벡터공간은 물체의 위치를 기술할 수 있는 추상적인 형태의 공간이다. 그러나 벡터공간에는 벡터의 합과 스칼라 곱이라는 두 개의 연산만 존재하기 때문에 점 사이의 거리나 두 벡터 사이의 각의 크기를 정의할 수 없다. 대신 벡터공간에 내적이라는 구조를 추가함으로써 거리와 각의 크기를 정의할 수 있다.
이 포스트에서는 내적의 개념과 성질을 살펴보고, 이로부터 파생되는 기저의 성질을 살펴본다.
실내적공간
\(V\)가 실벡터공간이라고 하자. 함수 \[ V\times V \,\rightarrow\,\mathbb{R} ,\,\, (v,\,w) \,\mapsto\, \langle v \,\vert\, w \rangle\] 가 다음 세 조건을 모두 만족시킬 때, 이 함수를 \(V\) 위에서의 실내적(real inner product)이라고 부른다.
- 임의의 \(v\in V\)에 대하여 \(\langle v\,\vert\, v \rangle \ge 0\)이며, 등식이 성립할 필요충분조건은 \(v = \mathbf{0}\)인 것이다. (양의 정부호 성질)
- 임의의 \(v,\,w\in V\)에 대하여 \(\langle v\,\vert\, w\rangle = \langle w\,\vert\,v\rangle\)이다. (대칭 성질)
- 임의의 \(u,\,v,\,w\in V\)와 \(a\in \mathbb{R}\)에 대하여 \(\langle u+v \,\vert\, w \rangle = \langle u\,\vert\,w\rangle + \langle v\,\vert\,w \rangle\) 그리고 \(\langle av\,\vert\,w\rangle = a\langle v\,\vert\,w\rangle\)이다. (쌍선형 성질)
실내적을 간단히 내적이라고 부른다. 내적이 주어져 있는 벡터공간을 내적공간(inner product space)이라고 부른다. 특히 체가 실수계인 경우 내적공간을 실내적공간이라고 부른다. [복소내적공간은 실내적공간과는 조금 다르게 정의된다.]
내적을 이용하여 벡터의 길이를 정의할 수 있다. \(V\)가 실내적공간이고 \(v\in V\)라고 하자. 이때 \(v\)의 길이(length)를 다음과 같이 정의한다. \[\lvert v \rvert = \sqrt{\langle v\,\vert\, v\rangle}.\] 벡터의 길이를 노름(norm)이라고 부르기도 한다. 길이가 1인 벡터를 단위벡터(unit vector)라고 부른다.
벡터의 길이는 다음과 같은 성질을 가진다.
- 임의의 \(v\in V\)에 대하여 \(\lvert v \rvert = 0 \,\,\Leftrightarrow\,\, v=\mathbf{0}.\)
- 임의의 \(v\in V\)와 \(a\in\mathbb{R}\)에 대하여 \(\lvert av \rvert = \lvert a \rvert \cdot \lvert v \rvert.\) 여기서 \(\lvert a \vert\)는 실수 \(a\)의 절댓값을 나타낸다.
실수의 절댓값과 벡터의 크기를 구분하기 위하여 \(v\)의 크기를 \(\lVert v \rVert\)로 나타내기도 한다.
보기 1. \(V=\mathbb{R}^n\)이라고 하자. 이때 \(V\)에서의 유클리드 내적(Euclidean inner product)을 다음과 같이 정의한다. \[\langle \mathbf{x} \,\vert\, \mathbf{y} \rangle = \sum_{j=1}^n x_j y_j .\] \(\mathbb{R}^n\)의 벡터를 열벡터로 나타내면 벡터의 내적을 다음과 같이 표현할 수 있다. \[\langle \mathbf{x} \,\vert\,\mathbf{y}\rangle = \,^t\! \mathbf{x}\mathbf{y}.\] 한편 유클리드 내적으로부터 유도되는 벡터의 크기는 다음과 같다. \[\lvert\mathbf{x}\rvert = \left( \sum_{j=1}^n x_j^2 \right)^{1/2}.\]
보기 2. \(V = C^0([a,\,b])\)라고 하자. 이때 \[\langle f \,\vert\, g\rangle = \int_a^b f(x)g(x)dx\] 로 정의된 함수 \(\langle \cdot \vert \cdot \rangle\)는 내적의 조건을 만족시킨다. 이 내적으로부터 유도되는 벡터의 크기는 다음과 같다. \[\lvert f \rvert = \left( \int_a^b (f(x))^2 dx \right)^{1/2}.\]
실수 \(x_j,\) \(y_j\)에 대하여 다음과 같은 부등식이 성립한다. \[ (x_1 y_1 + x_2 y_2 + \cdots + x_n y_n)^2 \le (x_1^2 +x_2^2 + \cdots + x_n^2)(y_1^2 + y_2^2 + \cdots + y_n^2).\] 이와 같은 부등식을 코시-슈바르츠부등식이라고 부른다. 이 부등식은 내적공간에서도 성립한다. 다음 정리를 보자.
정리 1. (Cauchy-Schwarz 부등식)
\(V\)가 내적공간이라고 하자. 그러면 \(V\)의 임의의 원소 \(v,\) \(w\)에 대하여 \[\lvert\langle v\,\vert\,w\rangle\rvert \le \lvert v \rvert \cdot \lvert w \rvert\] 가 성립한다.
증명.
\(w=\mathbf{0}\)인 경우는 정리의 부등식이 자명하게 성립한다. 그러므로 \(w\ne \mathbf{0}\)이라고 두고 증명하자.
임의의 \(x\in\mathbb{R}\)에 대하여 다음이 성립한다. \[\begin{gather} \langle v+xw \,\vert\,v+xw\rangle \ge 0,\\[5pt] \langle v\,\vert\,v\rangle + 2 x\langle v\,\vert\,w\rangle +x^2 \langle w\,\vert\,w\rangle \ge 0,\\[5pt] \lvert w \rvert^2 x^2 + 2 \langle v\,\vert\, w\rangle x + \lvert v \rvert^2 \ge 0. \end{gather}\] 마지막 부등식은 임의의 \(x\in\mathbb{R}\)에 대하여 성립해야 한다. 그러므로 좌변의 판별식의 값은 \(0\) 이하여야 한다. 즉 \[4\langle v\,\vert\,w\rangle^2 - 4\lvert v \rvert^2 \lvert w \rvert^2 \le 0\] 이므로 \[\langle v\,\vert\,w\rangle ^2 \le \lvert v \rvert^2 \lvert w \rvert^2 \] 이다.
따름정리 2. (삼각부등식)
\(V\)가 내적공간이라고 하자. 그러면 \(V\)의 임의의 원소 \(v,\) \(w\)에 대하여 \[\lvert v+w \vert \le \lvert v \rvert + \lvert w \rvert\] 가 성립한다.
증명.
내적을 이용하여 벡터의 크기를 정의한 것처럼, 내적을 이용하여 두 벡터 사이의 각의 크기를 정의할 수 있다. \(V\)가 내적공간이고 \(v,\) \(w\)가 \(V\)의 벡터이며 영벡터가 아니라고 하자. 이때 \[\cos\theta = \frac{\langle v\,\vert\,w\rangle}{\lvert v \rvert \lvert w \rvert}\] 를 만족시키는 수 \(\theta\in [0,\,\pi ]\)의 값을 두 벡터 \(v\)와 \(w\) 사이의 각(angle)이라고 부른다. \(v\)와 \(w\)의 내적을 \(v \cdot w\)라고 나타낸다면 이 식은 \[v\cdot w = \lvert v \rvert \lvert w \rvert \cos\theta\] 로 나타낼 수 있다.
내적공간 \(V\)의 두 벡터 \(v,\) \(w\)에 대하여 \(\langle v\,\vert\,w\rangle =0\)이 성립할 때, \(v\)는 \(w\)와 수직이다(orthogonal)라고 말하고, 이것을 기호로 \(v\bot w\)로 나타낸다.
영벡터가 아닌 \(m\)개의 벡터 \(v_1 ,\) \(\cdots ,\) \(v_m\)이 있을 때, 이 벡터들이 직교벡터족(orthogonal family)이라 함은 \(i\ne j\)일 때마다 \(\langle v_i \,\vert\, v_j \rangle =0\)이 성립하는 것을 의미한다. 모든 벡터의 길이가 \(1\)이고, 이 벡터들이 직교벡터족일 때 이 벡터들을 정규직교족(orthonormal family)이라고 부른다. 이 경우 \(\langle v_i \,\vert\, v_j \rangle = \delta_{ij}\)가 성립한다.
\(V\)의 기저가 직교벡터족일 때, 그러한 기저를 직교기저(orthogonal basis)라고 부른다. \(V\)의 기저가 정규직교족일 때, 그러한 기저를 정규직교기저(orthonormal basis)라고 부른다.
직교벡터족은 벡터의 수가 무한일 때에도 정의할 수 있다. 집합 \(S\)가 벡터공간 \(V\)의 부분집합이라고 하자. 만약 \(S\)의 공집합이 아닌 임의의 유한부분집합이 직교벡터족이면 \(S\)를 직교벡터족이라고 부른다. 즉 \(S\)가 직교벡터족이라 함은 \(S\)의 서로 다른 임의의 두 벡터 \(v_i,\) \(v_j\)에 대하여 \(\langle v_i \,\vert\, v_j \rangle =0\)이 성립하는 것을 의미한다. 정규직교족도 같은 방식으로 정의한다.
보기 3. \(\mathbb{R}^n\)에서 보통기저 \(\mathbf{e}_1,\) \(\cdots,\) \(\mathbf{e}_n\)은 정규직교기저이다.
[\(\mathbb{R}^n\)의 정규직교기저는 보통기저 외에도 무수히 많이 있다.]
보기 4. 벡터공간 \(C^0 ([-\pi ,\, \pi ])\)를 생각하자. 이 공간에서 다음 벡터들은 직교벡터족을 이룬다. \[1,\,\, \cos x ,\,\, \sin x ,\,\, \cos 2x ,\,\, \sin 2x ,\,\, \cos 3x ,\,\, \sin 3x ,\,\, \cdots .\] 이 벡터들이 직교벡터족을 이룬다는 사실을 증명하기 위해서는 삼각함수의 공식 \[\begin{align} \cos\alpha \,\cos\beta &= \frac{1}{2} (\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)), \\[5pt] \sin\alpha \,\sin\beta &= -\frac{1}{2} (\cos(\alpha + \beta) - \cos(\alpha - \beta)) \end{align}\] 을 이용하면 된다. 그러나 이 벡터들이 정규직교족을 이루지는 않는다.
직교벡터족은 다음과 같은 재미 있는 성질을 가진다.
정리 3. 직교벡터족의 벡터들은 일차독립이다.
증명.
\(V\)가 내적공간이고 \(S\)가 \(V\)의 부분집합이며 직교벡터족이라고 하자. \(S\)에서 임의로 \(m\)개의 원소를 꺼내어 \(v_1 ,\) \(\cdots ,\) \(v_m\)이라고 하자. 이제 \[a_1 v_1 + a_2 v_2 + \cdots + a_m v_m = \mathbf{0}\] 이라고 가정하자. 이 등식의 좌변과 \(v_k\) 중 하나와 내적을 취하면 다음을 얻는다. \[0 = \langle \mathbf{0} \,\vert\, v_k \rangle = \left\langle \sum_{j=1}^m a_j v_j \,\bigg\vert\,v_k \right\rangle = \sum _{j=1}^m a_j \langle v_j \,\vert\, v_k \rangle = a_k \langle v_k \,\vert\,v_k \rangle.\] 그런데 \(\langle v_k \,\vert\,v_k \rangle\)가 \(0\)이 아니므로 \(a_k =0\)이다.
정리 4. (피타고라스 정리)
\(v_1,\) \(v_2,\) \(\cdots,\) \(v_m\)이 내적공간 \(V\)에서 직교벡터족이면 다음이 성립한다. \[\left\lvert \sum_{j=1}^{m} v_j \right\rvert^2 = \sum_{j=1}^m \lvert v_j \rvert^2 .\]
증명.
행렬 \(C\in M_n (\mathbb{R})\)를 생각하자. 만약 영벡터가 아닌 임의의 \(\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n\)에 대하여 \(^t \! \mathbf{x} C \mathbf{x} > 0\)이 성립하면 \(C\)를 양의 정부호 행렬(positive definite)이라고 부른다.
양의 정부호 행렬을 왼쪽에 곱하는 선형변환의 핵(kernel)은 자명한 공간이다. 왜냐하면 \(\mathbf{x} \ne \mathbf{0}\)이면 \(C\mathbf{x} \ne \mathbf{0}\)이기 때문이다. 그러므로 양의 정부호 행렬은 일대일인 선형변환을 나타내며, 가역인 행렬이다.
다음 정리는 양의 정부호 행렬과 벡터공간의 내적의 관계를 설명한다.
정리 5. \(V\)가 차원이 \(n\)인 유한차원 실벡터공간이고 기저 \(B\)를 가진다고 하자. 그러면 \(V\) 위에서 정의되는 임의의 내적은 적당한 양의 정부호 대칭행렬 \(C\in\operatorname{Mat}_{n\times n}(\mathbb{R})\)에 대하여 \[\langle v\,\vert\,w\rangle = \,^t \! \gamma_B (v) C \gamma_B (w) \tag{\(\ast\)}\] 의 꼴이 된다.
증명.
\(C\)가 양의 정부호 대칭행렬이면 \((\ast)\)는 명백히 내적의 조건을 만족시킨다. 그러므로 내적이 항상 \((\ast)\)의 꼴로 나타남을 보이자. \(V\)가 내적이 주어진 벡터공간이고 \[B = \left\{ v_1 ,\, v_2 ,\, \cdots ,\, v_n \right\}\] 이 \(V\)의 기저라고 하자. 그러면 \[c_{ij} = \langle v_i \,\vert\, v_j \rangle ,\quad 1 \le i \le n ,\, 1 \le j \le n\] 이라고 정의함으로써 대칭행렬 \(C = (c_{ij})\)를 얻는다. 더욱이 직접 계산해보면 \(C\)가 등식 \((\ast)\)를 만족시키고, 양의 정부호 행렬임을 보일 수 있다.
직교기저
\(V\)의 기저가 직교벡터족일 때, 그러한 기저를 직교기저(orthogonal basis)라고 부른다. \(V\)의 기저가 정규직교족일 때, 그러한 기저를 정규직교기저(orthonormal basis)라고 부른다.
벡터공간에 정규직교기저가 주어져 있으면 그 기저를 기준으로 벡터의 좌표나 길이를 다룰 때 편리하다.
정리 6. \(u_1,\) \(u_2,\) \(\cdots,\) \(u_n\)이 내적공간 \(V\)의 정규직교기저라고 하자. 그러면 임의의 \(v\in V\)에 대하여 다음이 성립한다.
- \(v=\sum_{j=1}^{n} \langle v \,\vert\, u_j \rangle u_j\)
- \(\lvert v \rvert^2 = \sum_{j=1}^n \langle v \,\vert\, u_j \rangle ^2\)
증명.
(i) \(v = a_1 u_1 + a_2 u_2 + \cdots + a_n u_n\)이라고 하자. 그러면 다음을 얻는다. \[\langle v\,\vert\, u_k \rangle = \left\langle \sum_{j=1}^n a_j u_j \,\bigg\vert\, u_k \right\rangle = a_k \langle u_k \,\vert\, u_k \rangle = a_k.\]
(ii)는 피타고라스 정리로부터 곧바로 도출된다.
\(v\)와 \(u\)가 내적공간 \(V\)의 벡터이고 \(u\)가 단위벡터라고 하자. 이때 \(u\) 위로의 \(v\)의 직교사영(orthogonal projection)을 다음과 같이 정의한다. \[\proj_u (v) = \langle v\,\vert\, u \rangle u.\] \(u\)가 단위벡터가 아니고 영벡터고 아닐 때는 다음과 같이 정의한다. \[\proj_u (v) = \frac{\langle v\,\vert\, u \rangle}{\langle u\,\vert\, u \rangle} u.\] \(u\)가 영벡터일 때는 \(u\) 위로의 직교사영이 정의되지 않는다.
더욱 일반적으로, \(W\)가 \(V\)의 부분공간이고 \(u_1,\) \(\cdots,\) \(u_m\)이 \(W\)의 정규직교기저일 때 \(W\) 위로의 \(v\)의 직교사영을 다음과 같이 정의한다. \[\proj_W (v) = \sum_{j=1}^m \langle v\,\vert\, u_j \rangle u_j.\]
정리 7. \(W\)가 내적공간 \(V\)의 부분공간이고 \(u_1,\) \(\cdots,\) \(u_m\)이 \(W\)의 정규직교기저이며 \(v\in V\)라고 하자. 그러면 다음이 성립한다. \[(v-\proj_W (v)) \bot u_k \quad ( k=1,\,2,\,\cdots,\,m )\] 즉 \(v-\proj_W (v)\)는 \(W\)에 속하는 임의의 벡터와 서로 수직이다.
증명.
정의에 따라 계산하면 다음을 얻는다. \[\begin{align} \langle v-\proj_W (v) \,\vert\, u_k \rangle &= \langle v\,\vert\, u_k \rangle - \langle \proj_W (v) \,\vert\, u_k \rangle \\[5pt] &= \langle v\,\vert\, u_k \rangle - \left\langle \sum_{j=1}^m \langle v\,\vert\,u_j \rangle u_j \,\bigg\vert\, u_k \right\rangle \\[5pt] &= \langle v\,\vert\,u_k \rangle - \sum_{j=1}^m \langle v\,\vert\,u_j \rangle \langle u_j \,\vert\, u_k \rangle \\[5pt] &=\langle v\,\vert\, u_k \rangle - \langle v\,\vert\, u_k \rangle \langle u_k \,\vert\, u_k \rangle =0. \end{align}\] 더욱이 \(W\)에 속하는 모든 벡터는 \(W\)의 기저의 일차결합으로 표현되므로 \(v\)는 \(W\)에 속하는 모든 벡터와 서로 수직이다.
이처럼 벡터공간에 정규직교기저가 주어져 있으면 무척 편리하다. 그렇다면 모든 벡터 공간에 정규직교기저가 존재할까? 유한차원 벡터공간의 경우에는 정규직교기저를 직접 구성하는 알고리듬이 존재한다.
정리 8. (Gram-Schmidt 정규직교화 과정)
\(V\)가 유한차원 내적공간이면 \(V\)의 정규직교기저가 존재한다.
증명.
만약 \(V\)가 0차원 벡터공간이라면 공집합은 \(V\)의 정규직교기저이다.
만약 \(V\)의 차원이 \(1\)이라면 \(V\)의 영 아닌 벡터 \(v\)를 택하면 \(v/\lvert v \rvert\)는 \(V\)의 정규직교기저가 된다.
이제 \(V\)의 차원이 \(n\)이고 \(n\ge 2\)라고 하자. 임의의 벡터공간은 기저를 가지므로, \(V\)의 기저를 \(v_1,\) \(\cdots,\) \(v_n\)으로 두자. 그리고 \[W_j = \operatorname{Span}(v_1 ,\, \cdots ,\, v_j)\]라고 하자. 그러면 \[W_1 \subseteq W_2 \subseteq \cdots \subseteq W_n = V\] 이다. 이제 \(k = 2 ,\, \cdots ,\, n\)에 대하여 다음과 같이 정의하자. \[\begin{align} u_1 &= \frac{v_1}{\lvert v_1 \rvert} , \\[5pt] u_2 &= \frac{v_2 - \proj_{W_1}(v_2)}{\lvert v_2 - \proj_{W_1}(v_2) \rvert} , \\[5pt] &\,\,\vdots \\[5pt] u_k &= \frac{v_k - \proj_{W_{k-1}} (v_k)}{\lvert v_k - \proj_{W_{k-1}} (v_k) \rvert} . \end{align}\] 그러면 \(u_1,\) \(\cdots,\) \(u_n\)은 \(W_n = V\)의 정규직교기저이다.
보기 5. \(\mathbb{R}^3\)에 다음과 같은 세 벡터가 주어졌다고 하자. \[v_1 = (2,\,0,\,0) ,\,\, v_2 = (1,\,5,\,0) ,\,\, v_3 = (1,\,2,\,2).\] 이들 벡터는 일차독립이므로 \(\mathbb{R}^3\)의 기저가 된다. 이 기저에 그람-슈미츠 직교화를 적용하여 정규직교기저를 만들어 보자. 먼저 \[u_1 = \frac{v_1}{\lvert v_1 \rvert} = (1,\,0,\,0)\] 이다. 다음으로 \[(1,\,5,\,0) - 1\cdot (1,\,0,\,0) = (0,\,5,\,0)\] 이므로, 이 벡터를 정규화(크기가 1인 벡터로 만듦)하여 \[u_2 = (0,\,1,\,0)\] 을 얻는다. 끝으로 \[(1,\,2,\,2) - 1\cdot (1,\,0,\,0) - 2\cdot (0,\,1,\,0) = (0,\,0,\,2)\] 이므로, 이 벡터를 정규화하여 \[u_3 = (0,\,0,\,1)\] 을 얻는다. 이렇게 얻은 세 벡터 \[u_1 = (1,\,0,\,0) ,\,\, u_2 = (0,\,1,\,0) ,\,\, u_3 = (0,\,0,\,1)\] 은 \(\mathbb{R}^3\)의 정규직교기저이다. [이 기저가 보통기저와 일치하는 것은 우연일 뿐이다.]
보기 6. \(V\)가 \(C^0 ([-1,\,1])\)의 부분공간이고 다음 세 벅터를 기저로 가진다고 하자. \[1,\,\,x,\,\,x^2 .\] 이 기저에 그람-슈미츠 직교화를 적용하여 고된 계산을 하면 다음과 같은 세 벡터를 얻는다. \[\frac{\sqrt{2}}{2} ,\,\, \frac{\sqrt{6}}{2} x ,\,\, \frac{\sqrt{10}}{4} (3x^2 - 1).\] 사실 모든 단항식을 이와 같은 방법으로 정규직교화할 수 있는데, 그렇게 얻어진 다항함수공간의 기저의 원소를 르장드르 다항식(Legendre polynomial)이라고 부른다.
\(V\)가 유한차원 벡터공간이고 \(W\)가 \(V\)의 부분공간이라고 하자. 이때 \[W^\bot = \left\{ v\in V \,\vert\, \langle v \,\vert\, w \rangle = 0 \text{ for all }w\in W\right\}\] 는 \(V\)의 부분공간이 되는데, 이러한 공간을 \(W\)의 직교여공간(orthogonal complement)이라고 부른다.
정리 9. \(W\)가 유한차원 벡터공간 \(V\)의 부분공간일 때 다음이 성립한다.
- \(W^\bot\)은 \(V\)의 부분공간이다.
- \(V = W \oplus W^\bot\)
증명.
(i)은 자명하다. 왜냐하면 \(W^\bot\)는 스칼라 곱과 벡터 합에 대하여 닫혀있기 때문이다.
(ii) \(u\in W \cap W^\bot\)이면 \(u\)는 자기 자신과 수직이므로 \(u=\mathbf{0}\)이다. 그러므로 \(W\cap W^\bot = \left\{ \mathbf{0} \right\}\)이다. 더욱이 임의의 \(v\in V\)에 대하여 \[w = \proj_W (v) ,\,\, w^\bot = v-w\] 라고 하면 \[v = w + w^\bot ,\,\, w\in W ,\,\, w^\bot \in W^\bot\] 이므로 \(V = W + W^\bot\)이다.
따름정리 10. \(V\)가 유한차원 내적공간이고 \(v\in V\)이며 \(W\)가 \(V\)의 부분공간이라고 하자. 직교사영 \(\proj_W (v)\)는 \(W\)의 기저에 상관 없이 유일하게 정해진다.
증명.
\(w = \proj_W (v),\) \(w^\bot = v-w\)라고 하면 \[v=w+w^\bot \tag{*}\] 이다. 그런데 \(V = W \oplus W^\bot\)이고 \(w\in W,\) \(w^\bot \in W^\bot\)이므로 (*)을 만족시키는 벡터 \(w\)는 유일하게 정해진다.
따름정리 11. \(V\)가 유한차원 내적공간이고 \(v\in V\)이며 \(W\)가 \(V\)의 부분공간이라고 하자. \(W\)에 속하는 벡터 중 \(v\)에 가장 가까운 것은 \(\proj_W (v)\)이다.
증명.
\(w = \proj_W (v),\) \(w^\bot = v-w\)라고 하면 \(v = w+w^\bot\)이다. 더욱이 이 등식을 만족시키는 \(w\)와 \(w^\bot\)는 각각 유일하게 정해진다. 임의의 \(w ' \in W\)에 대하여, 피타고라스 정리에 의하여, \[\lvert w ' - v \rvert^2 = \lvert (w ' - w) - w^\bot \rvert^2 = \lvert w ' - w \rvert^2 + \lvert w^\bot \rvert ^2\] 인데, 이 값은 \(w ' = w\)일 때 가장 작다. 그러므로 \(w=\proj_W (v)\)는 \(W\)의 벡터 중 \(v\)에 가장 가까운 점이다.
복소내적공간
복소내적공간은 실내적공간과 약간 다르게 정의된다. \(V\)가 복소벡터공간이라고 하자. 함수 \[V\times V \,\rightarrow\,\mathbb{C} ,\,\, (v,\,w) \,\mapsto\, \langle v \,\vert\, w \rangle\] 가 다음 세 조건을 모두 만족시킬 때, 이 함수를 \(V\) 위에서의 복소내적(complex inner product)이라고 부른다.
- 임의의 \(v\in V\)에 대하여 \(\langle v\,\vert\, v \rangle \ge 0\)이며, 등식이 성립할 필요충분조건은 \(v = \mathbf{0}\)인 것이다.
- 임의의 \(v,\,w\in V\)에 대하여 \(\langle v\,\vert\, w\rangle = \overline{\langle w\,\vert\,v\rangle}\)이다.
- 임의의 \(u,\,v,\,w\in V\)와 \(a\in\mathbb{C}\)에 대하여 \(\langle u+v \,\vert\, w \rangle = \langle u\,\vert\,w\rangle + \langle v\,\vert\,w \rangle\) 그리고 \(\langle av \,\vert\, w \rangle = a\langle v\,\vert\,w \rangle\)이다.
(ii)에 의하여, 임의의 \(v\)에 대하여 \(\langle v\,\vert\,v\rangle\)은 실수이다. 그러므로 (i)의 조건이 의미를 가진다.
(ii)와 (iii)으로부터 다음과 같은 반선형 성질(antilinearity)이 유도된다:
임의의 \(u,\,v,\,w\in V\)에 대하여 \(\langle u \,\vert\, v+w \rangle = \langle u\,\vert\, v\rangle + \langle u \,\vert\,w\rangle\)이며, 임의의 \(v,\,w\in V\)와 \(a\in\mathbb{C}\)에 대하여 \(\langle v\,\vert\, aw \rangle = \overline{a} \langle v\,\vert\,w\rangle\)이다.
보기 7. \(V = \mathbb{C}^n\)일 때 \(V\)의 보통내적을 다음과 같이 정의한다. \[\langle \mathbf{x} \,\vert\, \mathbf{y} \rangle = \sum_{j=1}^n x_j \overline{y_j}.\]
보기 8. \(V\)가 닫힌구간 \([a,\,b]\)에서 정의된 연속인 복소숫값 함수들의 공간이라고 하자. 이 공간에서 내적을 다음과 같이 정의한다. \[\langle f \,\vert\, g\rangle = \int_a^b f(x) \overline{g(x)} dx .\]
실내적공간에서와 마찬가지로 복소내적공간에서도 벡터의 길이를 다음과 같이 정의한다. \[\lvert v \rvert = \sqrt{\langle v \,\vert\, v \rangle} .\]
복소내적공간에서도 Cauchy-Schwarz 부등식과 피타고라스 정리가 성립한다. 그 증명은 실내적공간일 때보다 조금 더 복잡하다.
정리 12. (Cauchy-Schwarz 부등식)
\(V\)가 내적공간이라고 하자. 그러면 \(V\)의 임의의 원소 \(v,\) \(w\)에 대하여 \[\lvert \langle v \,\vert\, w \rangle \rvert \le \lvert v \rvert \cdot \lvert w \rvert\] 가 성립한다.
증명.
\(w=\mathbf{0}\)일 때는 자명하게 성립한다. 그러므로 \(w\ne\mathbf{0}\)이라고 하자. \[\lambda = \frac{\langle v\,\vert\,w\rangle}{\lvert w \rvert^2} ,\,\, v ' = v - \lambda w\tag{*}\] 라고 하자. 그러면 \(\lambda w\)는 \(v\)를 \(w\)에 의하여 생성된 공간에 직교사영한 것이므로 \(\langle v ' \,\vert\, w \rangle = 0\)이다. \(v ' \)의 길이의 제곱을 전개하면 \[\begin{align} 0 \le \lvert v ' \rvert^2 &= \langle v ' \,\vert\, v - \lambda w \rangle \\[5pt] &= \langle v ' \,\vert\, v \rangle \\[5pt] &= \langle v - \lambda w \,\vert\, v \rangle \\[5pt] &= \lvert v \rvert ^2 - \langle \lambda w \,\vert\, v \rangle \end{align}\] 이므로 \[\lambda \langle w\,\vert\, v \rangle \le \lvert v \rvert ^2\] 이다. 여기에서 \(\lambda\)를 (*)의 식으로 치환하면 \[\frac{\langle v\,\vert\,w \rangle \langle w\,\vert\,v \rangle}{\lvert w \rvert^2} \le \lvert v \rvert^2\] 이며, 이 식을 변형하면 다음을 얻는다. \[\langle v \,\vert\, w \rangle \langle w \,\vert\,v \rangle \le \lvert v \rvert^2 \lvert w \rvert^2\tag{**}\] 그런데 \(\langle v \,\vert\,w \rangle\)와 \(\langle w\,\vert\,v \rangle\)은 서로 켤레복소수이므로 (**)의 좌변은 \(\lvert \langle v\,\vert\,w \rangle \rvert^2\)과 같다. 이로써 (**)의 양변의 제곱근을 취하면 원하는 부등식을 얻는다.
따름정리 13. (삼각부등식)
\(V\)가 내적공간이라고 하자. 그러면 \(V\)의 임의의 원소 \(v,\) \(w\)에 대하여 \[\lvert v+w \vert \le \lvert v \rvert + \lvert w \rvert\] 가 성립한다.
증명.
임의의 \(v,\) \(w\)에 대하여 \[\lvert \operatorname{Re}(\langle v \,\vert\,w\rangle)\rvert \le \lvert \langle v \,\vert\,w \rangle \rvert \le \lvert v \rvert \cdot \lvert w \rvert \] 이므로 다음이 성립한다. \[\begin{align} \lvert v+w \rvert^2 &= \langle v+w \,\vert\, v+w\rangle \\[5pt] &= \langle v\,\vert\,v \rangle + \langle v\,\vert\,w \rangle + \langle w\,\vert\,v \rangle + \langle w\,\vert\,w\rangle \\[5pt] &= \langle v\,\vert\,v \rangle + 2\operatorname{Re}(\langle v \,\vert\, w\rangle ) + \langle w\,\vert\,w\rangle \\[5pt] &\le \lvert v \rvert^2 + 2 \lvert v \rvert \lvert w \rvert + \lvert w \rvert^2 \\[5pt] &= ( \lvert v \rvert + \lvert w \rvert )^2 . \tag*{\(\blacksquare\)} \end{align}\]
복소내적공간에서 벡터의 직교성과 정규직교성은 실내적공간에서와 마찬가지로 정의되며, 피타고라스 정리, 그람-슈미츠 직교화 과정 등 여러 가지 성질도 실내적공간에서와 마찬가지로 유도된다.