이 글은 『미적분학 첫걸음』 1장 2절의 내용입니다. (미적분학 첫걸음 차례 보기)
수렴하는 수열
\(\left\{a_n\right\}\)이 실수열이고 \(L\)이 실수라고 하자. 직관적으로 \(n\)이 한없이 커질 때 항 \(a_n\)이 \(L\)에 한없이 가까워지면 “\(\left\{a_n\right\}\)이 \(L\)에 수렴(converge)한다”라고 말한다. 이때 \(L\)을 수열 \(\left\{a_n\right\}\)의 극한(limit) 또는 극한값이라고 부르고 \[ \lim_{n\rightarrow\infty}a_n=L \] 또는 \[ a_n\rightarrow L \quad\text{as}\quad n\rightarrow\infty \] 와 같이 나타낸다.
보기 1.2.1.
- 만약 \[ a_n=\frac{1}{n} \] 이면 \(\left\{a_n\right\}\)은 \(0\)에 수렴한다. 즉 \[ \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}=0 \] 이다.
- 만약 \[ b_n=\frac{n+1}{n} \] 이면 \(\left\{b_n\right\}\)은 \(1\)에 수렴한다. 즉 \[ \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n+1}{n}=1 \] 이다.
- 만약 \[ c_n=\frac{(-1)^n}{n} \] 이면 \(\left\{c_n\right\}\)은 \(0\)에 수렴한다. 즉 \[ \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{(-1)^n}{n}=0 \] 이다.
- 만약 \(s_n=4\)이면 \(\left\{s_n\right\}\)은 \(4\)에 수렴한다. 즉 \[ \lim_{n\rightarrow\infty}4=4 \] 이다.
발산하는 수열
실수열 \(\left\{a_n\right\}\)이 어떠한 실수에도 수렴하지 않으면 \(\left\{a_n\right\}\)이 발산(diverge)한다고 말한다.
직관적으로 \(n\)이 한없이 커질 때 \(a_n\)도 한없이 커지면 \(\left\{a_n\right\}\)이 양의 무한대에 발산한다고 말하고 \[ \lim_{n\rightarrow\infty}a_n=\infty \] 와 같이 나타낸다. 반대로 \(n\)이 한없이 커질 때 \(a_n\)이 음의 방향으로 한없이 작아지면 \(\left\{a_n\right\}\)이 음의 무한대에 발산한다고 말하고 \[ \lim_{n\rightarrow\infty}a_n=-\infty \] 와 같이 나타낸다.
여기서 \(\infty\)와 \(-\infty\)는 실수가 아니므로 위 두 식에서 \(\infty\)와 \(-\infty\)는 극한값을 나타내는 것이 아니다. 이 식들은 각각 수열의 특정한 발산 양상을 나타내기 위한 기호이다.
이 책에서는 수열 \(\left\{a_n\right\}\)이 수렴하지 않고, 양의 무한대에도 발산하지 않으며, 음의 무한대에도 발산하지 않으면 \(\left\{a_n\right\}\)이 진동(oscillate)한다고 말하기로 한다.
보기 1.2.2.
- 만약 \(a_n=n^2\)이면 \(\left\{a_n\right\}\)은 양의 무한대에 발산한다. 즉 \[ \lim_{n\rightarrow\infty}n^2=\infty \] 이다.
- 만약 \(b_n=-2^n\)이면 \(\left\{b_n\right\}\)은 음의 무한대에 발산한다. 즉 \[ \lim_{n\rightarrow\infty}(-2^n)=-\infty \] 이다.
- 만약 \(c_n=(-1)^n\)이면 항이 \(1\)과 \(-1\)을 번갈아 가지므로 \(\left\{c_n\right\}\)은 진동한다.
- 만약 \[ x_n=n+n(-1)^n \] 이면 홀수 번째 항은 \(0\)이고 짝수 번째 항은 \(2n\)이므로 \(\left\{x_n\right\}\)은 진동한다.
- 만약 \(y_n=(-2)^n\)이면 항의 부호가 번갈아 바뀌면서 절댓값은 커지므로 \(\left\{y_n\right\}\)은 진동한다.
- 만약 \(z_n=(-n)^n\)이면 항의 부호가 번갈아 바뀌면서 절댓값은 커지므로 \(\left\{z_n\right\}\)은 진동한다.
수열의 극한의 엄밀한 정의
앞에서 수열의 수렴과 발산을 직관적으로 설명하였다. 이제 이 개념을 엄밀하게 정의하자.
\(\left\{a_n\right\}\)이 \(Z_{n_0}\)를 정의역으로 하는 실수열이고 \(L\)이 실수라고 하자. 임의의 양수 \(\epsilon\)에 대하여 \(N\in Z_{n_0}\)이 존재하여 \[ n\ge N \] 인 모든 \(n\in Z_{n_0}\)에 대하여 \[ |a_n-L| < \epsilon \] 이 성립하면 \(\left\{a_n\right\}\)이 \(L\)에 수렴한다고 말하고, \(L\)을 \(\left\{a_n\right\}\)의 극한이라고 부른다.
위 정의를 기호로 나타내면 다음과 같다. \[ \forall\epsilon>0\ \ \exists N\in Z_{n_0}\ \ \forall n\in Z_{n_0}:\quad \left[ n\ge N \quad\Longrightarrow\quad |a_n-L| < \epsilon \right]. \]
즉 아무리 작은 양수 \(\epsilon\)을 주더라도 충분히 큰 첨자부터는 모든 항 \(a_n\)이 열린구간 \[ (L-\epsilon,\,L+\epsilon) \] 안에 들어가며, 그 뒤로 다시 이 구간 밖으로 나가지 않는다는 뜻이다.
양의 무한대와 음의 무한대로의 발산도 비슷한 방법으로 엄밀하게 정의할 수 있다.
\(\left\{a_n\right\}\)이 \(Z_{n_0}\)를 정의역으로 하는 실수열이라고 하자.
임의의 실수 \(M\)에 대하여 \(N\in Z_{n_0}\)이 존재하여 \(n\ge N\)인 모든 \(n\in Z_{n_0}\)에 대하여 \[ a_n>M \] 이 성립하면 \[ \lim_{n\rightarrow\infty}a_n=\infty \] 라고 한다.
임의의 실수 \(M\)에 대하여 \(N\in Z_{n_0}\)이 존재하여 \(n\ge N\)인 모든 \(n\in Z_{n_0}\)에 대하여 \[ a_n < M \] 이 성립하면 \[ \lim_{n\rightarrow\infty}a_n=-\infty \] 라고 한다.
보조정리. (아르키메데스 성질)
임의의 실수 \(x\)에 대하여 \[ N>x \] 를 만족시키는 자연수 \(N\)이 존재한다.
증명.
그렇지 않다고 가정하면 자연수 전체의 집합 \(\mathbb{N}\)은 위로 유계이다. 실수계의 최소상계 성질에 의하여 \[ s=\sup\mathbb{N} \] 이 존재한다. \(s-1\)은 \(\mathbb{N}\)의 상계가 아니므로 어떤 \(n\in\mathbb{N}\)에 대하여 \[ s-1 < n \] 이다. 따라서 \[ s < n+1. \] 그러나 \(n+1\in\mathbb{N}\)이므로 이는 \(s\)가 \(\mathbb{N}\)의 상계라는 사실에 모순이다. 따라서 \(\mathbb{N}\)은 위로 유계가 아니며, 임의의 실수 \(x\)보다 큰 자연수 \(N\)이 존재한다.
엄밀한 정의를 이용하여 앞의 보기 가운데 하나를 직접 증명해 보자.
예제 1.2.3. \(b_n=\displaystyle\frac{n+1}{n}\)이라고 하자. 이때 \[ \lim_{n\rightarrow\infty}b_n=1 \] 임을 증명하시오.
풀이. 양수 \(\epsilon\)이 임의로 주어졌다고 하자. 아르키메데스 성질에 의하여 \[ N>\frac{1}{\epsilon} \] 인 자연수 \(N\)이 존재한다. 필요하다면 \(N\)을 더 크게 잡아 수열의 정의역에 속하도록 할 수 있다.
이제 \(n\ge N\)인 모든 첨자 \(n\)에 대하여 \[ \begin{aligned} |b_n-1| &= \left| \frac{n+1}{n}-1 \right|\\ &= \frac{1}{n}\\ &\le \frac{1}{N}\\ &< \epsilon. \end{aligned} \] 따라서 \(\epsilon\)-\(N\) 정의에 의하여 \[ \lim_{n\rightarrow\infty}b_n=1 \] 이다.
정리 1.2.4. (극한의 유일성)
실수열 \(\left\{a_n\right\}\)이 수렴하면 그 극한은 유일하다.
증명.
\(\left\{a_n\right\}\)이 서로 다른 두 실수 \(L\)과 \(M\)에 모두 수렴한다고 가정하자. 그러면 \[ |L-M|>0. \] 다음과 같이 놓자. \[ \epsilon=\frac{|L-M|}{3}. \]
\(a_n\rightarrow L\)이므로 충분히 큰 모든 \(n\)에 대하여 \[ |a_n-L| < \epsilon \] 이고, \(a_n\rightarrow M\)이므로 충분히 큰 모든 \(n\)에 대하여 \[ |a_n-M| < \epsilon \] 이다. 따라서 두 부등식이 동시에 성립할 만큼 큰 \(n\)을 택하면 삼각부등식에 의하여 \[ \begin{aligned} |L-M| &\le |L-a_n|+|a_n-M|\\ &< 2\epsilon\\ &= \frac{2}{3}|L-M|. \end{aligned} \] 이는 모순이다. 따라서 \(L=M\)이고, 수열의 극한은 유일하다.
앞으로 수열의 극한에 관한 기본 성질은 이 \(\epsilon\)-\(N\) 정의를 바탕으로 증명한다. 양의 무한대와 음의 무한대로의 발산을 다룰 때에는 위에서 정의한 \(M\)-\(N\) 조건을 사용한다.