선형변환과 행렬의 관계 (일반적인 벡터공간)

지난 포스트에서 벡터공간 $K^n,$ $K^m$ 사이에서 정의된 선형변환과 $m\times n$ 행렬의 관계를 살펴보았다(지난 포스팅 보기). 이번에는 일반적인 유한차원 벡터공간 $V,$ $V^{\prime }$ 사이에서 정의된 선형변환과 행렬의 관계를 살펴보자.

$K$가 체이고 $n$과 $m$이 양의 정수라고 하자. 그리고 $V$와 $V^{\prime }$이 $K$ 위에서 정의된 $n$차원 벡터공간, $m$차원 벡터공간이라고 하자. 또한 $$\begin{array}{rl}B:& v_1,v_2,\cdots ,v_n,\\ B^{\prime }:& v_1^{\prime },v_2^{\prime },\cdots ,v_m^{\prime }\end{array}$$ 이 각각 $V$와 $V^{\prime }$의 기저라고 하자. 임의의 $v\in V$는 $B$의 벡터들의 일차결합 $$v=k_1{v}_1+k_2{v}_2+\cdots +k_n{v}_n$$ 으로 유일하게 표현된다. 이때 $v$를 순서쌍 $(k_1,k_2,\cdots ,k_n)$에 대응시키는 함수 $$\begin{array}{c}{\gamma }_B:V\to K^n,\\ {\gamma }_B(v)=(k_1,k_2,\cdots ,k_n)\end{array}$$ 을 생각할 수 있다. 이와 같은 함수 ${\gamma }_B$를 기저 $B$에 대한 $V$의 좌표함수라고 부르고, 함숫값 ${\gamma }_B(v)$를 기저 $B$에 대한 $v$의 좌표라고 부른다. ${\gamma }_B$는 $V$로부터 $K^n$으로의 동형사상이 된다.

똑같은 방법으로 기저 $B^{\prime }$에 대한 $V$의 좌표함수 ${\gamma }_{B^{\prime }}$을 생각할 수 있으며, ${\gamma }_{B^{\prime }}$은 $V^{\prime }$으로부터 $K^m$으로의 동형사상이 된다.

함수 $T$가 $V$로부터 $V^{\prime }$으로의 선형변환이라고 하자. 그러면 $V$의 벡터 $v$는 $T$에 의하여 $V^{\prime }$의 벡터 $T(v)$에 대응된다. $v\in V$와 $T(v)\in V^{\prime }$이 각각 하나씩 주어질 때마다 ${\gamma }_B(v)$와 ${\gamma }_{B^{\prime }}(T(v))$도 각각 하나씩 주어지며, 이들은 각각 $K^n,$ $K^m$의 원소이다. 여기서 $$({\gamma }_{B^{\prime }}\circ T\circ {\gamma }_B^{-1})(v)={\gamma }_{B^{\prime }}(T(v))$$ 이므로, 합성함수 ${\gamma }_{B^{\prime }}\circ T\circ {\gamma }_B^{-1}$는 $K^n$의 원소 ${\gamma }_B(v)$를 $K^m$의 원소 ${\gamma }_{B^{\prime }}(T(v))$에 대응시키는 함수이다. 더욱이 ${\gamma }_{B^{\prime }}\circ T\circ {\gamma }_B^{-1}$는 선형변환들의 합성함수이므로 그 자체로서 선형변환이다.

$V$로부터 $V^{\prime }$으로의 선형변환들의 모임을 $\mathrm{Hom}(V,V^{\prime })$이라고 하자. 이 집합에 통상적인 스칼라곱과 함수의 합을 각각 스칼라곱과 함수의 합으로 정의하면, 이 집합은 $K$ 위에서 정의된 벡터공간이 된다.

각 $T\in \mathrm{Hom}(V,V^{\prime })$에 대하여 ${\gamma }_{B^{\prime }}\circ T\circ {\gamma }_B^{-1}$는 $K^n$으로부터 $K^m$으로의 선형변환이므로, 이 선형변환의 표현행렬 $M({\gamma }_{B^{\prime }}\circ T\circ {\gamma }_B^{-1})$를 생각할 수 있다. 이 행렬을 간단히 $M_{B,B^{\prime }}(T)$로 나타낸다. 즉 $$M_{B,B^{\prime }}(T)=M({\gamma }_{B^{\prime }}\circ T\circ {\gamma }_B^{-1})$$ 이다. 이 행렬을 기저 $B$와 $B^{\prime }$에 대한 $T$의 표현행렬이라고 부른다.

이제 두 공간 $\mathrm{Hom}(V,V^{\prime })$과 ${\mathrm{Mat}}_{m\times n}(K)$가 동형임을 보이자.

두 벡터공간이 동형임을 보이기 위하여 두 벡터공간 사이에 적절한 함수 $\varphi$를 정의하고, 이 함수가 동형사상임을 보일 것이다.

1단계. 두 공간 사이의 함수 $\varphi$를 정의하자.

선형변환 $T:V\to V^{\prime }$을 $M_{B,B^{\prime }}(T)$에 대응시키는 함수 $$\begin{array}{c}\varphi :\mathrm{Hom}(V,V^{\prime })\to {\mathrm{Mat}}_{m\times n}(K),\\ \varphi :T\mapsto M_{B,B^{\prime }}(T)\end{array}$$ 를 생각하자. 이 함수가 바로 우리가 바라는 동형사상임을 보이자.

2단계. $\varphi$는 잘 정의된 함수이다.

각 선형변환 $T:V\to V^{\prime }$에 대하여 ${\gamma }_{B^{\prime }}\circ T\circ {\gamma }_B^{-1}$는 $K^n$으로부터 $K^m$으로의 선형변환이므로, 이 선형변환의 표현행렬 $$M_{B,B^{\prime }}(T)=M({\gamma }_{B^{\prime }}\circ T\circ {\gamma }_B^{-1})$$ $m\times n$ 행렬로서 유일하게 결정된다. 즉 $\varphi$는 $\mathrm{Hom}(V,V^{\prime })$의 원소를 ${\mathrm{Mat}}_{m\times n}(K)$의 원소에 대응시킨다. 그러므로 $\varphi$는 잘 정의된 함수이다.

3단계. $\varphi$는 선형변환이다.

스칼라 $k\in K$와 선형변환 $T:V\to V^{\prime }$이 주어졌다고 하자. 그러면 $kT$ 또한 $V$로부터 $V^{\prime }$으로의 선형변환이므로 $M_{B,B^{\prime }}(kT)$는 $m\times n$ 행렬이다. 또한 임의의 $\mathbf{x}\in K^n$에 대하여 $$\begin{array}{rl}(M_{B,B^{\prime }}(kT))\mathbf{x}& =({\gamma }_{B^{\prime }}\circ (kT)\circ {\gamma }_B^{-1})(\mathbf{x})\\ & =k({\gamma }_{B^{\prime }}\circ T\circ {\gamma }_B^{-1})(\mathbf{x}))\\ & =k((M_{B,B^{\prime }}(T))\mathbf{x})\\ & =(k(M_{B,B^{\prime }}(T)))\mathbf{x}\end{array}$$ 이다. 즉 $K^n$의 모든 원소 $\mathbf{x}$에 대하여 $(M_{B,B^{\prime }}(kT))\mathbf{x}$와 $(k(M_{B,B^{\prime }}(T)))\mathbf{x}$가 일치하므로, 두 행렬 $M_{B,B^{\prime }}(kT)$와 $k(M_{B,B^{\prime }}(T))$는 같은 행렬이다. 즉 $$\varphi (kT)=M_{B,B^{\prime }}(kT)=k(M_{B,B^{\prime }}(T))=k\varphi (T)$$ 이다.

다음으로 두 선형변환 $T_1:V\to V^{\prime },$ $T_2:V\to V^{\prime }$이 주어졌다고 하자. 그러면 $T_1+T_2$ 또한 $V$로부터 $V^{\prime }$으로의 선형변환이므로 $M_{B,B^{\prime }}(T_1+T_2)$는 $m\times n$ 행렬이다. 또한 임의의 $\mathbf{x}\in K^n$에 대하여 $$\begin{array}{rl}(M_{B,B^{\prime }}(T_1+T_2))\mathbf{x}& =({\gamma }_{B^{\prime }}\circ (T_1+T_2)\circ {\gamma }_B^{-1})(\mathbf{x})\\ & ={\gamma }_{B^{\prime }}((T_1+T_2)({\gamma }_B^{-1}(\mathbf{x}))\\ & ={\gamma }_{B^{\prime }}(T_1({\gamma }_B^{-1}(\mathbf{x}))+T_2({\gamma }_B^{-1}(\mathbf{x}))\\ & ={\gamma }_{B^{\prime }}(T_1({\gamma }_B^{-1}(\mathbf{x})))+{\gamma }_{B^{\prime }}(T_2({\gamma }_B^{-1}(\mathbf{x})))\\ & =(M_{B,B^{\prime }}(T_1))\mathbf{x}+(M_{B,B^{\prime }}(T_2))\mathbf{x}\\ & =(M_{B,B^{\prime }}(T_1)+M_{B,B^{\prime }}(T_2))\mathbf{x}\end{array}$$ 이다. 즉 $K^n$의 모든 원소 $\mathbf{x}$에 대하여 $(M_{B,B^{\prime }}(T_1+T_2))\mathbf{x}$와 $(M_{B,B^{\prime }}(T_1)+M_{B,B^{\prime }}(T_2))\mathbf{x}$가 일치하므로, 두 행렬 $M_{B,B^{\prime }}(T_1+T_2)$와 $M_{B,B^{\prime }}(T_1)+M_{B,B^{\prime }}(T_2)$는 같은 행렬이다. 즉 $$\varphi (T_1+T_2)=M_{B,B^{\prime }}(T_1+T_2)=M_{B,B^{\prime }}(T_1)+M_{B,B^{\prime }}(T_2)=\varphi (T_1)+\varphi (T_2)$$ 이다. 이로써 $\varphi$가 선형임이 증명되었다.

4단계. $\varphi$는 일대일 함수이다.

서로 다른 두 선형변환 $T_1:V\to V^{\prime },$ $T_2:V\to V^{\prime }$이 주어졌다고 하자. $T_1$과 $T_2$가 서로 다른 선형변환이므로 $V$의 기저원소 중에 두 함수의 함숫값이 달라지는 것이 존재한다. $v_j$가 $V$의 기저원소 중 하나이고 $T_1(v_j)\ne T_2(v_j)$라고 하자. ${\gamma }_B(v_j)={\mathbf{e}}_j$는 $K^n$의 표준기저원소 중 $j$째 벡터이다. 이때 $$\begin{array}{rl}(M_{B,B^{\prime }}(T_1){)}^j& =(M_{B,B^{\prime }}(T_1)){\mathbf{e}}_j\\ & =(M_{B,B^{\prime }}(T_1))({\gamma }_B(v_j))\\ & =({\gamma }_{B^{\prime }}\circ T_1\circ {\gamma }_B^{-1})({\gamma }_B(v_j))\\ & ={\gamma }_{B^{\prime }}(T_1(v_j))\\ & \ne {\gamma }_{B^{\prime }}(T_2(v_j))\\ & =({\gamma }_{B^{\prime }}\circ T_2\circ {\gamma }_B^{-1})({\gamma }_B(v_j))\\ & =(M_{B,B^{\prime }}(T_2))({\gamma }_B(v_j))\\ & =(M_{B,B^{\prime }}(T_2)){\mathbf{e}}_j\\ & =(M_{B,B^{\prime }}(T_2){)}^j\end{array}$$ 이므로 $M_{B,B^{\prime }}(T_1)$의 $j$째 열과 $M_{B,B^{\prime }}(T_2)$의 $j$째 열은 서로 다르다. 그러므로 $$\varphi (T_1)=M_{B,B^{\prime }}(T_1)\ne M_{B,B^{\prime }}(T_2)=\varphi (T_2)$$ 이다. 즉 $\varphi$는 일대일 함수이다.

5단계. $\varphi$는 위로의 함수이다.

$m\times n$ 행렬 $A$가 주어졌다고 하자. 선형변환 $T:V\to V^{\prime }$을 $$\mathrm{\forall }v\in V:T(v)={\gamma }_{B^{\prime }}^{-1}(T_A({\gamma }_B(v)))$$ 로 정의하자. $T$는 선형변환들의 합성함수이므로 선형변환이다. 또한 ${\gamma }_B$의 정의역이 $V$이고 ${\gamma }_{B^{\prime }}^{-1}$의 공역이 $V^{\prime }$이므로 $T$는 $V$로부터 $V^{\prime }$으로의 선형변환이다. 이때 $$\begin{array}{rl}\varphi (T)& =M_{B,B^{\prime }}(T)\\ & =M({\gamma }_{B^{\prime }}\circ ({\gamma }_{B^{\prime }}^{-1}\circ T_A\circ {\gamma }_B)\circ {\gamma }_B^{-1})\\ & =M(T_A)\\ & =A\end{array}$$ 이므로 $\varphi$는 위로의 함수이다.

이로써 유한차원 벡터공간 $V,$ $V^{\prime }$에 기저 $B,$ $B^{\prime }$이 고정되어 있을 때, 선형변환 $T:V\to V^{\prime }$은 행렬과 같은 것으로 간주할 수 있다. 그렇다면 $T$의 표현행렬 $M_{B,B^{\prime }}(T)$를 어떻게 구할 것인가? 그 답은 위 정리의 증명 과정 4단계에 있다. $v_j$가 $V$의 기저의 $j$째 벡터일 때, $M_{B,B^{\prime }}(T)$의 $j$째 열은 ${\gamma }_{B^{\prime }}(T(v_j))$와 같다. 즉

이다. 여기서 각 ${\gamma }_{B^{\prime }}(T(v_j))$는 $m\times 1$ 행렬로 나타나는 열벡터이다. 그러므로 위 등식의 우변은 $m\times n$ 행렬을 나타낸다. 만약 $V=K^n,$ $V^{\prime }=K^m$이면 ${\gamma }_B$와 ${\gamma }_{B^{\prime }}$은 항등함수이므로, 위 등식은 $T$의 표현행렬 $M(T)$의 정의와 일치한다.

끝으로 선형변환의 합성을 행렬로 표현하는 방법을 살펴보자.

지금까지 살펴본 내용을 요약하면 다음과 같다.