이 글에서는 추상공간에서의 적분을 살펴보자.
\(E\)를 노름벡터공간이라고 하고, \(K\)를 닫힌구간 \([0,\,1]\)이라고 하자. \(K\)에서 \(E\)로의 함수 \(x = x(t)\)를 생각하자. (선형인 경우뿐만 아니라 일반적인 함수를 생각하자.) 앞으로 이러한 함수를 구간 \([0,\,1]\) 위에서 정의된 추상화된 함수라고 부를 것이다.
이러한 함수에 대하여, 해석학의 기본적인 연산을 정의하고 그 성질을 유도하자.
적분의 정의
닫힌구간 \([a,\,b]\)를 닫힌 부분구간 \([t_i ,\, t_{i+1}]\)로 나눈 분할 \(A = A[t_0 ,\, t_1 ,\, \cdots ,\, t_n ]\)을 생각하자. 이때 \[a = t_0 < t_1 < \cdots < t_n = b\] 이다. 분할 \(B = B[t_0 ' ,\, t_1 ' ,\, \cdots ,\, t_m ' ]\)이 \(A = A[t_0 ,\, t_1 ,\, \cdots ,\, t_n ]\)의 세련분할이라는 것은 모든 구간 \([t_i ' ,\, t_{i+1} ']\)이 어떤 구간 \([t_i ,\, t_{i+1}]\)에 포함됨을 의미한다. 따라서 분할 \(B\)에서는 \(A\)의 모든 구간이 다시 분할된다. 만약 분할 \(A\)의 모든 구간 \([t_i ,\, t_{i+1}]\)의 길이가 양수 \(\tau\)를 초과하지 않으면, 즉 \(t_{i+1} - t_i \le \tau\)이면, \(A\)를 구간 \([a,\,b]\)의 \(\tau\)-분할이라고 하고 \(A_\tau\)로 표기한다.
\(x\in E\)이고 \(t\in [a,\,b]\)인 추상화된 함수 \(x(t)\)에 대하여, 분할 \(A = A[t_0 ,\, t_1 ,\, \cdots ,\, t_n ]\)에 대한 합 \[S(A,\,x(t)) = \sum_{i=0}^{n-1} x(t_i )(t_{i+1} - t_i ) \tag{1}\] 을 적분합이라고 부른다.
정리 1. \(x(t)\)가 완비공간 \(E\)에서 연속인 함수이고 \(t\in [a,\,b]\)이며, \(A_{\tau_n}\)이 구간 \([0,\,1]\)의 분할의 수열로서 \(n \to \infty\)일 때 \(\tau_n \to 0\)이라고 하자. 이제 적분합 \(S(A_{\tau_n} ,\, x(t))\)를 만들면, 이들은 \(n\to\infty\)일 때 극한 \(S\)로 수렴한다. 극한 \(S\)는 \(A_{\tau_n}\)의 선택에 의존하지 않는다.
정리의 증명은 다음 세 보조정리에 기초한다.
보조정리 1. \(t\in [a,\,b]\)인 모든 연속함수 \(x(t)\in E\)는 균등연속이다. 즉, 모든 양수 \(\epsilon\)에 대하여, 양수 \(\tau\)가 존재하여, \(t ' ,\) \(t ' ' \in [a,\,b]\)에 대하여 \(\lvert t ' - t ' ' \rvert < \tau\)일 때마다 \[\lVert x(t ' ) - x(t ' ' ) \rVert < \epsilon \tag{2}\] 이 성립한다.
증명
\(\varphi (t,\, t ' )\)를 정사각형 \(a \le t \le b,\) \(a \le t ' \le b\) 위에서 \[\varphi (t,\, t ' ) = \lVert x(t) - x(t ' ) \rVert\] 으로 정의된 함수라고 하자. 함수 \(\varphi\)는 이 정사각형 위에서 연속이므로, 균등연속이다. 따라서 모든 \(\epsilon > 0\)에 대하여 \[\lvert \varphi ( t,\, t ' ' ) - \varphi ( t ' ,\, t ' ' ) \rvert < \epsilon \,\, \text{for} \,\, \lvert t - t ' \rvert < \tau \tag{3}\] 가 성립하도록 하는 수 \(\tau\)를 정할 수 있다.
또한, \(t ' = t\)일 때 \(\varphi (t,\,t) = \lVert x(t) - x(t) \rVert =0\)이다. 따라서 (3)에 의하여 \[\varphi (t,\,t ' ) = \lvert \varphi (t,\,t ' ) - \varphi (t ,\,t) \rvert < \epsilon \,\, \text{for} \,\, \lvert t-t ' \rvert < \tau\] 또는 \[\lVert x(t ' ) -x(t) \rVert < \epsilon \,\, \text{for} \,\, \lvert t-t ' \rvert < \tau . \tag*{\(\blacksquare\)}\]
보조정리 2. 닫힌구간 \([a,\,b]\)의 분할 \(W\)가 \(\tau\)-분할 \(V = V_\tau\)의 세련분할이면 \[\lVert S(V,\,x(t)) - S(W,\,x(t)) \rVert \le \epsilon (b-a)\tag{4}\] 이다.
증명
점 \(t ' \)이 \(\tau\)-분할 \(V_\tau\)의 구간 \([t_i ,\, t_{i+1}]\)에 속하면 \[\lvert t ' - t_i \rvert \le t_{i+1} - t_i \le \tau\] 이다. 따라서 (2)에 의하여, \[\lVert x(t ' ) - x(t_i ) \rVert \le \epsilon .\tag{5}\] \(n,\) \(m\)을 각각 \(V,\) \(W\)의 구간 \([t_i ,\, t_{i+1}],\) \([t_j ' ,\, t_{j+1} ' ]\)의 개수라고 하자. \(W\)가 \(V\)의 세련분할이므로, 각 점 \(t_\ell ,\) \(\ell = 1,\) \(2,\) \(\cdots,\) \(n\)은 점 \(t_j '\) 중 하나와 일치한다. 즉 \(t_{k_{\ell}} ' = t_{\ell} \)이라고 하자. 따라서 다음 순서를 갖는다. \[0 = k_0 < k_1 < \cdots < k_n = m ,\,\, m \ge n.\] 따라서 \(V\)의 구간 \([t_\ell ,\, t_{\ell +1}]\)은 분할 \(W\)의 \(k_{\ell +1} - k_{\ell}\)개의 구간 \([t_j ' ,\, t_{j+1} ']\)로 분할된다. 단, 여기서 \(j = k_{\ell} ,\) \(k_\ell +1 ,\) \(\cdots ,\) \(k_{\ell +1} -1\)이다. (5)에 의하여, 모든 \(j\)에 대해 \[\lVert x(t_j ' ) - x(t_i ) \rVert \le \epsilon\] 이다. 따라서 \[\begin{align} S(V,\,x(t)) &= \sum_{\ell=0}^{n-1} x(t_\ell )(t_{\ell +1} - t_\ell ) \\[6pt] &= \sum_{\ell =0}^{n-1} x(t_\ell ) \sum_{j=k_\ell}^{k_{\ell +1} -1} (t_{j+1} ' - t_j ' ),\\[8pt] S(W,\,x(t)) &= \sum_{j=0}^{m-1} x(t_j ' )(t_{j+1} ' - t_j ' ) \\[6pt] &= \sum_{\ell =0}^{n-1} \sum_{j=k_\ell}^{k_{\ell +1} -1} x(t_j ' ) (t_{j+1} ' - t_j ' ),\\[8pt] \lVert S(V,\,x(t)) - S(W,\,x(t)) \rVert &=\left\lVert \sum_{\ell =0}^{n-1} \sum_{j=k_\ell}^{k_{\ell +1} -1} [x(t_\ell ) - x(t_j ' )] (t_{j+1} ' - t_j ' ) \right\rVert \\[6pt] &\le \sum_{\ell =0}^{n-1} \sum_{j=k_\ell}^{k_{\ell +1} -1} \lVert x(t_\ell ) - x(t_j ' ) \rVert (t_{j+1} ' - t_j ' ) \\[6pt] &\le \sum_{\ell =0}^{n-1} \sum_{j=k_\ell}^{k_{\ell +1} -1} \epsilon (t_{j+1} ' - t_j ' ) \\[6pt] &= \epsilon (b-a) .\tag*{\(\blacksquare\)} \end{align}\]
보조정리 3. \(V_\tau\)와 \(V_{\tau '}\)을 각각 닫힌구간 \([a,\,b]\)의 임의의 \(\tau ,\) \(\tau ' \) 분할이라고 하자. 그러면 \[\lVert S(V_\tau ,\, x(t)) - S(V_{\tau '} ,\, x(t)) \rVert \le (\epsilon_\tau + \epsilon_{\tau '})(b-a) .\tag{6}\]
증명
\(V_\tau\)와 \(V_{\tau '}\) 둘 다의 세련분할인 구간 \([a,\,b]\)의 분할 \(W\)를 항상 선택할 수 있다. 그러면 (4)에 의하여 \[\lVert S(V_\tau ,\, x(t)) - S(W,\, x(t)) \rVert \le \epsilon_\tau (b-a),\\[6pt] \lVert S(V_{\tau '} ,\, x(t)) - S(W,\, x(t)) \rVert \le \epsilon_{\tau '} (b-a)\] 이고, 여기서 \[\lVert S(V_\tau ,\, x(t)) - S(V_{\tau '} ,\, x(t)) \rVert \le (\epsilon_\tau + \epsilon_{\tau '} ) (b-a)\tag*{\(\blacksquare\)}\] 를 얻는다.
이제 정리 1을 증명하자. 임의로 주어진 \(\epsilon > 0\)에 대하여, 구간 \([a,\,b]\)의 \(\tau_n\)-분할의 수열 \(V_{\tau_n}\)을 생각하자. 여기서 \(n\to\infty\)일 때 \(\tau_n \to 0\)이다. 보조정리 3에 의하여, 대응하는 적분합 \(S(V_{\tau_n} ,\, x(t))\)에 대하여 부등식 \[\lVert S(V_{\tau_n} ,\, x(t)) - S(V_{\tau_{n+1}} ,\, x(t)) \lVert \le (\epsilon_{\tau_n} + \epsilon_{\tau_{n+1}} )(b-a)\] 가 성립한다.
이것이 모든 \(\epsilon > 0\)에 대하여 성립하므로, 수열 \(S(V_{\tau_n},\, x(t))\)는 코시 수열이고, \(S(V_{\tau_n} ,\, x(t)) \in E\)이며 \(E\)가 완비이므로, 이 수열은 \(E\)에서 극한 \(S\)를 갖는다.
이제 \(V_{\tau_n '}\)을 구간 \([a,\,b]\)의 분할의 또 다른 수열이라고 하자. 여기서 \(\tau_n ' \to 0\)이다. 앞에서 밝힌 결과를 사용하면, \(S(V_{\tau_n '},\,x(t))\)는 \(n\to\infty\)일 때 적당한 값 \(S_1\)으로 수렴한다. 이제 \(S = S_1\)임을 증명하면 된다.
이를 위하여, 수열 \(V_{\tau_1} ,\) \(V_{\tau_1 '},\) \(V_{\tau_2} ,\) \(V_{\tau_2 '} ,\) \(\cdots\)을 생각하자. 이들 수열에 대응하는 적분합 \(S(V_{\tau_n} ,\, x(t)),\) \(S(V_{\tau_n '} ,\, x(t))\)는 각각 수렴하는 수열을 이룬다. 이들의 극한이 \(S_2\)와 같으면, 이들은 극한 \(S\)와 \(S_1\)과 같아야 한다. 따라서 \(S = S_1 = S_2\)이고, 정리가 증명되었다.
\(S\)를 \([a,\,b]\)에서 \(x(t)\)의 적분이라고 부르고 \[\int_a^b x(t) dt\] 로 표기한다.
적분의 성질
다음 성질은 적분의 정의에 의하여 곧바로 유도되는 것들이다.
[1] 적분은 가법적이다. \[\int_a^b [x(t) + y(t)] dt = \int_a^b x(t) dt + \int_a^b y(t)dt.\] [2] \(\lambda\)가 고정된 스칼라이면 \[\int_a^b \lambda x(t) dt = \lambda \int_a^b x(t) dt.\] [3] 또한 \[\left\lVert \int_a^b x(t) dt \right\rVert \le \int_a^b \lVert x(t) \rVert dt \tag{7}\] 이다. 왜냐하면, \[\begin{align} \lVert S(V_\tau ,\, x(t)) \rVert &= \left\lVert \sum_{i=0}^{n-1} x(t_i )(t_{i+1} - t_i ) \right\rVert \\[6pt] &\le \sum_{i=0}^{n-1} \lVert x(t) \rVert (t_{i+1} - t_i ) \\[6pt] &= S(V_\tau ,\, \lVert x(t) \rVert ) \tag{8} \end{align}\] 이기 때문이다. \(\tau \to 0\)일 때, 적분합은 적분 \[\int_a^b x(t) dt \,\,\,\text{및}\,\,\, \int_a^b \lVert x(t) \rVert dt\] 로 수렴하고, 부등식 (8)의 양변은 부등식 (7)의 양변으로 수렴한다.
[4] 원소 \(x\in E\)에 대하여 원소 \(y\in E_1\)과의 우측 곱셈(또는 좌측 곱셈)이 정의되어 있으면, \[\int_a^b x(t) y dt = \int_a^b x(t) dt \,y.\tag{9}\] 왜냐하면, \[\begin{align} S(V_\tau ,\, x(t)y ) &= \sum_{i=0}^{n-1} x(t_i ) y(t_{i+1} - t_i ) \\[6pt] &=\left(\sum_{i=0}^{n-1} x(t_i )(t_{i+1} - t_i ) \right) y \\[6pt] &= S(V_\tau ,\, x(t)) y \tag{10} \end{align}\] 가 \(\tau\)-분할 \(V_\tau (t_0 ,\, t_1 ,\, \cdots ,\, t_n )\)에 대하여 성립하기 때문이다. \(\tau \to 0\)일 때, 등식 (10)의 양변은 (9)의 양변으로 수렴한다.
마찬가지로, 좌측 곱셈에 대하여, \[\int_a^b yx(t)dt = y\int_a^b x(t)dt \tag{9\( ' \)}\] 가 성립한다.
보기 1. \(A\)가 \(E\)에서 \(E_1\)로의 선형연산자이고, \(x(t)\in E\)이면, \[\int_a^b Ax(t)dt = A \int_a^b x(t)dt\] 이다.
보기 2. \(A = A(t)\)가 \(t\)에 대하여 연속이고 \((E \to E_1 )\)인 연산자이며, \(x\in E\)이면, \[\int_a^b A(t) x dt = \left( \int_a^b A(t) dt \right) x\] 이다.
첫 번째 예에서 연산자 \(A\)는 상수 좌측 인수이고, 두 번째 예에서 \(x\)는 상수 우측 인수이다.
특히, \(f\)가 \(\overline{E}\)의 선형범함수이면, \[f\left( \int_a^b x(t) dt \right) = \int_a^b f(x(t)) dt,\\[6pt] \int_a^b f(t) (x) dt = \left( \int_a^b f(t) dt \right) (x).\tag{10\( ' \)}\]
[5] 함수 \(x=x(t),\) \(x\in E,\) \(t\in [a,\,b]\)가 \(t\)에 관한 연속인 도함수 \(x ' (t) = \frac{d}{dt} x(t)\)를 가지면, \[\int_a^b x ' (t) dt = x(b) - x(a) .\tag{11}\] 왜냐하면, (10')에 의하여, 임의의 선형범함수 \(L\)에 대하여 \[L \left( \int_a^b x ' (t) dt \right) = \int_a^b L [x ' (t)] dt = \int_a^b \frac{d}{dt} \left\{ L[x(t)] \right\} dt\] 가 성립하기 때문이다. 그런데 \(L[x(t)]\)는 치역이 수로 이루어진 \(t\)의 함수이다. 따라서 \[\int_a^b \left\{ L [x(t)] \right\} ' dt = L[x(b)] - L[x(a)]\] 이다. 따라서, \[L \left( \int_a^b x ' (t) dt \right) = L [x(b) - x(a)].\tag{12}\] 등식 (12)는 임의의 선형범함수 \(L \in \overline{E}\)에 대하여 성립한다. 이로써 (11)이 증명되었다.
미분방정식에의 응용
미분방정식 \[\frac{dx}{dt} = f(t,\,x)\tag{13}\] 를 생각하자. \(x = x(t)\)와 \(f(t,\,x)\)는 노름공간 \(E\)의 원소이다. \(t\in [a,\,b]\)라고 하자. \(f(t,\,x)\)가 \(t\)에 대하여 연속이고, \(x\)에 관하여 립시츠 조건 \[\lVert f(t,\,x_1 ) - f(t,\,x_2 ) \lVert \le M \lVert x_1 - x_2 \rVert \tag{14}\] 를 만족시킨다고 가정한다.
\(C^E [a,\,b]\)를 \(t\in [a,\,b]\)이고 \(x(t)\in E\)인 연속함수 \(x(t)\)의 공간이라고 하자. \(C^E [a,\,b]\)에 노름을 \[\lVert x \rVert_C = \max_{a\le t\le b} \lVert x(t) \rVert\] 로 도입한다. \(E\) 외에도, \(C^E [a,\,b]\)는 완비공간이다. 이 성질의 증명은 특수한 경우인 \(E=\mathbb{R}\)이고 \(C^E [a,\,b] = C[0,\,1]\)인 경우와 같은 방법으로 증명한다.
등식 (13) 외에도, \[x(t) = x_0 + \int_{t_0}^t f(t,\,x(t)) dt,\,\, a\le t_0 \le t \le t_0 + \delta \le b \tag{15}\] 와 같은 등식을 생각할 수 있다. 이 등식의 우변을 \(A(x)\)로 표기하자. \(A\)는 \(x=x(t)\in C^E [t_0 ,\, t_0 + \delta ]\)를 같은 공간의 원소로 변환하는 연산자이다. 정의에 의하여 다음이 성립한다. \[\begin{align} \lVert A(x) - A(y) \rVert_C &= \left\lVert \int_{t_0}^t [f(t,\,x(t)) - f(t,\,y(t))]dt \right\rVert_C \\[6pt] &\le \int_{t_0}^{t_0 + \delta} \lVert f(t,\,x(t)) - f(t,\,y(t)) \rVert dt. \end{align}\] (14)에 의하여, \[\begin{align} \lVert A(x) - A(y) \rVert_C &\le M\int_{t_0}^{t_0 + \delta} \lVert x(t) - y(t) \rVert dt\\[6pt] &\le M \delta \max_{t_0 \le t \le t_0 + \delta} \lVert x(t) - y(t) \rVert \\[6pt] &=M \delta \lVert x(t) - y(t) \rVert_C \tag{16} \end{align}\] 를 얻는다. 만약 \(M\delta < 1\)이면, (16)에 의하여 연산자 \(A\)는 공간 \(C^E [a,\,b]\)를 같은 공간에 대응시키는 축소사상이며, 따라서 (15)의 해가 정확히 하나 존재한다.
등식 (15)는 초깃값 \(x(t_0 ) = x_0\)에 대하여 (13)과 동치이다. 따라서 (13)은 구간 \([t_0 ,\, t_0 + \delta ]\)에서 정확히 하나의 해를 갖는다.
특히, 이 방정식은 임의의 초깃값 \(x(a) = x_0\)에 대하여 구간 \([a,\,a+\delta ]\)에서 정확히 하나의 해 \(x(t)\)를 갖는다. \(x(t)\)는 전체 구간 \([a,\,b]\)로 확장될 수 있다. 왜냐하면, 만약 \(a+\delta < b\)이고 \(x(a+\delta ) = x_1\)이면, 초깃값 \(x_1\)을 갖는 구간 \([a+\delta ,\, a+2 \delta ]\)에서의 해를 이 과정을 반복하여 구성할 수 있기 때문이다.
보기 3. 만약 \(E\)가 \(n\)차원 공간이면, \(n\)개의 미분방정식의 계에 대한 잘 알려진 존재정리를 얻는다.
보기 4. 만약 \(E\)가 공간 \(l_p ,\) \(c,\) \(m\) 등 중 하나이면, 무한 미분방정식계의 대응하는 종류의 해에 대한 존재정리를 얻는다.
보기 5. 적분-미분방정식 \[\frac{dy}{dt} = f(t,\,y) + \int_a^b K(t,\,s) y(s) ds \tag{17}\] 를 생각하자. \(f(t,\,y)\)가 립시츠 조건 (14)를 만족시키고, 핵 \(K(t,\,s)\)가 유계, 즉 \(\lvert K(t,\,s) \rvert < M_1\)이라고 하자.
(17)의 우변을 \(F(t,\,y)\)로 표기하면 부등식 \[\begin{align} \lvert F(t,\,y) - F(t,\,z) \rvert &\le M \lvert y-z \rvert + M_1 (b-a) \lvert y-z \rvert \\[6pt] &= (M+M_1 (b-a)) \lvert y-z \rvert \end{align}\] 를 얻는다. \(F(t,\,y)\)는 립시츠 조건을 만족시킨다. 따라서 (17)은 임의의 초깃값 \(y=y_0\)에 대하여 유일한 해를 갖는다.
참고문헌
- 류스테르니크(L. A. Liusternik)와 소볼레프(V. J. Sobolev), 『함수해석학(Elements of Functional Analysis)』 (앤서니 라바레(Anthony E. Labarre) 번역), 프레더릭 웅가르 출판사(Frederick Ungar Publishing Company, New York), 173-178쪽.