\(V\)가 체 \(F\) 위에서의 벡터공간이라고 하자. \(F\)는 자기 자신 위에서 정의된 \(1\)차원 벡터공간이다. 이러한 관점에서 \(V\)로부터 \(F\)로의 모든 선형변환들의 모임을 \(V^*\)로 나타낸다. 만약 임의의 \(f,\,g \in V^*\)와 \(\lambda \in F\)에 대하여 \(f+g\)와 \(\lambda f\)를 모든 \(x\in V\)에 대하여 \[\begin{gather} (f+g)(x) = f(x) + g(x), \\[6pt] (\lambda f)(x) = \lambda (f(x)) \end{gather}\] 를 만족시키는 함수로 정의하면 \(V^*\)는 벡터공간이 된다. 이때 \(V^*\)를 \(V\)의 쌍대공간(dual space)이라고 부른다. [쌍대공간은 대수적 쌍대공간과 연속 쌍대공간이 있다. 이 글에서 다루는 쌍대공간은 대수적 쌍대공간을 이른다.]
이제 \(V\)의 기저와 \(V^*\)의 기저의 관계를 살펴보자. \(B = \left\{ v_i \,\,\vert\, i\in I\right\}\)를 \(V\)의 기저라고 하자. 그리고 각 \(i\in I\)에 대하여 함수 \(v_i ^* \in V^*\)를 다음과 같이 정의하자. 먼저 \(V\)의 기저원소 \(v_j\)에 대해서는 \[v_i ^* (v_j ) = \begin{cases} 1 & \mathrm{if} \,\, i=j \\[6pt] 0 & \mathrm{if} \,\, i\ne j \end{cases}\] 로 정의한다. 그리고 \(v_i^*\)의 선형성이 유지되도록 정의역을 \(V\)로 확장한다. \(v_i^*\)는 \(V\)의 모든 기저원소에 대하여 정의되어 있으므로, \(V\) 위에서의 선형변환으로서 유일하게 결정된다. 이때 집합 \[B^* = \left\{ v_i ^* \,\vert\, i\in I\right\}\] 를 \(B\)의 쌍대집합(dual set)이라고 부른다.
\(B^*\)가 일차독립임을 증명해 보자. \(B^*\)의 원소 중 임의로 \(n\)개를 택하자. 그것을 \[v_1^* ,\,\, v_2^* ,\,\, \cdots ,\,\, v_n ^*\tag{1}\] 이라고 하자. \(\lambda_i\)가 스칼라이고 \[\lambda_1 v_1^* + \lambda_2 v_2 ^* + \cdots + \lambda_n v_n^* = \mathbf{0}\tag{2}\] 을 만족시킨다고 가정하자. 이 등식은 좌변의 함수의 값이 항등적으로 \(0\)임을 의미하므로, 임의의 \(v\in V\)에 대하여 \[\lambda_1 v_1^* (v) + \lambda_2 v_2 ^* (v) + \cdots + \lambda_n v_n^* (v)= 0\tag{3}\] 이 성립해야 한다. 더욱이 이 등식은 \(v=v_i,\) \(i = 1,\,2,\,\cdots,\,n\)일 때에도 성립해야 한다. \(v=v_i\)를 대입하면 (3)으로부터 다음을 얻는다. \[\lambda_i ^* =0\] 여기서 \(i\)는 \(n\) 이하인 임의의 자연수이므로 (1)은 일차독립이다. (1)은 \(B^*\)의 원소 중 유한 개를 임의로 택한 것이므로 \(B^*\)는 일차독립이다.
만약 \(B^*\)가 \(V^*\)를 생성하면 \(B^*\)는 \(V^*\)의 기저가 될 것이다. 이것은 \(V\)의 차원에 따라 다르다.
정리 1. \(V\)가 유한차원 벡터공간이고 \(B\)가 \(V\)의 기저이면 \(B\)의 쌍대집합 \(B^*\)는 쌍대공간 \(V^*\)의 기저이다.
증명
앞에서 이미 \(B^*\)가 일차독립임을 보였으므로, \(B^*\)가 \(V^*\)를 생성한다는 사실만 보이면 된다.
\(V\)의 차원을 \(n\)이라고 하고 \[B = \left\{ v_1 ,\, v_2 ,\ \cdots ,\, v_n \right\}\] 로 나타내자. 이제 \(f^* \in V^*\)가 임의로 주어졌다고 하자. 각 \(i\)에 대하여 \[\lambda_i ^* = f^* (v_i )\] 라고 정의하자. 그러면 임의의 \(v\in V\)에 대하여 \[v = \lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 + \cdots + \lambda_n v_n\] 인 스칼라 \(\lambda_i\)가 존재하며, 다음이 성립한다. \[\begin{align} f^*(v) &= f^* ( \lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 + \cdots + \lambda_n v_n ) \\[7pt] &= \lambda_1 f^* (v_1) + \lambda_2 f^* (v_2) + \cdots + \lambda_n f^* (v_n) \\[7pt] &= \lambda_1 \lambda_1^* + \lambda_2 \lambda_2^* + \cdots + \lambda_n \lambda_n^* \\[7pt] &= \lambda_1^* \lambda_1 v_1^* (v_1) + \lambda_2^* \lambda_2 v_2^* (v_2) + \cdots + \lambda_n^* \lambda_n v_n^* (v_n) \\[7pt] &= \lambda_1^* v_1^* (\lambda_1 v_1 ) + \lambda_2^* v_2^* (\lambda_2 v_2 ) +\cdots + \lambda_n^* v_n^* (\lambda_n v_n ) \\[7pt] &= \lambda_1^* v_1^* (v) + \lambda_2^* v_2^* (v) + \cdots + \lambda_n^* v_n^* (v). \end{align}\] 즉 \(f^*\)는 \(v_1^* ,\) \(v_2 ^*,\) \(\cdots,\) \(v_n^*\)의 일차결합으로 표현된다.
\(f^*\)는 \(V^*\)에서 임의로 택한 원소이므로 \(B^*\)는 \(V^*\)를 생성한다.
위 정리에서 \(B^*\)의 원소의 개수가 \(B\)의 원소의 개수와 같으므로 다음을 얻는다.
따름정리 2. \(V\)가 유한차원 벡터공간이면 \(V^*\)의 차원은 \(V\)의 차원과 같다.
한편 \(V\)의 차원이 무한일 때는 \(B^*\)는 \(V^*\)의 기저가 되지 못한다.
정리 3. \(V\)가 무한차원 벡터공간이고 \(B\)가 \(V\)의 기저라고 하자. 이때 \(B\)의 쌍대집합 \(B^*\)는 쌍대공간 \(V^*\)를 생성하지 못한다.
증명
\(V\)의 차원이 무한이므로 \(B = \left\{ v_i \,\vert\, i\in I\right\}\)가 무한집합이다. 즉 \(I\)가 무한집합이다. 그러므로 \(I\)를 서로소인 두 무한집합 \(J,\) \(K\)의 합 \(I = J\cup K\)로 나타낼 수 있다. 함수 \(g^*\in V^*\)를 \(B\)의 원소 \(v_j\)에 대하여 다음과 같이 정의하자. \[g^*(v_j) = \begin{cases} 1 & \text{if} \,\, j\in J \\[7pt] 0 & \text{if} \,\, j\in K \end{cases}\] 그리고 \(g^*\)의 선형성이 유지되도록 정의역을 \(V\)로 확장하자. 그러면 \(g^*\)는 유한 개의 \(v_i ^*\)들의 일차결합으로 나타낼 수 없다. 즉 \(g^*\)는 \(B^*\)에 의하여 생성되는 벡터공간에 속하지 않는다.
\(V\)의 기저 \(B\)의 쌍대집합 \(B^*\)가 쌍대공간 \(V^*\)의 기저가 될 때 \(B^*\)를 \(V^*\)의 쌍대기저(dual basis)라고 부른다. 지금까지 살펴본 내용을 요약하면 다음과 같다.
\(V\)가 벡터공간이고 \(B\)가 \(V\)의 기저라고 하자. \(B^*\)가 \(V^*\)의 쌍대기저가 될 필요충분조건은 \(V\)의 차원이 유한인 것이다. 더욱이 \(V\)가 유한차원 벡터공간이면 \(V\)의 차원과 \(V^*\)의 차원이 같다.
이제 다음 물음에 답해보기 바란다.
- \(V\)가 벡터공간일 때 \(V\)의 쌍대공간의 쌍대공간을 \(V\)의 이중쌍대공간이라고 부르고 \(V^{**}\)로 나타낸다. (‘second dual space’ 또는 ‘double dual space’.) \(V\)가 유한차원 벡터공간일 때 \(V^{**}\)의 기저의 모양을 기술하고, \(V\)와 \(V^{**}\)가 동형임을 증명해 보자.
- 위상벡터공간(topological vector space)의 정의를 조사해 보자. 그리고 \(V\)가 위상벡터공간일 때 \(V\)와 \(V^{*}\)의 관계, 그리고 \(V\)와 \(V^{**}\)의 관계를 조사해 보자.