이 글은 『미적분학 첫걸음』 1장 4절의 내용입니다. (미적분학 첫걸음 차례 보기)
등비수열의 극한은 무한급수와 거듭제곱급수의 성질을 밝힐 때 중요한 역할을 한다.
정리 1.4.1. \(r\)가 실수일 때 다음이 성립한다.
- 만약 \(\lvert r \rvert < 1\)이면 수열 \(\left\{ r^n \right\}\)이 \(0\)에 수렴한다.
- 만약 \(r= 1\)이면 수열 \(\left\{ r^n \right\}\)이 \(1\)에 수렴한다.
- 만약 \(r \le -1\)이면 수열 \(\left\{ r^n \right\}\)이 진동한다.
- 만약 \(r > 1\)이면 수열 \(\left\{ r^n \right\}\)이 양의 무한대에 발산한다.
증명.
[1] \(0 < r < 1\)인 경우를 먼저 살펴보자. \[h = \frac{1}{r} -1\] 이라고 하면 \(h > 0\)이고 \[r = \frac{1}{1+h}\] 이다. 베르누이 부등식(Bernoulli's inequality)에 의하여, 양의 정수 \(n\)에 대하여 \[(1+h)^n \ge 1+nh\] 이므로 \[0\le r^n = \left( \frac{1}{1+h} \right)^n = \frac{1}{(1+h)^n} \le \frac{1}{1+nh}\] 가 성립한다. 그런데 마지막 분수식은 \(n\rightarrow\infty\)일 때 \(0\)에 수렴한다. 그러므로 조임 정리에 의하여 \(n\rightarrow\infty\)일 때 \(r^n \,\rightarrow\,0\)이다.
만약 \(r=0\)이면 \(n\rightarrow\infty\)일 때 당연히 \(r^n \,\rightarrow\,0\)이다.
\(-1 < r < 0\)인 경우에는 \(0 < \lvert r \rvert < 1\)이므로 \[ - \lvert r \rvert^n \le r^n \le \lvert r \rvert^n\] 이다. 그런데 \(n\rightarrow\infty\)일 때 \[ -\lvert r \rvert ^n \,\rightarrow\, 0 \quad \text{and}\quad \lvert r \rvert \,\rightarrow\, 0\] 이므로, 조임 정리에 의하여 \(n\rightarrow\infty\)일 때 \(r^n \,\rightarrow\,0\)이다.
[2] \(r=1\)이면 \(n\rightarrow\infty\)일 때 자명하게 \(r^n = 1 \,\rightarrow\, 1\)이다.
[3] \(r\le -1\)이면, 양의 정수 \(n\)에 대하여 \[r^{2n} \ge 1 \quad\text{and}\quad r^{2n+1} \le -1\] 이다. 그러므로 \(\left\{r^n\right\}\)은 하나의 값에 가가워질 수 없고, 양의 무한대에 발산하거나 음의 무한대에 발산하지도 않는다.
[4] \(r > 1\)인 경우 \(h = r-1\)이라고 하자. 그러면 \(h > 0\)이고 \(r = 1+h\)이다. 베르누이 부등식에 의하여 임의의 양의 정수 \(n\)에 대하여 \[r^n = (1+h)^n \ge 1+nh\] 이다. 그런데 \(n\rightarrow\infty\)일 때 \(1+nh \,\rightarrow\,\infty\)이므로, 극한의 순서 보존 성질에 의하여, \(n\rightarrow\infty\)일 때 \(r^n \,\rightarrow\,\infty\)이다.
예제 1.4.1. 다음 수열의 극한을 조사하시오. \[\left\{ \frac{2^{n+1}}{3^n +4} \right\}\]
풀이. \[\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{2^{n+1}}{3^n +4} = \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{\left(\frac{2}{3}\right)^n \times 2}{1+\frac{4}{3^n}} = \frac{0\times 2}{1+0} = 0. \]
예제 1.4.2. 다음 수열의 극한을 조사하시오. \[\left\{ \frac{4^n - 2^n}{3^n + 2^n} \right\}\]
풀이. 주어진 수열의 일반항을 변형하면 다음과 같다. \[\frac{4^n - 2^n}{3^n +2^n} = \left(\frac{4}{3}\right)^n \times \frac{1 - \left(\frac{2}{4}\right)^n}{1+ \left(\frac{2}{3}\right)^n} .\] 그런데 \(n\rightarrow\infty\)일 때 \[\frac{1 - \left(\frac{2}{4}\right)^n}{1+ \left(\frac{2}{3}\right)^n} \,\rightarrow\,1\] 이므로, 유한 개를 제외한 모든 \(n\)에 대하여 \[\frac{1 - \left(\frac{2}{4}\right)^n}{1+ \left(\frac{2}{3}\right)^n} \ge \frac{1}{2}\] 가 성립한다. 즉 유한 개를 제외한 모든 \(n\)에 대하여 \[\left(\frac{4}{3}\right)^n \cdot \frac{1 - \left(\frac{2}{4}\right)^n}{1+ \left(\frac{2}{3}\right)^n} \ge \left(\frac{4}{3}\right)^n \cdot \frac{1}{2}\] 이다. 이 부등식의 우변은 \(n\rightarrow\infty\)일 때 양의 무한대에 발산한다. 그러므로 극한의 순서 보존 성질에 의하여 이 부등식의 좌변도 \(n\rightarrow\infty\)일 때 양의 무한대에 발산한다. 즉 \[ \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{4^n - 2^n}{3^n + 2^n} = \infty \] 이다.
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