변수에 제한조건이 있을 때의 편미분 예

풀이. 먼저 $y,$ $z$를 독립변수로 두고 (1.1)의 양변을 $y$에 관하여 미분하면 다음과 같다. $$\begin{array}{rl}& \frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial y}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial y}+\frac{\partial f}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial y}=0\\ \Rightarrow & \frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial y}=-\frac{\partial f}{\partial y}\\ \text{(1.3)}& \Rightarrow & {\left(\frac{\partial x}{\partial y}\right)}_z=-\frac{\partial f/\partial y}{\partial f/\partial x}.\end{array}$$ 다음으로 $x,$ $y$를 독립변수로 두고 (1.1)의 양변을 $y$에 관하여 미분하면 다음과 같다. $$\begin{array}{rl}& \frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial x}=0\\ \Rightarrow & \frac{\partial f}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{\partial f}{\partial x}\\ \text{(1.4)}& \Rightarrow & {\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)}_y=-\frac{\partial f/\partial x}{\partial f/\partial z}.\end{array}$$ 끝으로 $z,$ $x$를 독립변수로 두고 (1.1)의 양변을 $z$에 관하여 미분하면 다음과 같다. $$\begin{array}{rl}& \frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial z}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial z}+\frac{\partial f}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial z}=0\\ \Rightarrow & \frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial z}=-\frac{\partial f}{\partial z}\\ \text{(1.5)}& \Rightarrow & {\left(\frac{\partial y}{\partial z}\right)}_x=-\frac{\partial f/\partial z}{\partial f/\partial y}.\end{array}$$ 이제 (1.3), (1.4), (1.5)에 의하여 다음을 얻는다. $$\begin{array}{}◻& {\left(\frac{\partial x}{\partial y}\right)}_z{\left(\frac{\partial y}{\partial z}\right)}_x{\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)}_y=-\frac{\partial f/\partial y}{\partial f/\partial x}\frac{\partial f/\partial z}{\partial f/\partial y}\frac{\partial f/\partial x}{\partial f/\partial z}=-1.\end{array}$$

풀이. (2.1)의 두 등식의 양변을 $x$에 관하여 미분하면 다음과 같다. $$\begin{array}{}\text{(2.4)}& \frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial w}\frac{\partial w}{\partial x}=0,\text{(2.5)}& \frac{\partial g}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial x}+\frac{\partial g}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial x}+\frac{\partial g}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial g}{\partial w}\frac{\partial w}{\partial x}=0.\end{array}$$ 여기서 $\partial x/\partial x=1$이고 $\partial y/\partial x=0$이므로 다음을 얻는다. $$\begin{array}{}\text{(2.6)}& \frac{\partial f}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial z}+\frac{\partial f}{\partial w}\frac{\partial w}{\partial x}=-\frac{\partial f}{\partial x},\text{(2.7)}& \frac{\partial g}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial z}+\frac{\partial g}{\partial w}\frac{\partial w}{\partial x}=-\frac{\partial g}{\partial x}.\end{array}$$ (2.6)의 양변에 $\partial g/\partial w$를 곱하고, (2.7)의 양변에 $\partial f/\partial w$를 곱하면 다음을 얻는다. $$\begin{array}{}\text{(2.8)}& \frac{\partial f}{\partial z}\frac{\partial g}{\partial w}\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial w}\frac{\partial g}{\partial w}\frac{\partial w}{\partial x}=-\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial g}{\partial w},\text{(2.9)}& \frac{\partial f}{\partial w}\frac{\partial g}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial w}\frac{\partial g}{\partial w}\frac{\partial w}{\partial x}=-\frac{\partial f}{\partial w}\frac{\partial g}{\partial x}.\end{array}$$ (2.8)에서 (2.9)를 변마다 빼면 다음을 얻는다. $$\begin{array}{}\text{(2.10)}& (\frac{\partial f}{\partial z}\frac{\partial g}{\partial w}-\frac{\partial f}{\partial w}\frac{\partial g}{\partial z})\frac{\partial z}{\partial x}=-\left(\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial g}{\partial w}\frac{\partial g}{\partial x}\right)\end{array}$$ (2.2)에 의하여 (2.10)의 좌변의 첫째 인수는 $0$이 아니므로, 양변을 그 인수로 나눌 수 있다. 그러므로 다음을 얻는다. $$\begin{array}{}\text{(2.11)}& \frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial g}{\partial w}-\frac{\partial f}{\partial w}\frac{\partial g}{\partial x}}{\frac{\partial f}{\partial z}\frac{\partial g}{\partial w}-\frac{\partial f}{\partial w}\frac{\partial g}{\partial x}}\end{array}$$ 이 등식은 $x$와 $y$를 독립변수로 두고 구한 것이므로 (2.3)과 같다.