예제 1. 함수 \(f(x,\,y,\,z)\)가 모든 점에서 미분 가능하고 \[f(x,\,y,\,z)=0 \tag{1.1}\] 을 만족시킬 때 \[\left( \frac{\partial x}{\partial g} \right)_z \left( \frac{\partial y}{\partial z}\right)_x \left( \frac{\partial z}{\partial x}\right)_y =-1\tag{1.2}\] 임을 보이시오. (Thomas' Calculus 13ed 14.10. Exercise 9.)
풀이. 먼저 \(y,\) \(z\)를 독립변수로 두고 (1.1)의 양변을 \(y\)에 관하여 미분하면 다음과 같다. \[\begin{align} &\frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial y} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial y} + \frac{\partial f}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial y} =0 \\[6pt] \Rightarrow \quad & \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial y} = - \frac{\partial f}{\partial y} \\[6pt] \Rightarrow \quad & \left( \frac{\partial x}{\partial y} \right)_z = - \frac{\partial f / \partial y}{\partial f/\partial x} . \tag{1.3} \end{align}\] 다음으로 \(x,\) \(y\)를 독립변수로 두고 (1.1)의 양변을 \(y\)에 관하여 미분하면 다음과 같다. \[\begin{align} &\frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial x} =0 \\[6pt] \Rightarrow \quad & \frac{\partial f}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial x} = - \frac{\partial f}{\partial x} \\[6pt] \Rightarrow \quad & \left( \frac{\partial z}{\partial x} \right)_y = - \frac{\partial f / \partial x}{\partial f/\partial z} . \tag{1.4} \end{align}\] 끝으로 \(z,\) \(x\)를 독립변수로 두고 (1.1)의 양변을 \(z\)에 관하여 미분하면 다음과 같다. \[\begin{align} &\frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial z} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial z} + \frac{\partial f}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial z} =0 \\[6pt] \Rightarrow \quad & \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial z} = - \frac{\partial f}{\partial z} \\[6pt] \Rightarrow \quad & \left( \frac{\partial y}{\partial z} \right)_x = - \frac{\partial f / \partial z}{\partial f/\partial y} . \tag{1.5} \end{align}\] 이제 (1.3), (1.4), (1.5)에 의하여 다음을 얻는다. \[\left( \frac{\partial x}{\partial y} \right)_z \left( \frac{\partial y}{\partial z} \right)_x \left( \frac{\partial z}{\partial x}\right)_y = - \frac{\partial f / \partial y}{\partial f/\partial x} \frac{\partial f / \partial z}{\partial f/\partial y} \frac{\partial f / \partial x}{\partial f/\partial z} = -1. \tag*{\(\square\)}\]
예제 2. 두 함수 \(f(x,\,y,\,z,\,w),\) \(g(x,\,y,\,z,\,w)\)가 모든 점에서 미분 가능하고, 두 등식 \[f(x,\,y,\,z,\,w)=0,\,\,g(x,\,y,\,z,\,w)=0 \tag{2.1}\] 에 의하여 \(z,\) \(w\)가 \(x,\) \(y\)의 함수로서 음적으로 된다(defined implicitly)고 하자. 만약 \[\frac{\partial f}{\partial z} \frac{\partial g}{\partial w} - \frac{\partial f}{\partial w} \frac{\partial g}{\partial z} \ne 0 \tag{2.2}\] 이면 \[\left( \frac{\partial z}{\partial x} \right)_y = - \frac{ \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial g}{\partial w} - \frac{\partial f}{\partial w} \frac{\partial g}{\partial x} }{ \frac{\partial f}{\partial z} \frac{\partial g}{\partial w} - \frac{\partial f}{\partial w} \frac{\partial g}{\partial x} }\tag{2.3}\] 임을 보이시오. (Thomas' Calculus 13ed 14.10. Exercise 12.)
풀이. (2.1)의 두 등식의 양변을 \(x\)에 관하여 미분하면 다음과 같다. \[\begin{gather} \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial w} \frac{\partial w}{\partial x} =0, \tag{2.4} \\[6pt] \frac{\partial g}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial x} + \frac{\partial g}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial x} + \frac{\partial g}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial x} + \frac{\partial g}{\partial w} \frac{\partial w}{\partial x} =0. \tag{2.5} \end{gather}\] 여기서 \(\partial x / \partial x = 1\)이고 \(\partial y / \partial x = 0\)이므로 다음을 얻는다. \[\begin{gather} \frac{\partial f}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial z} + \frac{\partial f}{\partial w} \frac{\partial w}{\partial x} = - \frac{\partial f}{\partial x}, \tag{2.6} \\[6pt] \frac{\partial g}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial z} + \frac{\partial g}{\partial w} \frac{\partial w}{\partial x} = - \frac{\partial g}{\partial x}. \tag{2.7} \end{gather}\] (2.6)의 양변에 \(\partial g / \partial w\)를 곱하고, (2.7)의 양변에 \(\partial f / \partial w\)를 곱하면 다음을 얻는다. \[\begin{gather} \frac{\partial f}{\partial z} \frac{\partial g}{\partial w} \frac{\partial z}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial w} \frac{\partial g}{\partial w} \frac{\partial w}{\partial x} = - \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial g}{\partial w}, \tag{2.8} \\[6pt] \frac{\partial f}{\partial w} \frac{\partial g}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial w} \frac{\partial g}{\partial w} \frac{\partial w}{\partial x} = - \frac{\partial f}{\partial w} \frac{\partial g}{\partial x}. \tag{2.9} \\[6pt] \end{gather}\] (2.8)에서 (2.9)를 변마다 빼면 다음을 얻는다. \[\left( \frac{\partial f}{\partial z} \frac{\partial g}{\partial w} - \frac{\partial f}{\partial w} \frac{\partial g}{\partial z} \right) \frac{\partial z}{\partial x} = - \left( \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial g}{\partial w} \frac{\partial g}{\partial x} \right) \tag{2.10}\] (2.2)에 의하여 (2.10)의 좌변의 첫째 인수는 \(0\)이 아니므로, 양변을 그 인수로 나눌 수 있다. 그러므로 다음을 얻는다. \[ \frac{\partial z}{\partial x} = - \frac{ \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial g}{\partial w} - \frac{\partial f}{\partial w} \frac{\partial g}{\partial x} }{ \frac{\partial f}{\partial z} \frac{\partial g}{\partial w} - \frac{\partial f}{\partial w} \frac{\partial g}{\partial x} }\tag{2.11}\] 이 등식은 \(x\)와 \(y\)를 독립변수로 두고 구한 것이므로 (2.3)과 같다.