유한 개의 수를 더할 때에는 교환법칙이 성립한다. 무한급수에서는 유한 개의 항의 순서를 바꾸는 교환법칙이 성립한다. 그러나 무한급수에서 무한 개의 항의 순서를 바꿀 때에는 본래의 급수와는 다른 값에 수렴할 수도 있고, 발산할 수도 있다. 이 포스트에서는 무한급수의 항의 순서를 바꿀 때 어떠한 일이 벌어지는지 살펴보자.
재배열의 뜻
재배열된 급수란 직관적으로는 급수의 항의 순서를 바꾸어 더한 것을 뜻한다. 정확한 정의는 다음과 같다.
정의 1. (급수의 재배열; rearrangement)
함수 \(r\)가 \(\mathbb{N}\)으로부터 \(\mathbb{N}\)으로의 일대일 대응이고 \(\left\{a_n \right\}\)이 수열이라고 하자. 이때 \(\left\{ a_{r(n)} \right\}\)을 \(\left\{ a_n \right\}\)의 재배열된 수열이라고 부르며, \(\sum_{n=1}^{\infty} a_{r(n)}\)을 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\)의 재배열된 급수라고 부른다.
함수 \(f\)에 대하여 \(f^+\)와 \(f^-\)를 다음과 같이 정의한다. \[\begin{align} f^+ (x) &= \begin{cases} f(x) \quad &\text{if} \,\, f(x) \ge 0 \\[6pt] \,\,0 \quad &\text{if} \,\, f(x) < 0 , \end{cases} \\[16pt] f^- (x) &= \begin{cases} \,\,\,0 \quad &\text{if} \,\, f(x) \ge 0 \\[6pt] -f(x) \quad &\text{if} \,\, f(x) < 0 . \end{cases} \end{align}\] 수열 \(\left\{ a_n \right\}\)에 대해서도 같은 방법으로 다음과 같이 정의한다. \[\begin{align} a_n^+ (x) &= \begin{cases} a_n \quad &\text{if} \,\, a_n \ge 0 \\[6pt] \,\,0 \quad &\text{if} \,\, a_n < 0 , \end{cases} \\[16pt] a_n^- (x) &= \begin{cases} \,\,\,0 \quad &\text{if} \,\, a_n \ge 0 \\[6pt] -a_n \quad &\text{if} \,\, a_n < 0 . \end{cases} \end{align}\] 무한급수 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\)의 부분합 \(s_n\)에 대하여 다음이 성립한다. \[s_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} a_k^+ - \sum_{k=1}^{n} a_k^-.\] 이 사실을 이용하면 다음 정리를 얻는다.
보조정리 1.
무한급수 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\)에 대하여 다음이 성립한다.
- \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\)이 절대수렴하면 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n^+\)와 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n^-\)는 모두 수렴한다.
- \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\)이 조건수렴하면 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n^+\)와 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n^-\)는 모두 양의 무한대로 발산한다.
증명
[1] \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\)이 절대수렴한다고 하자. \(\left\{ a_n ^+\right\}\)와 \(\left\{ a_n^- \right\}\)는 모두 음이 아닌 항으로 이루어진 수열이고 임의의 \(n\)에 대하여 \[\sum_{k=1}^{n} a_k^+ \le \sum_{k=1}^{n} \left\lvert a_k \right\rvert , \\[4pt] \sum_{k=1}^{n} a_k^- \le \sum_{k=1}^{n} \left\lvert a_k \right\rvert \] 이므로 비교 판정법에 의하여 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n^+\)와 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n^-\)는 모두 수렴한다.
[2] 만약 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n^+\)와 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n^-\)가 모두 수렴한다면 \[\sum_{k=1}^{n} \left\lvert a_k \right\rvert = \sum_{k=1}^{n} a_k^+ + \sum_{k=1}^{n} a_k^-\] 이므로 \(\sum_{n=1}^{\infty} \left\lvert a_n \right\rvert\)도 수렴한다. 이것은 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\)이 조건수렴한다는 사실에 모순이다.
만약 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n^+\)와 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n^-\)중 하나는 수렴하고 다른 하나는 발산한다면 \[\sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} a_k^+ - \sum_{k=1}^{n} a_k^-\] 이므로 \(\sum_{n=1}^{\infty} \left\lvert a_n \right\rvert\)도 발산한다. 이것은 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\)이 수렴한다는 사실에 모순이다.
따라서 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n^+\)와 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n^-\)는 모두 양의 무한대로 발산한다.
재배열한 무한급수의 값
앞의 보조정리 1에서 무한급수 \(\sum a_n\)이 절대수렴할 때와 조건수렴할 때 두 무한급수 \(\sum a_n^+\)와 \(\sum a_n^-\)의 수렴 발산 여부가 달라짐을 살펴보았다. 이 사실을 이용하면 \(\sum a_n\)이 절대수렴할 때와 조건수렴할 때 \(\sum a_n\)의 재배열급수가 어떠한 성질을 갖는지 알아낼 수 있다.
정리 1. (절대수렴하는 무한급수의 재배열 급수)
무한급수 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\)이 절대수렴하면 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\)의 재배열된 무한급수도 수렴하며, 그 값은 원래의 무한급수의 값과 동일하다.
증명
\(\sum_{n=1}^{\infty} b_n\)이 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\)의 재배열된 급수라고 하자. \(A = \sum_{n=1}^{\infty} a_n\)의 부분합을 \(A_n = \sum_{k=1}^{n} a_k\)라고 하고, \(B = \sum_{n=1}^{\infty} b_n\)의 부분합을 \(B_n = \sum_{k=1}^{n} b_k\)라고 하자. 그리고 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\)의 값을 \(A\)라고 하자.
먼저 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\)이 양항급수인 경우를 살펴보자. 임의의 \(k\)에 대하여 \(a_k \ge 0,\) \(b_k \ge 0\)이므로, 임의의 \(n\)에 대하여 \(B_n \le A\)이다. \(\left\{ B_n\right\}\)이 단조증가하는 수열이므로 단조수렴 정리에 의하여 \(\left\{ B_n \right\}\)은 수렴한다. \(\left\{ B_n \right\}\)의 극한값, 즉 \(\sum_{n=1}^{\infty} b_n\)의 값을 \(B\)라고 하자. 그러면 \(A \le B\)이다. 두 무한급수의 역할을 바꾸면, \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n \)은 \(\sum_{n=1}^{\infty} b_n\)의 재배열된 급수이므로, 같은 논법에 의하여 임의의 \(n\)에 대하여 \(B_n \le A\)이다. 그러므로 \(B\le A\)이다. 요컨대 \(A=B\)이다.
다음으로 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\)이 양항급수가 아닌 경우를 살펴보자. 그러면 \[\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \sum_{n=1}^{\infty} a_n^+ - \sum_{n=1}^{\infty} a_n^-\] 이다. 그런데 \(\sum_{n=1}^{\infty} b_n ^+\)는 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n ^+\)의 재배열 급수이고, \(\sum_{n=1}^{\infty} b_n ^-\)는 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n ^-\)의 재배열 급수이다. 더욱이 다음 네 급수는 모두 양항급수이다. \[\sum_{n=1}^{\infty} a_n ^+, \,\,\,\sum_{n=1}^{\infty} b_n ^+ ,\,\,\, \sum_{n=1}^{\infty} a_n ^-, \,\,\,\sum_{n=1}^{\infty} b_n ^-\] 따라서 \[\sum_{n=1}^{\infty} a_n^+ = \sum_{n=1}^{\infty} b_n^+\] 그리고 \[\sum_{n=1}^{\infty} a_n^- = \sum_{n=1}^{\infty} b_n^-\] 이다. 그러므로 \[\sum_{n=1}^{\infty}a_n = \sum_{n=1}^{\infty} a_n^+ - \sum_{n=1}^{\infty} a_n^- = \sum_{n=1}^{\infty} b_n^+ - \sum_{n=1}^{\infty} b_n^- = \sum_{n=1}^{\infty}b_n\] 이며, \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\)과 \(\sum_{n=1}^{\infty} b_n\)은 같은 값에 수렴한다. 더욱이 \[\sum_{n=1}^{\infty} \left\lvert a_n \right\rvert = \sum_{n=1}^{\infty} a_n^+ + \sum_{n=1}^{\infty} a_n^- = \sum_{n=1}^{\infty} b_n^+ + \sum_{n=1}^{\infty} b_n^- = \sum_{n=1}^{\infty} \left\lvert b_n \right\rvert \] 이므로 \(\sum _{n=1}^{\infty} b_n\)은 절대수렴한다.
조건수렴하는 무한급수의 재배열은 다음과 같은 놀라운 성질을 가진다.
정리 2. (조건수렴하는 무한급수의 재배열 급수)
\(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\)이 조건수렴하는 무한급수이고 \(A\)가 임의로 주어진 실수라고 하자. 그러면 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\)의 재배열 급수 중 \(A\)에 수렴하는 것이 존재한다.
증명
(미적분학을 처음 공부하는 사람은 이 증명을 생략해도 괜찮다.)
보조정리 1에 의하여 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n^+ =\infty\)이므로 \(\left\{ a_n^+\right\}\)의 항을 앞에서부터 계속 더하여 \(A\)보다 더 커지도록 할 수 있다. 즉 \[a_1 ^+ + a_2 ^+ + \cdots + a_{n_1}^+ > A\] 가 되도록 하는 \(n_1\)이 존재한다. 그러한 \(n_1\) 중 가장 작은 것을 택하자. 다음으로 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n^- = \infty\)이므로 \(\left\{ a_n ^- \right\}\)의 항들을 앞에서부터 계속 빼어서 \[\left( a_1 ^+ + a_2 ^+ + \cdots + a_{n_1}^+ \right) - \left( a_{n_1 +1}^- + a_{n_1 +2}^- + \cdots + a_{n_2}^-\right) < A\] 가 되도록 할 수 있다. 그러한 \(n_2\) 중 가장 작은 것을 택하자. 다시 \(\left\{ a_n ^+ \right\}\)의 남은 항들을 계속 더하여 더한 값이 \(A\)보다 커지도록 하고 \(\left\{ a_n ^-\right\}\)의 남은 항들을 계속 빼어서 그 값이 \(A\)보다 작아지도록 하는 과정을 반복하자. 즉 \[\begin{gather} P_k = a_{n_{k-1}+1}^+ + a_{n_{k-1}+2}^+ + \cdots + a_{n_k}^+ ,\\[6pt] Q_{k+1} = a_{n_k +1}^- + a_{n_k +2}^- + \cdots + a_{n_{k+1}}^- \end{gather}\] 라고 하자. 단, 여기서 \(n_k\)와 \(n_{k+1}\)은 \[\begin{gather} P_1 - Q_2 + P_3 - Q_4 + - \cdots + P_k > A ,\\[6pt] P_1 - Q_2 + P_3 - Q_4 + - \cdots + P_k - Q_{k+1} < A \end{gather}\] 가 성립하도록 하는 가장 작은 자연수이다. 그런데 \[P_1 ,\, -Q_2 ,\, P_3 ,\, -Q_4 ,\, \cdots\] 는 이 순서대로 교대수열을 이루며, \(a_{n_k} \,\to\, 0\)이므로, 위 수열의 부분합과 \(A\)의 차이는 \(0\)으로 수렴한다.
여기서 결국 \[P_1 - Q_2 +P_3 -Q_4 + P_5 - Q_6 + - \cdots\] 는 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\)의 재배열 급수이므로 원하는 결론을 얻는다.