{1+nh}. \] 그런데 \[ \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{1}{1+nh} = \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}+h} = 0. \] 따라서 조임 정리에 의하여 \[ \lim_{n\rightarrow\infty}r^n=0. \]
\(r=0\)이면 모든 양의 정수 \(n\)에 대하여 \(r^n=0\)이므로 자명하게 \[ \lim_{n\rightarrow\infty}r^n=0. \]
마지막으로 \[ -1 < r < 0 \] 이라고 하자. 그러면 \[ 0 < |r| < 1 \] 이므로 앞에서 증명한 결과에 따라 \[ |r|^n\rightarrow0. \] 또한 모든 양의 정수 \(n\)에 대하여 \[ -|r|^n\le r^n\le|r|^n \] 이고 \[ -|r|^n\rightarrow0, \qquad |r|^n\rightarrow0. \] 따라서 조임 정리에 의하여 \[ r^n\rightarrow0. \]
[2] \(r=1\)이면 모든 양의 정수 \(n\)에 대하여 \[ r^n=1 \] 이므로 \[ \lim_{n\rightarrow\infty}r^n=1. \]
[3] \(r\le-1\)이라고 하자. 모든 양의 정수 \(n\)에 대하여 \[ r^{2n}\ge1 \] 이고 \[ r^{2n+1}\le-1. \] 따라서 이 수열은 어떠한 실수에도 수렴할 수 없다. 실제로 어떤 실수 \(L\)에 수렴한다고 가정하자. \(L\ge0\)이면 모든 홀수 번째 항에 대하여 \[ |r^{2n+1}-L|\ge1 \] 이고, \(L< 0\)이면 모든 짝수 번째 항에 대하여 \[ |r^{2n}-L|\ge1. \] 어느 경우에도 수렴의 정의에 모순이다.
또한 홀수 번째 항은 항상 \(-1\) 이하이므로 수열 전체가 양의 무한대에 발산할 수 없고, 짝수 번째 항은 항상 \(1\) 이상이므로 음의 무한대에 발산할 수도 없다. 따라서 이 책의 용어에 따라 \(\left\{r^n\right\}\)은 진동한다.
[4] \(r>1\)이라고 하자. \(h=r-1\)로 놓으면 \(h>0\)이고 \(r=1+h\)이다. 베르누이 부등식에 의하여 \[ r^n=(1+h)^n\ge1+nh. \] 그런데 \[ 1+nh\rightarrow\infty \] 이므로 극한의 순서 보존 성질에 의하여 \[ r^n\rightarrow\infty. \]
예제 1.4.1. 다음 수열의 극한을 조사하시오. \[ \left\{ \frac{2^{n+1}}{3^n+4} \right\}. \]
풀이. 분자와 분모를 \(3^n\)으로 나누면 \[ \frac{2^{n+1}}{3^n+4} = \frac{ 2\left(\frac{2}{3}\right)^n }{ 1+4\left(\frac{1}{3}\right)^n }. \] 정리 1.4.1에 의하여 \[ \left(\frac{2}{3}\right)^n\rightarrow0, \qquad \left(\frac{1}{3}\right)^n\rightarrow0. \] 따라서 \[ \begin{aligned} \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{2^{n+1}}{3^n+4} &= \frac{2\cdot0}{1+4\cdot0}\\ &=0. \end{aligned} \]
예제 1.4.2. 다음 수열의 극한을 조사하시오. \[ \left\{ \frac{4^n-2^n}{3^n+2^n} \right\}. \]
풀이. 주어진 수열의 일반항을 다음과 같이 나타낼 수 있다. \[ \frac{4^n-2^n}{3^n+2^n} = \left(\frac{4}{3}\right)^n \frac{ 1-\left(\frac{1}{2}\right)^n }{ 1+\left(\frac{2}{3}\right)^n }. \] 정리 1.4.1에 의하여 \[ \left(\frac{1}{2}\right)^n\rightarrow0, \qquad \left(\frac{2}{3}\right)^n\rightarrow0. \] 따라서 \[ \frac{ 1-\left(\frac{1}{2}\right)^n }{ 1+\left(\frac{2}{3}\right)^n } \rightarrow1. \] 그러므로 충분히 큰 모든 \(n\)에 대하여 \[ \frac{ 1-\left(\frac{1}{2}\right)^n }{ 1+\left(\frac{2}{3}\right)^n } \ge\frac12. \] 따라서 충분히 큰 모든 \(n\)에 대하여 \[ \frac{4^n-2^n}{3^n+2^n} \ge \frac12 \left(\frac{4}{3}\right)^n. \] 한편 정리 1.4.1에 의하여 \[ \left(\frac{4}{3}\right)^n\rightarrow\infty \] 이므로 \[ \frac12 \left(\frac{4}{3}\right)^n \rightarrow\infty. \] 따라서 극한의 순서 보존 성질에 의하여 \[ \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{4^n-2^n}{3^n+2^n} = \infty. \]
- 앞의 글 : 수열의 극한 공식
- 다음 글 : 유계수열과 단조수열