정의역이 유계가 아닌 다변수함수의 절대극값 구하기

$D$ 가 $R^{2}$ 의 부분집합으로서 다음과 같이 정의된 집합이라고 하자. $D = {(x, y) | x^{2} + y^{2} \leq 9}$ 그리고 함수 $f$ 가 $D$ 를 포함하는 영역에서 정의되었으며 정의역의 모든 점에서 두 번 이상 미분 가능하다고 하자. 이제 $D$ 에서 $f$ 의 극댓값과 극솟값, 최댓값과 최솟값은 다음과 같은 방법으로 구할 수 있다.

도함수 판정법: $D$ 의 내부점 중에서 $f_{x} (x, y) = 0,$ $f_{y} (x, y) = 0$ 인 점 $(x, y)$ 를 모두 구한다.
이계도함수 판정법: 구한 점 $(x, y)$ 중에서 $f$ 의 Hesse 행렬식을 이용하여 $f$ 가 극값을 갖는 점, $f$ 의 그래프가 변곡점인 점, 임계점을 구한다.
$D$ 의 경계에서 $f$ 가 극값을 갖는 점들을 구한다. $D$ 의 경계선 위에서 $f$ 는 일변수함수 처럼 다루어질 수 있다.
앞의 단계들에서 구한 모든 점들 위에서 $f$ 의 값을 구하고, 그 값들을 비교하여 최댓값과 최솟값을 구한다.

그러나 $D$ 가 유계가 아니거나 닫힌집합이 아니라면 이와 같은 방법을 사용할 수 없다. 이때에는 함수의 특징에 따라 다양한 방법으로 최댓값과 최솟값을 구해야 한다.

예제 1. $R^{2}$ 에서 함수 $f$ 가 $f (x, y) = 2 x^{2} + 3 x y + 4 y^{2} - 5 x + 2 y$ 로 정의되었을 때, $f$ 의 최댓값과 최솟값을 구하시오.

풀이. 먼저 일계도함수 판정법을 이용하자. $f$ 의 편도함수를 구하면 $\begin{matrix} f_{x} (x, y) = 3 x + 3 y - 5 \\ f_{y} (x, y) = 8 y + 3 x + 2 \end{matrix}$ 이다. 두 편미분계수가 모두 $0$ 이 되도록 하는 점을 구하면 $(x, y) = (2, - 1)$ 뿐이다. 이 점에서 이계도함수 판정법을 이용하자. $f_{x x} (x, y) = 4, f_{y y} (x, y) = 8, f_{x y} (x, y) = f_{y x} (x, y) = 3$ 이므로 $det H (f) = 4 \times 8 - 3^{2} = 23 > 0$ 이다. 더욱이 $f_{x x} (2, - 1) > 0$ 이므로 $f$ 는 $(2, - 1)$ 에서 극솟값을 가진다.

그렇다면 $f$ 는 $(2, - 1)$ 에서 최솟값을 가질까? 그렇다. 일단 $f$ 의 임계점은 $(2, - 1)$ 뿐이므로 특정한 다른 점에서 $f$ 가 최솟값을 갖지는 않는다. 이제 남은 경우의 수는 $(x, y)$ 의 움직임에 따라 $f$ 가 음의 무한대로 발산하는 경우이다. 그런데 이러한 경우 또한 발생하지 않는다. 왜냐하면 점 $(x, y)$ 가 원점으로부터 멀리 떨어질수록, 즉 $| (x, y) | \to \infty$ 일 때 $f (x, y) \to \infty$ 이기 때문이다. 그러므로 $f$ 는 아래로 유계이다. 만약 $f$ 가 아래로 유계가 아니었다면 $f$ 가 음의 무한대로 발산하도록 $(x, y)$ 를 움직일 수 있었어야 한다.

이로써 $f$ 가 $(2, - 1)$ 에서 최솟값을 가진다는 사실이 증명되었다.

한편 $x \to \infty,$ $y \to \infty$ 일 때 $f (x, y) \to \infty$ 이므로 $f$ 는 최댓값을 갖지 않는다.

정의역이 유계가 아닌 또 다른 예를 살펴보자.

예제 2. $R^{2}$ 의 $x y \neq 0$ 인 점에서 함수 $f$ 가 $f (x, y) = \frac{1}{x} + x y + \frac{1}{y}$ 로 정의되었을 때, $f$ 의 최댓값과 최솟값을 구하시오.

풀이. 먼저 $f$ 의 편도함수를 구하면 $f_{x} (x, y) = - \frac{1}{x^{2}} + y, f_{y} (x, y) = - \frac{1}{y^{2}} + x$ 이며, 이계편도함수를 구하면 $f_{x x} (x, y) = \frac{2}{x^{3}}, f_{y y} (x, y) = \frac{2}{y^{3}}, f_{x y} (x, y) = f_{y x} (x, y) = 1$ 이다. 일계편미분계수가 모두 $0$ 이 되도록 하는 점은 $(x, y) = (1, 1)$ 뿐이다. 이 점에서 Hesse 행렬식을 구하면 $det H (f) = 2 \times 2 - 1^{2} = 3 > 0$ 이고, $f_{x x} (1, 1) = 2 > 0$ 이므로 $f$ 는 $(1, 1)$ 에서 극솟값을 가진다.

이제 $f$ 가 $(1, 1)$ 에서 최솟값을 갖는지 여부를 판별해 보자. 만약 $x$ 가 무한히 커지고 $y$ 는 무한히 작아진다면, 예컨대 직선 $y = - x$ 를 따라서 $x \to \infty$ 인 극한을 취한다면 $lim_{x \to \infty} f (x, - x) = lim_{x \to \infty} (\frac{1}{x} - x^{2} - \frac{1}{x}) = - \infty$ 이므로 $f$ 는 아래로 유계가 아니다. 그러므로 $f$ 는 최솟값을 갖지 않는다.

한편 $x \to \infty,$ $y \to \infty$ 일 때 $f (x, y) \to \infty$ 이므로 $f$ 는 최댓값을 갖지도 않는다.

다음으로 정의역이 $R^{2}$ 전체가 아니지만 유계도 아닌 예를 살펴보자.

예제 3. $R^{2}$ 의 제 1 사분면 영역, 즉 $x > 0,$ $y > 0$ 인 영역에서 함수 $f$ 가 $f (x, y) = x y + 2 y - \ln x^{2} y$ 로 정의되었을 때, $f$ 의 최댓값과 최솟값을 구하시오.
(Thomas' Calculus 13ed Section 14.7 Problem 42.)

풀이. $f$ 의 편도함수를 구하면 $f_{x} (x, y) = y + 2 - \frac{2}{x}, f_{y} (x, y) = x - \frac{1}{y}$ 이며, 이계편도함수를 구하면 $f_{x x} (x, y) = \frac{2}{x^{2}}, f_{y y} (x, y) = \frac{1}{y^{2}}, f_{x y} (x, y) = f_{y x} (x, y) = 1$ 이다. 일계편미분계수가 모두 $0$ 이 되도록 하는 점은 $(x, y) = (\frac{1}{2}, 2)$ 뿐이다. 이 점에서 Hesse 행렬식을 구하면 $det H (f) = 8 \times \frac{1}{4} - 1^{2} = 1 > 0$ 이고 $f_{x x} (\frac{1}{2}, 2) = 8 > 0$ 이므로 $f$ 는 $(\frac{1}{2}, 2)$ 에서 극솟값을 가진다.

이제 $f$ 가 $(\frac{1}{2}, 2)$ 에서 최솟값을 갖는지 여부를 판별해 보자. $x y > 0$ 이므로 $x y - \ln x y \geq 1$ 이다. 따라서 $f (x, y) = 2 x - \ln x + (x y - \ln x y) \geq 2 x - \ln x + 1$ 이다. 그런데 $lim_{x \to 0 +} (2 x - \ln x) = \infty$ 이고 $lim_{x \to \infty} (2 x - \ln x) = \infty$ 이므로 $(x, y)$ 가 어떻게 움직이든 $f$ 의 값이 $f (\frac{1}{2}, 2)$ 보다 작아질 일은 없다.

특히 $2 x - \ln x$ 가 최솟값을 갖는 것은 $x = \frac{1}{2}$ 일 때이고, $x y - \ln x y$ 가 최솟값을 갖는 것은 $x y = 1$ 즉 $y = \frac{1}{x}$ 일 때이므로, $f$ 가 $(\frac{1}{2}, 2)$ 에서 최솟값을 가진다는 사실이 다시 한 번 확인된다.

이로써 $f$ 가 $(\frac{1}{2}, 2)$ 에서 최솟값을 가진다는 사실이 증명되었다.

한편 풀이 과정에서 $(x, y)$ 의 움직임에 따라 $f (x, y) \to \infty$ 인 경우를 보았으므로, $f$ 는 최댓값을 갖지 않는다.

정의역이 유계가 아닌 다변수함수의 절대극값 구하기

변수에 제한조건이 있을 때의 편미분 예

사면체의 겉넓이가 최소가 되도록 하는 꼭짓점의 위치