수열의 정의

수열(sequence)이란, 직관적으로 정의하자면, \[a_1 ,\, a_2 ,\, a_3 ,\, \cdots\] 과 같이 수를 한 줄로 나열한 것이다. 수열을 이루고 있는 각 수를 항(term)이라고 부른다. 항 \(a_n\)을 \(\boldsymbol{n}\)째 항이라고 부른다. 항의 수가 유한인 수열을 유한수열(finite sequence)이라고 부르고, 항의 수가 무한인 수열을 무한수열(infinite sequence)이라고 부른다. 수열 \[a_1 ,\, a_2 ,\, a_3 ,\, \cdots\] 을 간단히 \(\left\{ a_n \right\}\) 또는 \(\left( a_n \right)\)과 같이 나타낸다.

함수의 개념을 사용하여 무한수열을 정의할 수 있다. \(n_0\)가 정수일 때 집합 \(Z_{n_0}\)를 \[Z_{n_0} = \left\{ n\in\mathbb{Z} \,\vert\, n\ge n_0 \right\}\] 이라고 정의하자. 이때 적당한 정수 \(n_0\)에 대하여 \(Z_{n_0}\)를 정의역으로 하는 함수 \(a\)를 무한수열이라고 부른다. 여기서 함수 \(a\)를 \(\left\{a_n \right\}\)으로 나타내며, 정수 \(n\)에 대한 함수 \(a\)의 함숫값 \(a(n)\)을 \(a_n\)으로 나타낸다. 또한 \(a_{n_0}\)를 \(\left\{a_n\right\}\)의 첫째항(initial term) 또는 초항이라고 부른다.

수열의 모든 항이 \(\mathbb{R}\)에 속하면, 그 수열을 실수열(real sequence)이라고 부른다. 유리수열(rational sequence), 복소수열(complex sequence), 벡터수열(vector sequence)도 같은 방법으로 정의한다.

수열의 항이 항상 수(number)인 것은 아니기에, 책에 따라서는 sequence를 점열이라고 부르기도 한다.

만약 수열 \(\left\{a_n\right\}\)의 첫째항의 첨자 \(n_0\)가 명확하게 드러나있지 않다면, 음이 아닌 정수 \(n_0\) 중에서 [\(n\ge n_0\)인 모든 \(n\)에 대하여 \(a_n\)이 정의]되는 가장 작은 \(n_0\)를 첫째항의 첨자로 삼는다. 예를 들어, \[a_n = \frac{1}{n(n-3)}\] 로 주어진 수열 \(\left\{a_n\right\}\)은 \(a_4\)를 첫째항으로 삼는다.

수열의 극한은 무한수열에 대해서만 정의되므로, 이 책에서 별다른 언급 없이 수열이라 하면 무한수열을 이르는 것으로 약속한다.