\(V\)와 \(W\)가 체 \(F\) 위에서의 벡터공간이라 하자. 만약 함수 \(T : V \rightarrow W\)가 두 조건
- 임의의 \(v_1 ,\, v_2 \in V\)에 대하여 \(T(v_1 + v_2 ) = T(v_1 ) + T(v_2 )\)이다,
- 임의의 \(k \in F\)와 \(v\in V\)에 대하여 \(T(kv) = kT(v)\)이다
만약 \(F = \mathbb{R}\)라면, \(T\)가 (1)을 만족시키더라도 (2)를 만족시키지 않을 수 있다. 그러나 \(F=\mathbb{Q}\)라면 이야기가 달라진다.
정리. \(V\)와 \(W\)가 \(\mathbb{Q}\) 위에서의 벡터공간이라고 하자. 함수 \(T : V \rightarrow W\)가 임의의 \(v_1 ,\, v_2 \in V\)에 대하여 \[T(v_1 + v_2 ) = T(v_1) + T(v_2 )\]를 만족시키면 \(T\)는 선형변환이다. 즉 \(F=\mathbb{Q}\)일 때 (1)을 만족시키는 함수는 (2)를 만족시킨다.
증명
다섯 단계로 증명하자.
1단계. \(T(\mathbf{0}) = T(\mathbf{0}+\mathbf{0})=T(\mathbf{0}) + T(\mathbf{0})\)이므로 \(T(\mathbf{0})=\mathbf{0}\)이다.
2단계. 임의의 \(v\in V\)에 대하여 \[\mathbf{0}=T(\mathbf{0}) = T(v+(-v)) = T(v) + T(-v)\] 이므로 \(T(-v) = -T(v)\)이다.
3단계. 벡터 \(v\in V\)가 주어졌다고 하자. 임의의 자연수 \(n\)에 대하여 \[T(nv) = nT(v)\tag{3}\] 가 성립함을 보이자. 먼저 \(n=1\)일 때 (3)은 참이다. 다음으로 \(n=k\)일 때 (3)이 참이라고 가정하면 \[T((k+1)v) = T(kv + v) = T(kv) + T(v) = kT(v) +T(v) = (k+1)T(v)\] 이다. 그러므로 수학적 귀납법에 의하여 임의의 자연수 \(n\)에 대하여 (3)이 성립한다.
4단계. 벡터 \(v\in V\)가 주어졌다고 하자. 임의의 자연수 \(m,\) \(n\)에 대하여 \[T\left( \frac{n}{m} v \right) = \frac{n}{m} T(v) \tag{4}\] 가 성립함을 보이자. 먼저 3단계의 결과에 의하여 \[T(v) = T\left( \frac{m}{m} v \right) = m T\left( \frac{1}{m} v \right)\] 이므로 \[T\left( \frac{1}{m} v \right) = \frac{1}{m} T(v)\] 가 성립한다. 다시 3단계의 결과에 의하여 \[T\left( \frac{n}{m} v \right) = nT \left( \frac{1}{m}v \right) = \frac{n}{m} T(v)\] 이므로 (4)가 성립한다.
5단계. \(k\in \mathbb{Q},\) \(v\in V\)라고 하자. 만약 \(k=0\)이면 1단계의 결과에 의하여 \[T(kv) = kT(v) \tag{5}\] 가 성립한다. 만약 \(k > 0\)이면 4단계의 결과에 의하여 (5)가 성립한다. 만약 \(k < 0\)이면 2단계와 4단계의 결과를 조합하여 (5)를 얻는다.
이제 다음 물음에 답해보기 바란다.
- \(F\)가 유한체(finite field)일 때 위 정리가 성립할까?
- \(F\)가 가산체(countable field)일 때 위 정리가 성립할까?
성립한다면 증명해 보자. 성립하지 않는다면 반례를 들고, 정리가 성립하도록 하는 \(F\)의 조건을 구해 보자.